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文檔簡介
2025屆遼寧省丹東市鳳城市高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的部分圖象大致為()A. B.C. D.2.一小商販準(zhǔn)備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品,甲每件進(jìn)價元,乙每件進(jìn)價元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件3.已知定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,,設(shè),則()A. B. C. D.4.已知a>b>0,c>1,則下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.a(chǎn)c<bc D.5.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.6.橢圓的焦點為,點在橢圓上,若,則的大小為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)(表示不超過x的最大整數(shù)),若有且僅有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.8.某個小區(qū)住戶共200戶,為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.1409.已知函數(shù),,且,則()A.3 B.3或7 C.5 D.5或810.已知是圓心為坐標(biāo)原點,半徑為1的圓上的任意一點,將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到交圓于點,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.11.已知,是橢圓與雙曲線的公共焦點,是它們的一個公共點,且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則的最小值為()A. B. C.8 D.612.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,將此圖象分別作以下變換,那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有()①繞著軸上一點旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對稱.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在等比數(shù)列中,,則________.14.已知點為雙曲線的右焦點,兩點在雙曲線上,且關(guān)于原點對稱,若,設(shè),且,則該雙曲線的焦距的取值范圍是________.15.已知向量,,若,則______.16.已知數(shù)列的前項和且,設(shè),則的值等于_______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為().(1)求拋物線C的極坐標(biāo)方程;(2)若拋物線C與直線l交于A,B兩點,求的值.18.(12分)某校共有學(xué)生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時間(單位:小時).(1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表:時間(小時)[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時,請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”?男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時每周平均體育鍛煉時間超過2小時總計附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919.(12分)如圖,在三棱柱中,是邊長為2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,點在線段上移動(不與重合),是的中點.(1)當(dāng)四面體的外接球的表面積為時,證明:.平面(2)當(dāng)四面體的體積最大時,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,在銳角中,E是邊PD上一點,且.(1)求證:平面ACE;(2)當(dāng)PA的長為何值時,AC與平面PCD所成的角為?21.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)證明:.22.(10分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時,;(2)若函數(shù)有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
圖像分析采用排除法,利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù),再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況。【詳解】,故奇函數(shù),四個圖像均符合。當(dāng)時,,,排除C、D當(dāng)時,,,排除A。故選B?!军c睛】圖像分析采用排除法,一般可供判斷的主要有:奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。2、D【解析】
由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù),數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別,利潤為元,由題意,畫出可行域如圖所示,顯然當(dāng)經(jīng)過時,最大.故選:D.【點睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題,解決此類問題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負(fù)數(shù),并準(zhǔn)確的畫出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.3、B【解析】
根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),可判斷關(guān)系;由時,,求得導(dǎo)函數(shù),并構(gòu)造函數(shù),由進(jìn)而判斷函數(shù)在時的單調(diào)性,即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù),所以所以;當(dāng)時,,則,令則,當(dāng)時,,則在時單調(diào)遞增,因為,所以,即,則在時單調(diào)遞增,而,所以,綜上可知,即,故選:B.【點睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.4、B【解析】
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項判斷即可【詳解】對A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定,故錯誤;對B,因為y=cx為增函數(shù),且a>b,所以ca>cb,正確對C,因為y=xc為增函數(shù),故,錯誤;對D,因為在為減函數(shù),故,錯誤故選B.【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】
利用復(fù)數(shù)除法、加法運(yùn)算,化簡求得,再求得【詳解】,故.故選:B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、加法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)橢圓的定義可得,,再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,,又,則,由余弦定理可得.故.故選:C.【點睛】本題考查橢圓的定義,考查余弦定理,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f(x)的圖象,利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)=ax有三個不同的交點,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,若有且僅有3個零點,則等價為有且僅有3個根,即與有三個不同的交點,作出函數(shù)和的圖象如圖,當(dāng)a=1時,與有無數(shù)多個交點,當(dāng)直線經(jīng)過點時,即,時,與有兩個交點,當(dāng)直線經(jīng)過點時,即時,與有三個交點,要使與有三個不同的交點,則直線處在過和之間,即,故選:A.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.8、C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C9、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)值,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù),若,則的圖象關(guān)于對稱,又,所以或,所以的值是7或3.故選:B.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對稱性問題,屬基礎(chǔ)題10、C【解析】
設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當(dāng)時,取得等號.故選:C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識,是一道容易題.11、C【解析】
由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡,結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的半實軸長為,半焦距為,則,,設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:,則當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號.故選:C.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式,屬于中等題.12、D【解析】
計算得到,,故函數(shù)是周期函數(shù),軸對稱圖形,故②④正確,根據(jù)圖像知①③錯誤,得到答案.【詳解】,,,當(dāng)沿軸正方向平移個單位時,重合,故②正確;,,故,函數(shù)關(guān)于對稱,故④正確;根據(jù)圖像知:①③不正確;故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì),意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識和圖像的綜合應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為:1【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
設(shè)雙曲線的左焦點為,連接,由于.所以四邊形為矩形,故,由雙曲線定義可得,再求的值域即可.【詳解】如圖,設(shè)雙曲線的左焦點為,連接,由于.所以四邊形為矩形,故.在中,由雙曲線的定義可得,.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線定義及其性質(zhì),涉及到求余弦型函數(shù)的值域,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.15、1【解析】
根據(jù)向量加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算,先分別求得與,再結(jié)合向量的模長公式即可求得的值.【詳解】向量,則,則因為即,化簡可得解得故答案為:【點睛】本題考查了向量坐標(biāo)加法和減法的運(yùn)算,向量模長的求法,屬于基礎(chǔ)題.16、7【解析】
根據(jù)題意,當(dāng)時,,可得,進(jìn)而得數(shù)列為等比數(shù)列,再計算可得,進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】由題意,當(dāng)時,,又,解得,當(dāng)時,由,所以,,即,故數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,故,又,,所以,.故答案為:.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、函數(shù)求值,考查了推理能力與計算能力,計算得是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式,,即可求得結(jié)果.(2)由的幾何意義得,.將代入拋物線C的方程,利用韋達(dá)定理,,即可求得結(jié)果.【詳解】(1)因為,,代入得,所以拋物線C的極坐標(biāo)方程為.(2)將代入拋物線C的方程得,所以,,所以,由的幾何意義得,.【點睛】本題考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,考查極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,難度一般.18、(1)男生人數(shù)為人,女生人數(shù)55人.(2)列聯(lián)表答案見解析,有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān).【解析】
(1)求出男女比例,按比例分配即可;(2)根據(jù)題意結(jié)合頻率分布表,先求出二聯(lián)表中數(shù)值,再結(jié)合公式計算,利用表格數(shù)據(jù)對比判斷即可【詳解】(1)因為男生人數(shù):女生人數(shù)=900:1100=9:11,所以男生人數(shù)為,女生人數(shù)100﹣45=55人,(2)由頻率頻率直方圖可知學(xué)生每周平均體育鍛煉時間超過2小時的人數(shù)為:(1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05)×100=75人,每周平均體育鍛煉時間超過2小時的女生人數(shù)為37人,聯(lián)表如下:男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時71825每周平均體育鍛煉時間超過2小時383775總計4555100因為3.892>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān).【點睛】本題考查分層抽樣,獨立性檢驗,熟記公式,正確計算是關(guān)鍵,屬于中檔題.19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由題意,先求得為的中點,再證明平面平面,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)由題意,當(dāng)點位于點時,四面體的體積最大,再建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量運(yùn)算即可.【詳解】(1)證明:當(dāng)四面體的外接球的表面積為時.則其外接球的半徑為.因為時邊長為2的菱形,是矩形.,且平面平面.則,.則為四面體外接球的直徑.所以,即.由題意,,,所以.因為,所以為的中點.記的中點為,連接,.則,,,所以平面平面.因為平面,所以平面.(2)由題意,平面,則三棱錐的高不變.當(dāng)四面體的體積最大時,的面積最大.所以當(dāng)點位于點時,四面體的體積最大.以點為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.所以,,,.設(shè)平面的法向量為.則令,得.設(shè)平面的一個法向量為.則令,得.設(shè)平面與平面所成銳二面角是,則.所以當(dāng)四面體的體積最大時,平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查平面與平面的平行、線面平行,考查平面與平面所成銳二面角的余弦值,正確運(yùn)用平面與平面的平行、線面平行的判定,利用好空間向量是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)證明見解析;(2)當(dāng)時,AC與平面PCD所成的角為.【解析】
(1)連接交于,由相似三角形可得,結(jié)合得出,故而平面;(2)過作,可證平面,
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