2022年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步31棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積和體積練習(xí)（含解析）

棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積【基礎(chǔ)全面練】(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．已知高為3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，如圖，則三棱錐B-AB1A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6)D．eq\f(\r(3),4)【解析】選D.＝＝eq\f(1,3)S△ABCh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).【加固訓(xùn)練】把一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體則所有小正方體的表面積為_(kāi)_______．【解析】原正方體的棱長(zhǎng)為a，切成的27個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)為eq\f(1,3)a，每個(gè)小正方體的表面積S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27個(gè)小正方體的表面積是eq\f(2,3)a2×27＝18a2.答案：18a22．如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)【解析】選C.因?yàn)閂C-A′B′C′＝eq\f(1,3)V柱＝eq\f(1,3)，所以VC-AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).3．正方體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A，C，B1，D1為頂點(diǎn)的正三棱錐的表面積為4eq\r(3)，則該正方體的棱長(zhǎng)為()A．eq\r(2)B．2C．4D．2eq\r(2)【解析】選A.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)a，所以正三棱錐A-CB1D1的棱長(zhǎng)為eq\r(2)a，其表面積為4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝4eq\r(3)，可得a2＝2，即a＝eq\r(2).4．三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，則三棱錐A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1A．1∶1∶1B．1∶1∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶4【解析】選C.如圖，設(shè)棱臺(tái)的高為h，S△ABC＝S，則＝4S.所以＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，＝eq\f(1,3)·h＝eq\f(4,3)Sh.又＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，所以＝－－＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh.所以體積比為1∶2∶4.二、填空題(每小題5分，共10分)5．(2021·新鄉(xiāng)高一檢測(cè))如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體被挖去一個(gè)高為4的正四棱柱后得到圖中的幾何體，若該幾何體的體積為60，則該幾何體的表面積為_(kāi)_______．【解析】設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為m，則4(42－m2)＝60，解得m＝1，所以該幾何體的表面積為：42×4＋(42－12)×2＋4×1×4＝110.答案：1106．已知一個(gè)長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為_(kāi)_______．【解析】設(shè)長(zhǎng)方體從一點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故長(zhǎng)方體的體積V＝abc＝eq\r(6).答案：eq\r(6)三、解答題(每小題10分，共20分)7．正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為20cm和10cm，側(cè)面面積為780cm2，求其體積．【解析】正四棱臺(tái)的大致圖形如圖所示，其中A1B1＝10cm，AB＝20cm，取A1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，則E1E為斜高．設(shè)O1，O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E1為直角梯形．因?yàn)镾側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(10＋20)×EE1＝780(cm2)，所以EE1＝13cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5cm，OE＝eq\f(1,2)AB＝10cm，所以O(shè)1O＝eq\r(132－（10－5）2)＝12(cm).所以該正四棱臺(tái)的體積為V＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3).8．如圖，組合體下面是一個(gè)直三棱柱．△A1B1C1為等腰直角三角形，BC＝CE＝2.上面是一個(gè)三棱錐，且三棱錐的高AE＝3，三棱柱的高A1【解析】下面是一個(gè)直三棱柱，由題意可知S底＝eq\f(1,2)·2·2＝2，S側(cè)面＝3×2＋3×2＋3×eq\r(22＋22)＝12＋6eq\r(2)，上面是一個(gè)三棱錐，除底面BCE外的表面積S1＝eq\f(1,2)×3×2＋eq\f(1,2)×3×2eq\r(2)＋eq\f(1,2)×2×eq\r(13)＝3＋3eq\r(2)＋eq\r(13)，所以S表＝S底＋S側(cè)面＋S1＝17＋9eq\r(2)＋eq\r(13).V＝V三棱錐＋V三棱柱＝eq\f(1,3)×2×3＋2×3＝2＋6＝8.【綜合突破練】(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．一個(gè)封閉的正三棱柱容器，高為3，內(nèi)裝水若干(如圖甲，底面處于水平狀態(tài))，將容器放倒(如圖乙，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài))，這時(shí)水面與各棱交點(diǎn)E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為所在棱的中點(diǎn)，則圖甲中水面的高度為()A．eq\f(3,2)B．eq\f(7,4)C．2D．eq\f(9,4)【解析】選D.因?yàn)镋，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為所在棱的中點(diǎn)，所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的體積V＝S梯形EFCB×3＝eq\f(3,4)S△ABC×3＝eq\f(9,4)S△ABC.設(shè)甲中水面的高度為h，則S△ABC×h＝eq\f(9,4)S△ABC，解得h＝eq\f(9,4).2．(多選題)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1A．長(zhǎng)方體的表面積為20B．長(zhǎng)方體的體積為6C．沿長(zhǎng)方體的表面從A到C1的最短距離為3eq\r(2)D．沿長(zhǎng)方體的表面從A到C1的最短距離為2eq\r(5)【解析】選BC.長(zhǎng)方體的表面積為2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，A錯(cuò)誤．長(zhǎng)方體的體積為3×2×1＝6，B正確．如圖①所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.在表面上求最短距離可把幾何體展開(kāi)成平面圖形，如圖②所示，將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B則有AC1＝eq\r(26)，即當(dāng)經(jīng)過(guò)側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1時(shí)的最短距離是eq\r(26)；如圖③所示，將側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開(kāi)，則有AC1＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，即當(dāng)經(jīng)過(guò)側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是3eq\r(2)；如圖④所示，將側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1展開(kāi)，則有AC1＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，即當(dāng)經(jīng)過(guò)側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是2eq\r(5).因?yàn)?eq\r(2)<2eq\r(5)，所以沿長(zhǎng)方體表面從A到C1的最短距離是3eq\r(2)，C正確，D不正確．二、填空題(每小題5分，共10分)3．學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3【解析】S四邊形EFGH＝4×6－4×eq\f(1,2)×2×3＝12(cm2)，V＝6×6×4－eq\f(1,3)×12×3＝132(cm3).m＝ρV＝0.9×132＝118.8(g).答案：118.84．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為4，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為_(kāi)_______．【解析】由題意知所得幾何體是八面體，且八面體是兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，高為2的四棱錐組成；則該八面體的表面積是這兩個(gè)四棱錐的側(cè)面積之和．又四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，所以以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為：S＝8×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×sin60°＝16eq\r(3).答案：16eq\r(3)三、解答題(每小題10分，共20分)5．如圖，已知正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．【解析】如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，斜高為h′，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，與AB交于點(diǎn)E，連接SE，則SE＝h′.因?yàn)镾側(cè)＝2S底，所以3·eq\f(1,2)a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.所以a＝eq\r(3)h′.因?yàn)镾O⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.所以32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))eq\s\up12(2)＝h′2.所以h′＝2eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)h′＝6.所以S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S側(cè)＝2S底＝18eq\r(3).所以S表＝S側(cè)＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).6．已知正三棱錐S-ABC，一個(gè)正三棱柱的一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)在棱錐的三條側(cè)棱上，另一底面在正三棱錐的底面上，若正三棱錐的高為15cm，底面邊長(zhǎng)為12cm，內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為120cm2.(1)求正三棱柱的高．(2)求棱柱上底面截得的棱錐與原棱錐側(cè)面積之比．【解析】(1)如圖，設(shè)正三棱柱高為h，底面邊長(zhǎng)為x，則eq\f(15－h(huán),15)＝eq\f(x,12)，所以x＝eq\f(4,5)(15－h(huán)).①又S三棱柱側(cè)＝3x·h＝120.所以xh＝40.②解①②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,h＝10，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,h＝5