2025屆湖南邵陽(yáng)縣德望中學(xué)高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2025屆湖南邵陽(yáng)縣德望中學(xué)高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.2.《九章算術(shù)》“少?gòu)V”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列:列出“全步”(整數(shù)部分)及諸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去約其分子,將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡(jiǎn),又用最下面的分母去遍乘諸(未通者)分子和以通之?dāng)?shù),逐個(gè)照此同樣方法,直至全部為整數(shù),例如:及時(shí),如圖:記為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和,則為()A.147 B.294 C.882 D.17643.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在的圖像上,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.甲、乙、丙、丁四人通過(guò)抓鬮的方式選出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完鬮后,甲說(shuō):“我沒(méi)抓到.”乙說(shuō):“丙抓到了.”丙說(shuō):“丁抓到了”丁說(shuō):“我沒(méi)抓到."已知他們四人中只有一人說(shuō)了真話(huà),根據(jù)他們的說(shuō)法,可以斷定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁5.已知,,則等于().A. B. C. D.6.第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在中國(guó)武漢舉行,中國(guó)隊(duì)以133金64銀42銅位居金牌榜和獎(jiǎng)牌榜的首位.運(yùn)動(dòng)會(huì)期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地提供服務(wù),要求每個(gè)人都要被派出去提供服務(wù),且每個(gè)場(chǎng)地都要有志愿者服務(wù),則甲和乙恰好在同一組的概率是()A. B. C. D.7.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見(jiàn)次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思為有一個(gè)人要走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了六天恰好到達(dá)目的地,請(qǐng)問(wèn)第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里8.已知是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為1的圓上的任意一點(diǎn),將射線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交圓于點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.2 C. D.9.已知集合,,若,則()A. B. C. D.10.總體由編號(hào)為01,02,...,39,40的40個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表(如表)第1行的第4列和第5列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()A.23 B.21 C.35 D.3211.如圖所示,已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,雙曲線(xiàn)的右支上一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,滿(mǎn)足,且,則雙曲線(xiàn)的離心率是().A. B. C. D.12.將一張邊長(zhǎng)為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線(xiàn)折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線(xiàn)(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)方程為,則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)______.14.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.15.在中,角所對(duì)的邊分別為,為的面積,若,,則的形狀為_(kāi)_________,的大小為_(kāi)_________.16.已知兩圓相交于兩點(diǎn),,若兩圓圓心都在直線(xiàn)上,則的值是________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),求證:.18.(12分)已知,.(1)解不等式;(2)若方程有三個(gè)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的零點(diǎn);(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),求證:;(3)若,且不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.20.(12分)有最大值,且最大值大于.(1)求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),證明:.(參考數(shù)據(jù):)21.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線(xiàn):與橢圓交于,兩點(diǎn),連接,并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于,兩點(diǎn),已知,求證:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).22.(10分)2019年是中華人民共和國(guó)成立70周年.為了讓人民了解建國(guó)70周年的風(fēng)雨歷程,某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:,,…,,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從年齡在,,內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再?gòu)倪@8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談,用表示年齡在)內(nèi)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查,其中有名市民的年齡在的概率為.當(dāng)最大時(shí),求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點(diǎn):平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問(wèn)題是近幾年高考的又一熱點(diǎn),作為一類(lèi)既能考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí),又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問(wèn)題,實(shí)有其合理之處.解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問(wèn)題往往有很好效果.2、A【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算,由此求得的值.【詳解】依題意列表如下:上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理,考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化,求直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn),再分別討論兩函數(shù)的增減性,結(jié)合函數(shù)圖像,分析臨界點(diǎn),進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)為,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,單減,當(dāng)時(shí),,單增;當(dāng)時(shí),,,當(dāng),,當(dāng)時(shí),單減,當(dāng)時(shí),單增;根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)大致圖像,如圖:當(dāng)與()相切時(shí),得,解得;當(dāng)與()相切時(shí),滿(mǎn)足,解得,結(jié)合圖像可知,即,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題,導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性,找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題4、A【解析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,假設(shè)甲:我沒(méi)有抓到是真的,乙:丙抓到了,則丙:丁抓到了是假的,?。何覜](méi)有抓到就是真的,與他們四人中只有一個(gè)人抓到是矛盾的;假設(shè)甲:我沒(méi)有抓到是假的,那么?。何覜](méi)有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以斷定值班人是甲.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用,其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與分析判斷能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào),即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結(jié)合解得,所以,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)題意,五人分成四組,先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù),再將甲乙組成一組的情況,即可求出概率.【詳解】五人分成四組,先選出兩人組成一組,剩下的人各自成一組,所有可能的分組共有種,甲和乙分在同一組,則其余三人各自成一組,只有一種分法,與場(chǎng)地?zé)o關(guān),故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用和概率的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,計(jì)算,代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,則,解得,從而可得,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.8、C【解析】

設(shè)射線(xiàn)OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)射線(xiàn)OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當(dāng)時(shí),取得等號(hào).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問(wèn)題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識(shí),是一道容易題.9、A【解析】

由,得,代入集合B即可得.【詳解】,,,即:,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的含義,也考查了元素與集合的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法的抽樣方法,確定選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】隨機(jī)數(shù)表第1行的第4列和第5列數(shù)字為4和6,所以從這兩個(gè)數(shù)字開(kāi)始,由左向右依次選取兩個(gè)數(shù)字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在編號(hào)01,02,…,39,40內(nèi)的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重復(fù)的第5個(gè)編號(hào)為21.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

易得,,又,平方計(jì)算即可得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)C的左焦點(diǎn)為E,易得為平行四邊形,所以,又,故,,,所以,即,故離心率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線(xiàn)離心率的問(wèn)題,關(guān)鍵是建立的方程或不等關(guān)系,是一道中檔題.12、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)題意,由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程可得,即a=2b,進(jìn)而由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可得cb,由雙曲線(xiàn)的離心率公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±x,又由該雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為x﹣2y=0,即yx,則有,即a=2b,則cb,則該雙曲線(xiàn)的離心率e;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是分析a、b之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.14、160【解析】

先求的展開(kāi)式中通項(xiàng),令的指數(shù)為3即可求解結(jié)論.【詳解】解:因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為:;令,可得;的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故答案為:160.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),屬于基礎(chǔ)題.15、等腰三角形【解析】∵∴根據(jù)正弦定理可得,即∴∴∴的形狀為等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴,即∵∴故答案為等腰三角形,16、【解析】

根據(jù)題意,相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分相交弦,可得與直線(xiàn)垂直,且的中點(diǎn)在這條直線(xiàn)上,列出方程解得即可得到結(jié)論.【詳解】由,,設(shè)的中點(diǎn)為,根據(jù)題意,可得,且,解得,,,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查相交弦的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì),即兩圓的連心線(xiàn)垂直平分相交弦,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論單調(diào)性(2)欲證,只需證,構(gòu)造函數(shù),證明,這時(shí)需研究的單調(diào)性,求其最大值即可【詳解】解:(1)的定義域?yàn)?,,①?dāng)時(shí),由得,由,得,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;②當(dāng)時(shí),由得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;③當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;④當(dāng)時(shí),由,得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí),欲證,只需證,令,,則,因存在,使得成立,即有,使得成立.當(dāng)變化時(shí),,的變化如下:0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以.因?yàn)?,所以,所?即,所以當(dāng)時(shí),成立.【點(diǎn)睛】考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法,難題.18、(1);(2).【解析】

(1)對(duì)分三種情況討論,分別去掉絕對(duì)值符號(hào),然后求解不等式組,再求并集即可得結(jié)果;(2).作出函數(shù)的圖象,當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí),方程有三個(gè)解,由圖可得結(jié)果.【詳解】(1)不等式,即為.當(dāng)時(shí),即化為,得,此時(shí)不等式的解集為,當(dāng)時(shí),即化為,解得,此時(shí)不等式的解集為.綜上,不等式的解集為.(2)即.作出函數(shù)的圖象如圖所示,當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí),方程有三個(gè)解,所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】絕對(duì)值不等式的解法:法一:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;法二:利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想;法三:通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.19、(1)x=1(2)證明見(jiàn)解析(3)【解析】

(1)令,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出極小值,進(jìn)而求解;(2)轉(zhuǎn)化思想,要證,即證,即證,構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證;(3)不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,,設(shè),分類(lèi)討論進(jìn)而求解.【詳解】解:(1)令,所以,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減;所以,所以的零點(diǎn)為.(2)由題意,,要證,即證,即證,令,則,由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,即,所以原不等式成立.(3)不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,,設(shè),,記,△,①當(dāng)△時(shí),即時(shí),恒成立,故單調(diào)遞增.于是當(dāng)時(shí),,又,故,當(dāng)時(shí),,又,故,又當(dāng)時(shí),,因此,當(dāng)時(shí),,②當(dāng)△,即時(shí),設(shè)的兩個(gè)不等實(shí)根分別為,,又,于是,故當(dāng)時(shí),,從而在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,此時(shí),于是,即舍去,綜上,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】(1)考查函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn);(2)考查轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)求極值;(3)考查分類(lèi)討論思想,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的求導(dǎo);屬于難題.20、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域?yàn)?,,分和兩種情況討論,分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增,在上遞減,可得出,由,構(gòu)造函數(shù),證明出,進(jìn)而得出,再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,?當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,,此時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)為最大值;當(dāng)時(shí),令,得.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以,函數(shù)在處取得極大值,亦即最大值,即,解得.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是;(2)當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?,,?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、且,,,構(gòu)造函數(shù),其中,,令,,當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)

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