一元線性回歸模型課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.2.1一元線性回歸模型通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等.進(jìn)一步地，如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個(gè)變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型刻畫兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個(gè)模型研究兩個(gè)變量之間的隨機(jī)關(guān)系，并通過模型進(jìn)行預(yù)測.下面我們研究當(dāng)兩個(gè)變量線性相關(guān)時(shí)，如何利用成對樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計(jì)模型，并利用模型進(jìn)行預(yù)測的問題.創(chuàng)設(shè)情境問題1：生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子的身高與父親的身高不僅線性相關(guān)，而且還是正相關(guān)，即父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如下表所示.編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182探究：一元線性回歸模型思考1：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？…172…父親身高…176174…兒子身高兒子身高不是父親身高的函數(shù)61721768172174編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182思考1：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？61721768172174…170…兒子身高…173169…父親身高父親身高不是兒子身高的函數(shù)31731709169170利用前面表示數(shù)據(jù)的方法，以橫軸表示父親身高、縱軸表示兒子身高建立直角坐標(biāo)系，再將表中的成對樣本數(shù)據(jù)表示為散點(diǎn)圖，如右圖所示.思考2：經(jīng)過剛才的分析，你覺得兒子身高與父親身高的關(guān)系是怎樣的？兒子身高與父親身高不是函數(shù)關(guān)系，而是相關(guān)關(guān)系.兒子身高與父親身高不是函數(shù)關(guān)系，而是相關(guān)關(guān)系.追問：兒子身高與父親身高的關(guān)系是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？是線性相關(guān)還是曲線相關(guān)？隨著父親身高的增加，兒子身高呈增加的趨勢，所以是正相關(guān).兒子身高與父親身高呈正線性相關(guān)關(guān)系.思考3：你能否進(jìn)一步驗(yàn)證剛才的結(jié)論？

樣本相關(guān)系數(shù)為：表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高.思考4：除父親身高外，還有哪些因素影響兒子的身高？隨機(jī)誤差e母親身高生活環(huán)境飲食習(xí)慣體育鍛煉

……追問：如何理解隨機(jī)誤差e對兒子身高的影響？假設(shè)沒有隨機(jī)誤差，則兒子身高Y只受父親身高x影響，則事實(shí)上，相關(guān)系數(shù)，故也可以記作思考5：隨機(jī)誤差e有哪些特征？隨機(jī)誤差e是一個(gè)隨機(jī)變量①可取正或取負(fù)②有些無法測量③不可事先設(shè)定因?yàn)檎`差是隨機(jī)的，即取各種正負(fù)誤差的可能性一樣，所以它們均值的理想狀態(tài)應(yīng)該為0.追問：為什么要假設(shè)E(e)=0，而不假設(shè)其為某個(gè)不為0的常數(shù)？思考6：你能否考慮到上述隨機(jī)因素的作用，用類似于函數(shù)的表達(dá)式，表達(dá)兒子身高與父親身高的關(guān)系嗎？若用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為我們稱(1)式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.模型中的Y也是隨機(jī)變量，其值雖不能由變量x的值確定，但卻能表示為bx+a與e的和，前一部分由x所確定，后一部分是隨機(jī)的.如果e=0，那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來描述.函數(shù)模型與回歸模型有什么區(qū)別？追問1：你能結(jié)合父親與兒子身高的實(shí)例，說明回歸模型(1)的意義？

追問2：對于父親身高為xi的某一名男大學(xué)生，他的身高yi一定是bxi+a嗎？

思考7：你能結(jié)合具體實(shí)例解釋產(chǎn)生模型(1)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的原因嗎？在研究兒子身高與父親身高的關(guān)系時(shí)，產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因有:(1)除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素，比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時(shí)間等；(2)在測量兒子身高時(shí)，由于測量工具、測量精度所產(chǎn)生的測量誤差；(3)實(shí)際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來近似這種關(guān)系，這種近似也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.在一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e中，隨機(jī)誤差e產(chǎn)生的原因有：（1）所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差；（2）忽略了某些因素的影響；（3）存在觀測誤差．歸納總結(jié)課本107頁說明函數(shù)模型與回歸模型的區(qū)別，并分別舉出兩個(gè)應(yīng)用函數(shù)模型和回歸模型的例子.解：函數(shù)模型刻畫的是變量之間具有的函數(shù)關(guān)系，是一種確定性的關(guān)系.回歸模型刻畫的是變量之間具有的相關(guān)關(guān)系，不是一種確定性的關(guān)系，即回歸模型刻畫的是兩個(gè)變量之間的隨機(jī)關(guān)系.例如，路程與速度的關(guān)系、正方體體積與邊長的關(guān)系可以應(yīng)用函數(shù)模型刻畫；體重與身高的關(guān)系、冷飲銷量與氣溫的關(guān)系可以應(yīng)用回歸模型刻畫.練習(xí)2.在一元線性回歸模型(1)中，參數(shù)b的含義是什么?解：參數(shù)b的含義可以解釋為解釋變量x對響應(yīng)變量Y的均值的影響，變量x每增加1個(gè)單位，響應(yīng)變量Y的均值將增加b個(gè)單位.例如，教科書中父親身高為175cm的兒子身高的均值比父親身高為174cm的兒子身高的均值高出0.839cm.注意：因?yàn)轫憫?yīng)變量Y最終取值，除了受變量x的影響，還要受隨機(jī)誤差e的影響，所以不能解釋成解釋變量x每增加一個(gè)單位，響應(yīng)變量Y增加b個(gè)單位.課本107頁例：若某地財(cái)政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e(單元：億元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)財(cái)政收入10億元，年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過多少？解：因?yàn)樨?cái)政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以得到

y＝0.7x＋3＋e，當(dāng)x＝10時(shí)，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，而|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，所以年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過10.5億元．例題隨堂檢測1.在線性回歸模型y＝bx＋a＋e中，下列說法正確的是（

）A.y＝bx＋a＋e是一次函數(shù)B.因變量y是由自變量x唯一確定的C.因變量y除了受自變量x的影響外，可能還受到其它因素的影響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生D.隨機(jī)誤差e是由于計(jì)算不準(zhǔn)確造成的，可通過精確計(jì)算避免隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生解析：選項(xiàng)A，在線性回歸模型y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是函數(shù)關(guān)系，因此不是一次函數(shù)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因變量y不是由自變量x唯一確定的，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，隨機(jī)誤差是不能避免的，只能將誤差縮小，但是不能沒有誤差，故D錯(cuò)誤，只有選項(xiàng)C成立.2.判斷下列變量間哪些能用函數(shù)模型刻畫，哪些能用回歸模型刻畫？(1)某公司的銷售收入和廣告支出；(2)某城市寫字樓的出租率和每平米月租金；(3)航空公司的顧客投訴次數(shù)和航班正點(diǎn)率；(4)某地區(qū)的人均消費(fèi)水平和人均國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)；(5)學(xué)生期末考試成績和考前用于復(fù)習(xí)的時(shí)間；(6)一輛汽車在某段路程中的行駛速度和行駛時(shí)間；(7)正方形的面積與周長.解：(1)(2)(3)(4)(5)回歸模型，(6)(7)函數(shù)模型.時(shí)間x(s)5101520304050607090120深度Y(μm)581013161719232529462.建立一元線性回歸模型的步驟1.一元線性回歸模型（1）與函數(shù)模型的區(qū)別（2）隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因及分布定性分析定量分析函數(shù)關(guān)系或相關(guān)關(guān)系或沒有關(guān)系課堂小結(jié)其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，