第2講 圓錐曲線第二定義與焦半徑公式（解析版）

一．選擇題（共5小題）1．已知點(diǎn)P是雙曲線一上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為該雙曲線的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為() 【解答】解：由題意，分子最大且分母最小時(shí)，即P在頂點(diǎn)處取得最大值，不妨取頂點(diǎn)(2·2，0)，則的最大值為故選：D.別是雙曲線的左右焦點(diǎn)則+y0(c為雙曲線C的半焦距）的取值范圍是():右支上的點(diǎn)P(x0，y0)滿足|PF1|=3|PF2|，解得，:P在右支上，可得x0=令e2而f(t)=1(t+32)在(1，4]遞減，c225:2≤x0+y0<2，故選：B.坐標(biāo)原點(diǎn)，若的最大值是，則此雙曲線的離心率是() 【解答】解：不妨設(shè)P為右支上的一點(diǎn)，P(x,y)其中x≥a，|PFx+yx+y:當(dāng)x=a時(shí)，取得最大值，故選：B.4．已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則當(dāng)|AB|+|DE|取得最小值時(shí)，四邊形ADBE的面積為()A．32【解答】解：因?yàn)锳B丄DE，要使|AB|+|DE|最小，|AB||DE|,由拋物線的對稱性可得A與D，B與E關(guān)于x軸對稱，所以可得直線DE的斜率為1，又過拋物線的焦點(diǎn)(1,0)，l2l故選：A.5．過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于A，B，C，D四點(diǎn)，【解答】解：由橢圓得橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0)，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，又設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立方程組為定值.故選：D.二．填空題（共3小題）6．已知P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則【解答】解：設(shè)P的坐標(biāo)為(m,n)2作出橢圓的右準(zhǔn)線，設(shè)P在右準(zhǔn)線上的射影為Q，連結(jié)PQ，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得2·i2].7．已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則的值為.【解答】解：根據(jù)題意可得，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=一1，設(shè)直線l1:y=k(x1)(k≠0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，E(x4，y4)，則分別將直線l1，l2的方程與拋物線方程聯(lián)立組成方程組可得，由拋物線性質(zhì)可知，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，148．已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+4|DE|的最小值為36.【解答】解：拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=-1，設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1)，k≠0，聯(lián)立方程組，則k2x2-x+k2=0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，丄l2，可將上式中的k換為-，2，當(dāng)且僅當(dāng)上式取得等號，故答案為：36.三．解答題（共6小題）9．已知斜率為k的直線l與橢圓=1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，（1）證明：k<-；------------（2）設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且FP+FA+FB=0．證明：|FA|------------【解答】解1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，:線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)，將A，B代入橢圓=1中，可得兩式相減可得，3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+即6(x1-x2)+8m(y1-y2點(diǎn)M(1,m)在橢圓內(nèi)，即:k=-①（2）由題意得F(1,0)，設(shè)P(x3，y3)，則x1-1+x2-1+x3-1=0，y1+y2+y3=0，又點(diǎn)P在C上，所以m=，從而P------------------------②所以l的方程為y=-x+，代入C的方程，并整理得7x2-14x+所以該數(shù)列的公差為或-.10．已知斜率為k的直線l與橢圓=1交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，證明：k<-|--FB||--，B(x2，y2)，（1）-（2）得+=0.??????????????????（3分）.???????????????????????由題設(shè)可知點(diǎn)M(1,t)在橢圓內(nèi)，:+<1，解得0<t<，????????????????????（5分）:FQ=-2FM，?????????????????????????（6」M(1,t)，:Q(1,-2t).???????????????（7由知k=-，所以k=-:直線l的方程為，即y=-x+2.??????????（9分）由直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，得消y化簡得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3.??????????（10分）從而得A(-1,)，B(3,0)，?????????????????????????11．已知F1、F2是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PFF的內(nèi)切圓面積的最大值為4π（1）求橢圓的方程；（2）若A，B，C，D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，滿足向量F1A與F1C共線，F(xiàn)1B【解答】解1）由幾何性質(zhì)可知，當(dāng)，△PF1F2的內(nèi)切圓面積的最大值時(shí)， 由πr2=π又由△PF1F2的周長為2a+2c定值，可得a=2c，即b=2，:c=2，b=2，a=4，（2）①當(dāng)直線AC和BD中有一條垂直x軸時(shí)，|AC|+|BD|=6+8=14②當(dāng)直線AC的斜率存在但不為0時(shí)，設(shè)AC的方程為：y=k(x+2)，得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0，代入弦長公式得同理由，消去y，代入弦長公式得|，令令則12．已知橢圓+=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(,—)，且橢圓的離心率e=，過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)A、B及C、D.求證：為定值；(Ⅲ)求|AB|+|CD|的最小值.【解答】解：(I)由e==，得=，:a2=4c2=4(a2—b2)，:3a2=4b21?（1分）.?（3分）故橢圓的方程是=1.?證明：橢圓的右焦點(diǎn)為F’(1,0)，分兩種情況.1O當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，AB:x=1，2O當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，又設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立方程組::=(x1x2)2+(y1y2)2=2,?（8分）所以為定值.?（10分）解：由知 =(++) 當(dāng)且僅當(dāng):|AB|+|CD|的最小值為.?（14分）13．已知橢圓的長軸長為4，離心率為，一動(dòng)圓C2過橢圓C1右焦點(diǎn)F，且與直線x=1相切.（1）求橢圓C1的方程及動(dòng)圓圓心軌跡C2的方程；（2）過F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C1于P，Q兩點(diǎn)，交曲線C2于M，N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的最小值.則所求橢圓方程由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線C的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=1，則動(dòng)圓圓心軌跡方程為C2:y2=4x.（2）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，|MN|=4，此時(shí)PQ的長即為橢圓長軸長，|PQ|=4，設(shè)直線MN的斜率為k，則k≠0，直線MN的方程為：y=k(x—1)，直線PQ的方程為設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則,所以四邊形PMQN面積的最小值為8.14．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F為橢圓的右焦點(diǎn)