江蘇省輔仁高級中學2025屆高考數(shù)學四模試卷含解析

江蘇省輔仁高級中學2025屆高考數(shù)學四模試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)滿足當時，，且當時，；當時，且).若函數(shù)的圖象上關于原點對稱的點恰好有3對，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為，連接4個焦點的四邊形的面積為，則當取得最大值時，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比的值為（

）A． B． C．或 D．或4．已知定義在上的偶函數(shù)，當時，，設，則（）A． B． C． D．5．關于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減6．關于函數(shù)，有下述三個結論：①函數(shù)的一個周期為；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③函數(shù)的值域為.其中所有正確結論的編號是（）A．①② B．② C．②③ D．③7．已知，，，則()A． B． C． D．8．已知復數(shù)z滿足,則在復平面上對應的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知集合，集合，則等于（）A． B．C． D．10．如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．11．已知三棱錐中，為的中點，平面，，，則有下列四個結論：①若為的外心，則；②若為等邊三角形，則；③當時，與平面所成的角的范圍為；④當時，為平面內(nèi)一動點，若OM∥平面，則在內(nèi)軌跡的長度為1．其中正確的個數(shù)是（）．A．1 B．1 C．3 D．412．已知焦點為的拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，則當取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設為等比數(shù)列的前項和，若，且，，成等差數(shù)列，則.14．己知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線平行，則__________.15．的展開式中的系數(shù)為________________．16．設，則“”是“”的__________條件.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的右焦點為，過作軸的垂線交橢圓于點（點在軸上方），斜率為的直線交橢圓于兩點，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.（1）設橢圓的離心率為，當點為橢圓的右頂點時，的坐標為，求的值.（2）若橢圓的方程為，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.18．（12分）如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.（1）證明：平面；（2）設為棱的中點，當四面體的體積取得最大值時，求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間．（2）設直線是曲線的切線，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率時切線的方程．（3）已知分別在，處取得極值，求證：．20．（12分）在中，內(nèi)角的邊長分別為，且．（1）若，，求的值；（2）若，且的面積，求和的值．21．（12分）P是圓上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足．（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程．22．（10分）已知，均為正數(shù)，且.證明：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關于原點對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個交點時滿足的條件，解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關于原點對稱的圖象，如圖所示，當時，對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個交點；當時，要使函數(shù)關于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點，則，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題，考查學生數(shù)形結合的思想、轉化與化歸的思想，是一道中檔題.2、D【解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標，四個頂點構成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個頂點的坐標為，四個焦點的坐標為，四個頂點形成的四邊形的面積，四個焦點連線形成的四邊形的面積，所以，當取得最大值時有，，離心率，故選：D.【點睛】該題考查的是有關雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.3、D【解析】

由成等差數(shù)列得，利用等比數(shù)列的通項公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=故選：D．【點睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關鍵，對于等比數(shù)列的通項公式也要熟練．4、B【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，可判斷關系；由時，，求得導函數(shù)，并構造函數(shù)，由進而判斷函數(shù)在時的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，所以所以;當時，，則，令則，當時，，則在時單調(diào)遞增，因為，所以，即，則在時單調(diào)遞增，而，所以，綜上可知，即，故選：B.【點睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應用，由導函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應用，根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.5、C【解析】

先用誘導公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎題.6、C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當時，，，再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域，而，當時，再求值域.【詳解】因為，故①錯誤；當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故②正確；函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域，易知，故當時，，故③正確.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.7、B【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)據(jù)和做對比，即可判斷.【詳解】由于，，故.故選：B.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎題.8、A【解析】

設，由得：，由復數(shù)相等可得的值，進而求出，即可得解.【詳解】設，由得：，即，由復數(shù)相等可得：，解之得：，則，所以，在復平面對應的點的坐標為，在第一象限.故選：A.【點睛】本題考查共軛復數(shù)的求法，考查對復數(shù)相等的理解，考查復數(shù)在復平面對應的點，考查運算能力，屬于?？碱}.9、B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.【點睛】該題考查的是有關集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎題目.10、A【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：其中，底面為直角三角形，，，高為.∴該幾何體的體積為故選：A.【點睛】本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎題.11、C【解析】

由線面垂直的性質(zhì),結合勾股定理可判斷①正確;反證法由線面垂直的判斷和性質(zhì)可判斷②錯誤;由線面角的定義和轉化為三棱錐的體積,求得C到平面PAB的距離的范圍,可判斷③正確;由面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行,可得④正確.【詳解】畫出圖形：若為的外心，則，平面,可得,即，①正確;若為等邊三角形，，又可得平面，即,由可得，矛盾，②錯誤;若，設與平面所成角為可得，設到平面的距離為由可得即有，當且僅當取等號.可得的最大值為，即的范圍為，③正確；取中點，的中點，連接由中位線定理可得平面平面可得在線段上，而，可得④正確；所以正確的是：①③④故選：C【點睛】此題考查立體幾何中與點、線、面位置關系有關的命題的真假判斷，處理這類問題，可以用已知的定理或性質(zhì)來證明，也可以用反證法來說明命題的不成立.屬于一般性題目.12、A【解析】

過作與準線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應最大，此時與拋物線相切，再用判別式或?qū)?shù)計算即可.【詳解】過作與準線垂直，垂足為，，則當取得最大值時，最大，此時與拋物線相切，易知此時直線的斜率存在，設切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，涉及到拋物線的定義，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學生等價轉化的思想與方程思想.14、【解析】

先求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義，有求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，解得.故答案為：【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，還考查運算求解能力以及數(shù)形結合思想，屬于基礎題.15、【解析】

在二項展開式的通項中令的指數(shù)為，求出參數(shù)值，然后代入通項可得出結果.【詳解】的展開式的通項為，令，因此，的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，涉及二項展開式通項的應用，考查計算能力，屬于基礎題.16、充分必要【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】當時，有，故“”是“”的充分條件.當時，有，故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件，故答案為：充分必要.【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，可利用定義來判斷，也可以根據(jù)兩個條件構成命題及逆命題的真假來判斷，還可以利用兩個條件對應的集合的包含關系來判斷，本題屬于容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）不存在，理由見解析【解析】

（1）寫出，根據(jù)，斜率乘積為-1，建立等量關系求解離心率；（2）寫出直線AB的方程，根據(jù)韋達定理求出點B的坐標，計算出弦長，根據(jù)垂直關系同理可得，利用等式即可得解.【詳解】（1）由題可得，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.點為橢圓的右頂點時，的坐標為，即，，化簡得：，即，解得或（舍去），所以；（2）橢圓的方程為，由（1）可得，聯(lián)立得：，設B的橫坐標，根據(jù)韋達定理，即，，所以，同理可得若存在使得成立，則，化簡得：，，此方程無解，所以不存在使得成立.【點睛】此題考查求橢圓離心率，根據(jù)直線與橢圓的位置關系解決弦長問題，關鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法，尤其是韋達定理在解決解析幾何問題中的應用.18、（1）見證明；（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，利用線面垂直的判定定理證得平面；（2）設，利用椎體的體積公式求得，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得時，四面體的體積取得最大值，之后利用空間向量求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以.因為，所以，所以，因為，所以平面.（2）解：設，則，四面體的體積.，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.故當時，四面體的體積取得最大值.以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，.設平面的法向量為，則，即，令，得，同理可得平面的一個法向量為，則.由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，椎體的體積，二面角的求法，在解題的過程中，注意巧用導數(shù)求解體積的最大值.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），；（3）證明見解析．【解析】

（1）由的正負可確定的單調(diào)區(qū)間；（2）利用基本不等式可求得時，取得最小值，由導數(shù)的幾何意義可知，從而求得，求得切點坐標后，可得到切線方程；（3）由極值點的定義可知是的兩個不等正根，由判別式大于零得到的取值范圍，同時得到韋達定理的形式；化簡為，結合的范圍可證得結論.【詳解】（1）由題意得：的定義域為，當時，，，當和時，；當時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），所以（當且僅當，即時取等號），切線的斜率存在最小值，，解得：，，即切點為，從而切線方程，即：．（3），分別在，處取得極值，，是方程，即的兩個不等正根．則，解得：，且，．，，，即不等式成立．【點睛】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導數(shù)幾何意義的應用、利用導數(shù)證明不等式等知識；本題中證明不等式的關鍵是能夠通過極值點的定義將問題轉變?yōu)橐辉畏匠谈姆植紗栴}.20、（1）；（2）.【解析】

（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理計算即可得到所求值；

（2）運用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式，化簡可得sinA+sinB=5sinC，運用正弦定理和三角形的面積公式可得a，b的方程組，解方程即可得到所求值．【詳解】解：（1）由余弦定理由正弦定理得（2）由已知得：