江西省贛州市于都縣2024屆九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

江西省贛州市于都縣2024屆九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.如圖（1）所示，￡為矩形44CD的邊AO上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)4出發(fā)，點(diǎn)P沿折線BE-EO-OC運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)。時(shí)停止，點(diǎn)。沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒，設(shè)尸、。同時(shí)出發(fā)/秒時(shí)，她尸。的

面積為ye、，".已知），與/的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分）則下列結(jié)論正確的是（）

圖（1）圖（2）

A.AB:AD=3:4B.當(dāng)ABPQ是等邊三角形時(shí)，1=5秒

C.當(dāng)AWEAQ8P時(shí)，，=7秒D.當(dāng)ABPQ的面積為垢/時(shí)，f的值是JI6或秒”

5

2.當(dāng)，〃取下列何值時(shí)，關(guān)于人的一元一次方程修￡-2工+1=。有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（）

A.1.B.2C.4.D.±1

3.如圖，甲、乙為兩座建筑物，它們之間的水平距離8c為30〃?，在A點(diǎn)測(cè)得。點(diǎn)的仰角NEAO為45。，在B點(diǎn)測(cè)

得。點(diǎn)的仰角NC8O為60。，則乙建筑物的高度為（）米.

A.30&B.30x/3-30C.30D.3072

4.在歐AABC中，ZC=90°,若斜邊AB是直角邊BC的3倍，則必㈤的值是（）

A.1B.3C.4D.2^/2

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，正方形A5C&與正方形是以原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，且相似比為!，點(diǎn)

A,B,￡在無(wú)軸上.若正方形A8CO的邊長(zhǎng)為2,則點(diǎn)尸坐標(biāo)為（）

A.（8,6）B.（9,6）C.（吟6）D.（10,6）

6.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.一組同旁內(nèi)角相等的平行四邊形是矩形

B.一組鄰邊相等的菱形是正方形

C.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

D.對(duì)角線相等的菱形是正方形

7.下列方程中，屬于一元二次方程的是（）

A.2x+3y=1B.4+x=lC.%24-5=（X+1）2D.X（R+3）=5

8.在同一時(shí)刻，身高1?5米的小紅在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)2米，則影長(zhǎng)為6米的大樹(shù)的高是（）

A.4?5米8米C?5米D.5?5米

9.對(duì)于二次函數(shù)爐=-乙&*導(dǎo)岔下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)x>0,y隨x的增大而增大

B.當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值一3

C.圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,-7）

D.圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

10.如圖，已知正方形48。）的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)從尸分別為4B、〃。邊的中點(diǎn)，連接4戶、OE相交于點(diǎn)M,則COS/CDM

等于

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如圖，在小孔成像問(wèn)題中，小孔0到物體AB的距離是60cm,小孔。到像CD的距離是30cm,若物體AB的長(zhǎng)為

16cm,則像CD的長(zhǎng)是cm.

12.某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是21,則

每個(gè)支干長(zhǎng)出____.

13.如甌AB是。O的直徑，弦COA8,垂足為E,如果AB=20,CD=16,那么線段OE的長(zhǎng)為.

14.請(qǐng)將二次函數(shù)y=-2x2+4x+6改寫y=A的形式為.

15.若代數(shù)式f+,7n-I是完全平方式，則〃?的值為.

16.如甌正五邊形A8CDE內(nèi)接于。0,尸為A3上一點(diǎn)，連接夕穴夕石，則NAPE的度數(shù)為.

17.從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度/?（米）與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間，（秒）的關(guān)系式是力=30/-5巴小球運(yùn)動(dòng)中的

最大高度是____米.

18.某工廠1月份的產(chǎn)值為50000元，3月份的產(chǎn)值達(dá)到72000元，這兩個(gè)月的產(chǎn)值平均月增長(zhǎng)的百分率是多少？

三、解答題（共66分）

(1)判斷下列命題是真命題，還是假命題？

①正方形是自相似菱形；

②有一個(gè)內(nèi)角為60。的菱形是自相似菱形.

③如圖1,若菱形是自相似菱形，ZABC=a(0°<a<90°),E為3C中點(diǎn)，貝1在△ABE,△AED,△￡OC中，相

似的三角形只有△A3E與△/1a>.

(2)如圖2,菱形48CO是自相似菱形，NA8C是銳角，邊長(zhǎng)為4,E為BC中點(diǎn).

①求4耳OE的長(zhǎng)；

②AC,BD交于點(diǎn)O,求tanNOEC的值.

24.(8分)如圖，AE//BFfAC平分且交BF于點(diǎn)C,8D平分乙43/，且交AE于點(diǎn)。，AC與8。

相交于點(diǎn)。，連接CO

(1)求/AOD的度數(shù)；

(2)求證：四邊形A3C。是菱形.

25.(10分)如圖，是。。的直徑，弦CDJ.AB于點(diǎn)E,G是AC上一點(diǎn)，AGf。。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸.

(1)求證：ZFGC=ZAGD.

(2)當(dāng)DG平分NAGC,ZADG=45°fAb=遍，求弦。。的長(zhǎng).

26.(10分)如圖，在平行四邊形A5CD中，E為AO邊上一點(diǎn)，平分N48C,連接CE,己知?！?6,CE=8f

AE=l.

(1)求43的長(zhǎng)；

(2)求平行四邊形ABC。的面積;

(3)求cosN/lE￡L

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、D

【分析】先根據(jù)圖象信息求出AB、BE、BE、AE、ED,

A、直接求出比，

B、先判斷出NEBCH60。，從而得出點(diǎn)P可能在ED上時(shí)，△PBQ是等邊三角形，但必須是AD的中點(diǎn)，而AE>ED,

所以點(diǎn)P不可能到AD中點(diǎn)的位置，故△PBQ不可能是等邊三角形；

C、利用相似三角形性質(zhì)列出方程解決，分兩種情況討論計(jì)算即可，

D、分點(diǎn)P在BE上和點(diǎn)P在CD上兩種情況計(jì)算即可.

【詳解】由圖象可知，AD=BC=BE=5,CD=AB=4,AE=3,DE=2,

A、AAB：AD=5：4,故A錯(cuò)誤，

AF3

B、Vtan^ABE==—,

AB4

:./ABE=30°

，NPBQK600,

???點(diǎn)P在ED時(shí)，有可能△PBQ是等邊三角形，

VBE=BC,

，點(diǎn)P到點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q到點(diǎn)C,

，點(diǎn)P在線段AD中點(diǎn)時(shí)，有可能△口!{(}是等邊三角形，

VAE>DE,

???點(diǎn)P不可能到AD的中點(diǎn)，

???△PBQ不可能是等邊三角形，故B錯(cuò)誤，

C、VAABE^AQBP,

，點(diǎn)E只有在CD上，且滿足BC失=C三P，

ABAE

.5CP

.?一=9

43

ACP=—.

4

1529

At=(BE+ED+DQ)+1=5+2+(4-y)=—.

故C錯(cuò)誤，

D、①如圖(1)

圖⑴

在RtZkABE中，AB=4,BE=5

AB4

sinZAEB=----=—,

BE5

4

AsinZCBE=-

5

VBP=t,

4

APG=BPsinZCBE=-t,

5

A1142,

ASABPQ=yBQXPG=yXtXyt=yt2=4,

.*.t=-Vio(舍)或t=VF5,

②當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí),

115

SABPQ=-XBCXPC=-X5X(5+2+4-t)=-X(11-t)=4,

222

47

47

，當(dāng)△BPQ的面積為4cm2時(shí)，t的值是Ji?；蚨?，故D正確,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象、矩形的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí).解題的關(guān)鍵是讀懂

圖象信息求出相應(yīng)的線段，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的思想解決，屬于中考常考題型..

2、A

【分析】根據(jù)一元二次方程的判別式判斷即可.

【詳解】要使得方程由兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，

判別式△=(-2)2-4m=4-4m=0,

解得m=1.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考杳一元二次方程判別式的計(jì)算,關(guān)鍵在于熟記判別式與根的關(guān)系.

3、B

【分析】在R3BCD中，解直角三角形，可求得CD的長(zhǎng)，即求得甲的高度，過(guò)A作AF_LCD于點(diǎn)F,在R3ADF中

解直角三角形可求得DF,則可求得CF的長(zhǎng)，即可求得乙的高度.

【詳解】解：如圖，過(guò)A作AF_LCD于點(diǎn)F,

在RtABCD中，ZDBC=60°,BC=30m,

CD

VtanZDBC=—，

BC

.*.CD=BC-tan60°=30Qm,

，甲建筑物的高度為30gm；

在RSAFD中，ZDAF=45°,

:.DF=AF=BC=30m,

.\AB=CF=CD-DF=(30530)m,

，乙建筑物的高度為(306.30)m.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，構(gòu)造直角三角形，利用特殊角求得相應(yīng)線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

4、D

【分析】先求出AC,再根據(jù)正切的定義求解即可.

【詳解】設(shè)BC=x,貝!|AB=3x,

由勾股定理得，AC=2后，

,?AC2缶八不

tanB=——=------=272，

BCx

故選D.

考點(diǎn)：1.銳角三角函數(shù)的定義；2.勾股定理.

5、B

【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合相似比得出￡尸的長(zhǎng)，進(jìn)而得出進(jìn)而得出EO的長(zhǎng)，即可得出

答案.

【詳解】解：???正方形耳"。與正方形"KFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為,，

3

?.?B-C=-O-B=一1,

EFEO3

VBC=2,

：.EF=BE=6t

?:BC〃EF,

:?△OBCS^OEF,

.1BO

??3—8。+6'

解得：0B=3,

：.E0=9f

，尸點(diǎn)坐標(biāo)為：（9,6）,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了位似變換以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出0B的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

6、B

【分析】利用正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【詳解】解：A、一組同旁內(nèi)角相等的平行四邊形是矩形，正確；

仄一組鄰邊相等的矩形是正方形，錯(cuò)誤；

C、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，正確；

仄對(duì)角線相等的菱形是正方形，正確.

故選總

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

7、D

【分析】根據(jù)一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(2)二次項(xiàng)系數(shù)不為0,對(duì)各選項(xiàng)分析判

斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A.2x+3)，=l不是一元二次方程；

B.r+尤=1不是一元二次方程；

C.d+5=(x+l)2整理后可知不是一元二次方程；

D.x(x-3)=5整理后是一元二次方程；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題利用了一元二次方程的概念.只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是

ax2+bx+c=0(且a#)).

8、A

【解析】根據(jù)同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過(guò)物體頂部的太陽(yáng)光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似即可得.

【詳解】如圖，由題意可得：4。1=15旦6=2,人。=6,乙4蜴6~4^。

由相似三角形的性質(zhì)得：^AC.=—AC,即二1.？5二A——C

BC26

解得：AC=4.5(米)

BtGBC

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，理解題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用相似三角形的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵.

9、B

11

【詳解】二次函數(shù)），=—：Y7+x—4=-a—2）92—3,

所以二次函數(shù)的開(kāi)口向下，當(dāng)xV2,y隨x的增大而增大，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)x=2時(shí)，取得最大值，最大值為一3,選項(xiàng)B正確；

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,?3）,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,?3）,拋物線開(kāi)口向下可得拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故答案選B.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì).

10>A

【分析】根據(jù)正方形的特點(diǎn)可知NCDW=NO￡4,利用勾股定理求出DE,根據(jù)余弦的定義即可求解.

【詳解】?.?CD〃AB,：.ZCDM=ZDEA,

???E是AB中點(diǎn),

1

AAE=-AB=1

2

???DE=+4爐=行

AE1石

:.cosZCDM=cosZDEA=~—=~r=—

DE店5

故選A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查余弦的求解，解題的關(guān)鍵是熟知余弦的定義.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、8

【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解題.

【詳解】解：由小孔成像的特征可知,AOABs^OCD,

由相似三角形的性質(zhì)可知：對(duì)應(yīng)高比:相似比:對(duì)應(yīng)邊的比，

.\30:60=CD：16,

解得：CD=8cm.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉性質(zhì)內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

12>4個(gè)小支干.

【分析】設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小支干，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是21,即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之

取其正值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出X個(gè)小支干，

根據(jù)題意得：l+x+x?=21，

解得：X1=-5(舍去)，x2=4.

故答案為4個(gè)小支干.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

13、6

【分析】連接OD,根據(jù)垂徑定理，得出半徑OD的長(zhǎng)和DE的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求出OE的長(zhǎng)即可.

【詳解】：A8是。O的直徑，弦垂足為E,

AOD=-AB=10,DE=-CD=8,

22

在.RtAO。石中，由勾股定理可得：

OE=7O￡>2-DE2=6?

故本題答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

14、y=-2(x-l)2+8

【分析】利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來(lái)湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式.

【詳解】解：y=-2x2+4x+6=-2(x2-2x+l)+2+6=-2(x-1)2+8；

故答案為：y=-2(工-+8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)解析式的三種形式：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(aWO,a^b^c為常數(shù))；

(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k；

(3)交點(diǎn)式(與x軸)：y=a(x-xi)(x-X2).

15、±2

【分析】利用完全平方式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值.

【詳解】解：???代數(shù)式(+mx+l是一個(gè)完全平方式，

/.m=±2,

故答案為：±2

【點(diǎn)睛】

此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

16、36

【分析】連接OA,OE.根據(jù)正五邊形A48E求出NAOE的度數(shù)，再根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)即可解答

【詳解】如圖，連接OA,OE.

TABCDE是正五邊形,

?5出手中

，NAPE=-ZAOE=36°

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了正多邊形和圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握想關(guān)性質(zhì)并且靈活運(yùn)用題目的已知條件.

17、1

【分析】首先理解題意，先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題后，知道解此題就是求出h=30t-5t2的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】解：h=-5尸+30，

=-5(Z2-6Z+9)+1

=-5(/-3)2+1,

?：a=-5<0,

???圖象的開(kāi)口向下，有最大值，

當(dāng)F=3時(shí)，6.大值=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)就能求出結(jié)果.

18、20%

【分析】設(shè)這兩個(gè)月的產(chǎn)值平均月增長(zhǎng)的百分率為x,根據(jù)該工廠1月份及3月份的產(chǎn)值，即可得出關(guān)于x的一元二

次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)月的產(chǎn)值平均月增長(zhǎng)的百分率為x,

依題意，得：50000(1+x)2=72000,

解得：xi=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).

答：這兩個(gè)月的產(chǎn)值平均月增長(zhǎng)的百分率是20%.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程.

三、解答題(共66分)

19、(1)年平均增長(zhǎng)率為20%；(2)28800戶

【分析】(1)一般用增長(zhǎng)后的量二增長(zhǎng)前的量x(1+增長(zhǎng)率)，今年年要投入資金是5(1+x)億元，在今年的基礎(chǔ)上再

增長(zhǎng)x,就是明年的資金投入5(1+x)(1+x),由此可列出方程5(H-x)2=7.2,求解即可；

(2)計(jì)算出2020年投入資金即可得解.

【詳解】(D解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x

5(1+x)2=7.2

解得xi=?2.2(舍去)，X2=0.2

/.x=0.2=20%

答：年平均增長(zhǎng)率為20%；

(2)7.2x(1+20%)=8.64(億元)=86400(萬(wàn)元),

86400+3=28800(戶)，

答：2020年能幫助28800戶建設(shè)保障性住房.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程中增長(zhǎng)率的知識(shí).增長(zhǎng)前的量x(1+年平均增長(zhǎng)率)年敷二增長(zhǎng)后的量.

20、(1)等腰三角形，理由見(jiàn)解析；(2)成立，理由見(jiàn)解析；(3)4713.

【分析】(1)首先根據(jù)圓周角定理及垂直的定義得到NR4Q+NC4〃=90。，ZC+ZC4D=9O°,從而得到

/BAD=/C,然后利用等弧對(duì)等角、等角對(duì)等邊等知識(shí)得到A/二B/，從而證得=判定等腰三角形；

(2)成立，證明方法同(1)；

(3)首先根據(jù)上題得到4b==依，從而利用已知條件得到F3=13,然后利用勾股定理得到80=12,

DF=5,從而求得AO=8,最后求得=

【詳解】解；（1）結(jié)論：△以G是等腰三角形;

理由：如圖1,

?：BC為直徑,ADLBC,

ZBAD+ZCAD=90°fNC+NGW=90。,

...ABAD=AC,

???AE=AB，

:.ZABE=ZCt

:.ZABE=NBAD,

:.AF=BF,

???N8AZ)+NCW=90。，ZABE+Z4GB=90°,

:.ZDAC=ZAGBf

:.FA=FG,

.?…￡4G是等腰三角形；

(2)(1)中的結(jié)論成立；

???3C為直徑，ADLBC,

.?.NBAD+NCAD=90。,ZC+ZCAD=90°t

/BAD=NC,

vAE=AB^

ZABE=ZCf

:.ZABE=ZBAD,

;.AF=BF,

???/BAD+ZCAD=90°,ZABE+ZAGB=90°,

NDAC=ZAGB,

:.FA=FG,

E4G是等腰三角形：

(3)由(2)得；AF=BF=FG,

???8G=26,

.?.尸8=13,

BD-DF=1

1^D2+DF2=169

解得:80=12,DF=5,

AD=AF-DF=]3-5=^t

AB=JAD?+Blf=A/82+122=4屈?

【點(diǎn)睛】

此題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，垂徑定理、勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷

出△EAG是等腰三角形，是一道難度不大的三角形和圓的結(jié)合的題目.

54

21>(1)X)=l,x2=--；(2)x,=—,x2=-2；過(guò)程見(jiàn)詳解.

【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可；

(2)利用直接開(kāi)平方法求解即可.

【詳解】解：(1)3/+2L5=0

(x-l)(3x+5)=O

解得：%=1,%2二—1；

(2)(l-2x)2=V—6工+9

(1-2X)2=(X-3)2

l-2x=±(x-3)

-4

?,?解得x=7，x,=-2.

3~

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

22、(1)甲的平均成績(jī)是8,乙的平均成績(jī)是8,(2)推薦甲參加省比賽更合適.理由見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)；

(2)根據(jù)方差公式即可求出甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的方差，進(jìn)而判斷出薦誰(shuí)參加省比賽更合適.

【詳解】(1)甲的平均成績(jī)是：

(9+8+8+7)4-4=8,

乙的平均成績(jī)是；

(10+6+7+9)4-4=8,

(2)甲的方差是：

-xP(9-8)2+(8-81+(8-8『+(7-8)[=_1_,

4L」2

乙的方差是：

；x[(10-8『+(6-8『+(7_8『+(9-8)[=1.

所以推薦甲參加省比賽更合適.理由如下：

兩人的平均成績(jī)相等，說(shuō)明實(shí)力相當(dāng)；

但是甲的四次測(cè)試成績(jī)的方差比乙小，說(shuō)明甲發(fā)揮較為穩(wěn)定，

故推薦甲參加省比賽更合適.

【點(diǎn)睛】

本題考查了方差、算術(shù)平均數(shù).解決本題的關(guān)鍵是掌握方差、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式.

23、⑴見(jiàn)解析；(2)①AE=20,DE=4y/2；?tanZDBC=^y-.

【分析】(D①證明AAbEgZXDCE(SAS),得出△AbEs/\OCE即可；

②連接AC,由自相似菱形的定義即可得出結(jié)論；

③由自柜似菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

A8BEAE

(2)①由(1)③得得出——=--=-求出.4后=2①，OE=4夜即可；

DEAEAD

②過(guò)￡作￡">14。于過(guò)。作〃。于N,則四邊形。MEN是矩形，得出DN=EM,DM=EN,NM=NN=

90。，設(shè)AM=x,則EN=OW=x+4,由勾股定理得出方程，解方程求出AM=1,EN=DM=5t由勾股定理得出ON

=EM=1AE2_AM?=幣,求出ZW=7,再由三角函數(shù)定義即可得出答案?

【詳解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命題；理由如下：

如圖3所示：

???四邊形ABC。是正方形，點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)，

：.AB=CDfBE=CEfNA3E=NOC￡=90。，

在AA8E和AOCE中

AB=CD

<ZABE=ZDCEt

BE=CE

：.4ABE義△DCE(SAS),

:.AARES&DCE,

???正方形是自相似菱形,

故答案為：真命題；

圖3

②有一個(gè)內(nèi)角為60。的菱形是自相似菱形，是假命題；理由如下:

如圖4所示：

連接AG

???四邊形A5CD是菱形，

:?AB=BC=CD,AD//BCtAB//CDt

VZB=60°,

???△ABC是等邊三角形，NOCE=120。，

???點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

：.AE±BCt

，NAEB=NOA￡=90。，

???只能與△ZME相似，

?：AB〃CD,

???只能N5=NAEO,

若N4EO=N8=60。，則NCEO=180。-90°-60°=30°,

:.ZCD￡=180°-120°-30°=30°,

：?NCED=NCDE,

：.CD=CEf不成立，

，有一個(gè)內(nèi)角為60。的菱形不是自相似菱形，

故答案為：假命題；

AD

圖4

③若菱形是自相似菱形，Z4BC=a(0°<?<90°),E為〃。中點(diǎn)，

則在△ABE,△AEO,△EOC中，相似的三角形只有與△AED,是真命題；理由如下:

VZ/lBC=a(0°<a<90°),

AZ090°,且NA3C+NC=180。，△ABE與△EOC不能相似，

同理△AEO與△EOC也不能相似，

:四邊形ABCO是菱形，

：.AD//BCt

：.ZAEH=ZDAE,

當(dāng)NAED=N8時(shí)，AABE^/\DEAf

???若菱形ABC。是自相似菱形，ZABC=a(0°<a<90°),E為BC中點(diǎn),

則在△ABE,△AEO,△￡OC中，相似的三角形只有△A6E與△△&),

故答案為：真命題；

⑵①??,菱形A8co是自相似菱形，NA8C是銳角，邊長(zhǎng)為4,E為BC中點(diǎn)，

：.BE=2fAB=AD=4f

由(1)③得：AABE^/^DEAt

.ABBE_AE

^~DE~^E~~AD

2

：.AE=BE^AD=2x4=St

lABAE4x2&r-

??AE=2y[2fDE=-----------=-----------=4夜,

BE2

故答案為：AE=2y/2;OE=4&；

②過(guò)￡作EM_LAO于M,過(guò)。作ON_L3。于N,如圖2所示：則四邊形QMEN是矩形,

1?DN=EM,DM=EN,NM=NN=90。，

設(shè)AM=x,貝!IEN=OM=X+4,

由勾股定理得：EM2=DE2-DM2=AE2-AM1,

即(4y/2)2-(X+4)2=(2夜產(chǎn)-X2,

解得：x=l,

：.AM=\tEN=DM=5t

2

：?DN=EM=JAE一4M2=^/(2>/2)2-12=>/7?

在RtZkEDN中，

?；BN=BE+EN=2+5=7,

???.tanN/Z)Z/?C=-D--N-=不>

BN7

故答案為：立.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查了自相似菱形的定義和判定，菱形的性質(zhì)應(yīng)用，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的定義，掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24、(1)4400=90;(2)見(jiàn)解析.

【分析】(1)已知C、BD分別是/BAD、NABC的平分線，根據(jù)角平分線的定義可得

ZDAC=ZBAC,ZABD=ZDBC,又因AE//BF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NDAB+NCBA=18。。，即可得

ZBAC+ZABD=90°,ZAOD=90°；(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義易證AB二BC,AB=AD,即可得

AD=BC,再由AD//BC,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得四邊形ABCD是平行四邊形，再根

據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可判定四邊形ABCD是菱形.

【詳解】(1)?.?AC、8Q分別是NBAD、NABC的平分線，

：.ADAC=ABAC,ZABD=/DBC,

,:AE/IBF,

???NZM8+NCR4=180，

/.ZBAC+ZABD=+AABC)=180=90,

=90;

（2）證明：VAE//BFt

:?ZADB=/DBC,ZDAC=ZBCAf

VAC、3。分別是NBA。、乙45c的平分線，

：.ADAC=ABAC,ZABD=NDBC,

：.ABAC=ZACB,ZABD=ZADB,

；?AB=BC,AB=ADf

；?AD=BC,

,:ADIIBC,

:.四邊形A3CO是平行四邊形，

AD=ABf

，四邊形ABC拉是菱形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定，證明四邊形ABCD是平行四邊

形是解決本題的關(guān)鍵.

25、