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文檔簡介
福建省廈門市廈門一中2025屆高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),為非零向量,則“存在正數(shù),使得”是“”的()A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.充分不必要條件2.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.3.在的展開式中,的系數(shù)為()A.-120 B.120 C.-15 D.154.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.45.若等差數(shù)列的前項和為,且,,則的值為().A.21 B.63 C.13 D.846.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.7.若實數(shù)滿足不等式組則的最小值等于()A. B. C. D.8.設(shè)為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.9.定義在R上的函數(shù)滿足,為的導(dǎo)函數(shù),已知的圖象如圖所示,若兩個正數(shù)滿足,的取值范圍是()A. B. C. D.10.在平行六面體中,M為與的交點,若,,則與相等的向量是()A. B. C. D.11.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.12.大衍數(shù)列,米源于我國古代文獻《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,數(shù)列中的每一項,都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則大衍數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的虛部為__________.14.已知平面向量,,且,則向量與的夾角的大小為________.15.設(shè)點P在函數(shù)的圖象上,點Q在函數(shù)的圖象上,則線段PQ長度的最小值為_________16.已知兩圓相交于兩點,,若兩圓圓心都在直線上,則的值是________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四邊形中,,,,沿對角線將翻折成,使得.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知是公比為的無窮等比數(shù)列,其前項和為,滿足,________.是否存在正整數(shù),使得?若存在,求的最小值;若不存在,說明理由.從①,②,③這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.19.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且點在函數(shù)的圖像上;(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足:,,求的通項公式;(3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;20.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點,圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點,試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請說明理由.21.(12分)為提供市民的健身素質(zhì),某市把四個籃球館全部轉(zhuǎn)為免費民用(1)在一次全民健身活動中,四個籃球館的使用場數(shù)如圖,用分層抽樣的方法從四場館的使用場數(shù)中依次抽取共25場,在中隨機取兩數(shù),求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)四個籃球館一個月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為,其相應(yīng)維修費用為元,根據(jù)統(tǒng)計,得到如下表的數(shù)據(jù):x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程;②叫做籃球館月惠值,根據(jù)①的結(jié)論,試估計這四個籃球館月惠值最大時的值參考數(shù)據(jù)和公式:,22.(10分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,∥,為等邊三角形,平面底面,為的中點.(1)求證:平面平面;(2)點在線段上,且,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
充分性中,由向量數(shù)乘的幾何意義得,再由數(shù)量積運算即可說明成立;必要性中,由數(shù)量積運算可得,不一定有正數(shù),使得,所以不成立,即可得答案.【詳解】充分性:若存在正數(shù),使得,則,,得證;必要性:若,則,不一定有正數(shù),使得,故不成立;所以是充分不必要條件故選:D【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算,向量數(shù)乘的幾何意義,還考查了充分必要條件的判定,屬于簡單題.2、D【解析】
結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.3、C【解析】
寫出展開式的通項公式,令,即,則可求系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為,令,即時,系數(shù)為.故選C【點睛】本題考查二項式展開的通項公式,屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】
計算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算,共軛復(fù)數(shù)的概念.5、B【解析】
由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求,,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】解:因為,,所以,解可得,,,則.故選:B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
設(shè),計算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.7、A【解析】
首先畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求的最小值.【詳解】解:作出實數(shù),滿足不等式組表示的平面區(qū)域(如圖示:陰影部分)由得,由得,平移,易知過點時直線在上截距最小,所以.故選:A.【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題,求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域,利用幾何意義求值,屬于中檔題.8、D【解析】
用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計算.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式,解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.9、C【解析】
先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍,再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,而,故由可知.故,又有,綜上得的取值范圍是.故選:C【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識,屬于中檔題.10、D【解析】
根據(jù)空間向量的線性運算,用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運算可知因為,,則即,故選:D.【點睛】本題考查了空間向量的線性運算,用基底表示向量,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【點睛】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.12、B【解析】
直接代入檢驗,排除其中三個即可.【詳解】由題意,排除D,,排除A,C.同時B也滿足,,,故選:B.【點睛】本題考查由數(shù)列的項選擇通項公式,解題時可代入檢驗,利用排除法求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】試題分析:,即虛部為1,故填:1.考點:復(fù)數(shù)的代數(shù)運算14、【解析】
由,解得,進而求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:因為,所以,解得,所以,所以向量與的夾角的大小為.都答案為:.【點睛】本題主要考查平面向量的運算,平面向量垂直,向量夾角等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,則點到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.【詳解】由題,因為與互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,設(shè)點為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當(dāng)時,,即單調(diào)遞減;當(dāng)時,,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題.16、【解析】
根據(jù)題意,相交兩圓的連心線垂直平分相交弦,可得與直線垂直,且的中點在這條直線上,列出方程解得即可得到結(jié)論.【詳解】由,,設(shè)的中點為,根據(jù)題意,可得,且,解得,,,故.故答案為:.【點睛】本題考查相交弦的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì),即兩圓的連心線垂直平分相交弦,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明;(2)【解析】
(1)取的中點,連.可證得,,于是可得平面,進而可得結(jié)論成立.(2)運用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值.【詳解】(1)證明:取的中點,連.∵,∴.又,∴.在中,,∴.又,∴平面,又平面,∴.(2)解法1:取的中點,連結(jié),∵,∴,又,∴.又由題意得為等邊三角形,∴,∵,∴平面.作,則有平面,∴就是直線與平面所成的角.設(shè),則,在等邊中,.又在中,,故.在中,由余弦定理得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.解法2:由題意可得,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則在直角三角形中,可得,作于,則有平面幾何知識可得,∴.又可得,.∴,.設(shè)平面的一個法向量為,由,得,令,則得.又,設(shè)直線與平面所成的角為,則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】利用向量法求解直線和平面所成角時,關(guān)鍵點是恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系,確定斜線的方向向量和平面的法向量.解題時通過平面的法向量和直線的方向向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角,取其余角就是斜線與平面所成的角.求解時注意向量的夾角與線面角間的關(guān)系.18、見解析【解析】
選擇①或②或③,求出的值,然后利用等比數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于的不等式,判斷不等式是否存在符合條件的正整數(shù)解,在有解的情況下,解出不等式,進而可得出結(jié)論.【詳解】選擇①:因為,所以,所以.令,即,,所以使得的正整數(shù)的最小值為;選擇②:因為,所以,.因為,所以不存在滿足條件的正整數(shù);選擇③:因為,所以,所以.令,即,整理得.當(dāng)為偶數(shù)時,原不等式無解;當(dāng)為奇數(shù)時,原不等式等價于,所以使得的正整數(shù)的最小值為.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.19、(1)(2)當(dāng)n為偶數(shù)時,;當(dāng)n為奇數(shù)時,.(3)【解析】
(1)根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.(3)分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意可知,.當(dāng)時,,當(dāng)時,也滿足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.當(dāng)時,,①當(dāng)時,,所以,②當(dāng)時,,③當(dāng)時,,所以,④……當(dāng)時,n為偶數(shù)當(dāng)時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時,.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時,,所以,當(dāng)n為奇數(shù)時,.解法二:猜測:當(dāng)n為奇數(shù)時,.猜測:當(dāng)n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:,命題成立;假設(shè)當(dāng)時,命題成立;當(dāng)n為奇數(shù)時,,當(dāng)時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知,當(dāng)n為奇數(shù)時同理,當(dāng)n為偶數(shù)時,命題仍成立.(3)由(2)可知.①當(dāng)n為偶數(shù)時,,所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時,的最大值是.②當(dāng)n為奇數(shù)時,,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項公式的應(yīng)用,分類討論奇偶項的通項公式及求和方法,數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.20、(1);(2)見解析.【解析】
(I)結(jié)合離心率,得到a,b,c的關(guān)系,計算A的坐標(biāo),計算切線與橢圓交點坐標(biāo),代入橢圓方程,計算參數(shù),即可.(II)分切線斜率存在與不存在討論,設(shè)出M,N的坐標(biāo),設(shè)出切線方程,結(jié)合圓心到切線距離公式,得到m,k的關(guān)系式,將直線方程代入橢圓方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,表示,結(jié)合三角形相似,證明結(jié)論,即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為,由橢圓的離心率為知,,∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得,∴點在橢圓上,∴,解得,∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過點且與圓相切的切線斜率不存在時,不妨設(shè)切線方程為,由(Ⅰ)知,,,∴.當(dāng)過點且與圓相切的切線斜率存在時,可設(shè)切線的方程為,,∴,即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得,∴,得.∵,∴,,∴.綜上所述,圓上任意一點處的切線交橢圓于點,都有.在中,由與相似得,為定值.【點睛】本道題考查了橢圓方程的求解,考查了直線與橢圓位置
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