專題18二次函數(shù)與旋轉(zhuǎn)變換綜合問題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題18二次函數(shù)與旋轉(zhuǎn)變換綜合問題

【例1】（2022?涼山州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A

（﹣1，0）和點B（0，3），頂點為C，點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段

DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點C落在拋物線上的點P處．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點P的坐標(biāo)；

（3）將拋物線平移，使其頂點落在原點O，這時點P落在點E的位置，在y軸上是否存

在點M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

第1頁共22頁.

【例2】．（2022?梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣4分別與x，y軸交于

點A，B，拋物線y＝x2+bx+c恰好經(jīng)過這兩點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點C的坐標(biāo)是（0，6），將△ACO繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ECF，點A

的對應(yīng)點是點E．

①寫出點E的坐標(biāo)，并判斷點E是否在此拋物線上；

②若點P是y軸上的任一點，求BP+EP取最小值時，點P的坐標(biāo)．

第2頁共22頁.

【例3】．（2022?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于A（﹣4，0），B兩點，與y

軸交于點C（0，4），點D為x軸上方拋物線上的動點，射線OD交直線AC于點E，將

射線OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線OP，OP交直線AC于點F，連接DF．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點D在第二象限且＝時，求點D的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)△ODF為直角三角形時，請直接寫出點D的坐標(biāo)．

第3頁共22頁.

2

【例4】．（2022?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L1：y＝ax+2x+b與x軸交于兩點A，

B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線L1的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點D的坐標(biāo)；

（2）如圖，連接BD，若點E在線段BD上運動（不與B，D重合），過點E作EF⊥x

軸于點F，設(shè)EF＝m，問：當(dāng)m為何值時，△BFE與△DEC的面積之和最??；

（3）若將拋物線L1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得拋物線L2，其中C，D兩點的對稱點分別記作M，

N．問：在拋物線L2的對稱軸上是否存在點P，使得以B，M，P為頂點的三角形為等腰

三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

第4頁共22頁.

一．解答題（共20小題）

1．（2022?碑林區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線W1與x軸交于A，B兩點，

與y軸交于點C（0，﹣6），頂點為D（﹣2，2）．

（1）求拋物線W1的表達式；

（2）將拋物線W1繞原點O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線W2，拋物線W2的頂點為D′，在拋

物線W2上是否存在點M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由．

第5頁共22頁.

2．（2022?雙流區(qū)模擬）如圖，拋物線C：y＝ax2+6ax+9a﹣8與x軸相交于A，B兩點（點A

在點B的左側(cè)），已知點B的橫坐標(biāo)是2，拋物線C的頂點為D．

（1）求a的值及頂點D的坐標(biāo)；

（2）點P是x軸正半軸上一點，將拋物線C繞點P旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C1，記拋

物線C1的頂點為E，拋物線C1與x軸的交點為F，G（點F在點G的右側(cè)）．當(dāng)點P與

點B重合時（如圖1），求拋物線C1的表達式；

（3）如圖2，在（2）的條件下，從A，B，D中任取一點，E，F(xiàn)，G中任取兩點，若以

取出的三點為頂點能構(gòu)成直角三角形，我們就稱拋物線C1為拋物線C的“勾股伴隨同類

函數(shù)”．當(dāng)拋物線C1是拋物線C的勾股伴隨同類函數(shù)時，求點P的坐標(biāo)．

第6頁共22頁.

3．（2022?灞橋區(qū)校級模擬）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+6與x

軸、y軸的交點分別為A、B，其中點C是x軸上一點，OC＝3．

（1）求過A、B、C三點的拋物線L的解析式；

（2）將拋物線L繞著點O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線L1，拋物線L1與x軸交于F點、E點

（點F在點E的左側(cè)），與y軸交于點M，則拋物線L1的對稱軸上是否存在一點Q，使

|QF﹣QM|的值最大？若存在，求出點Q的坐標(biāo)及其最大值，若不存在，請說明理由．

2

4．（2022?蓮湖區(qū)二模）已知拋物線W1：y＝ax﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）

兩點與y軸交于點C，頂點為D．

（1）求拋物線W1的表達式；

（2）將拋物線W1繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線W2，W2的頂點為D'，點M為W2

上的一點，當(dāng)△D'DM的面積等于△ABC的面積時，求點M的坐標(biāo)．

第7頁共22頁.

5．（2022?深圳三模）已知拋物線y＝ax2+c過點A（﹣2，0）和D（﹣1，3）兩點，交x軸

于另一點B．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖1，點P是BD上方拋物線上一點，連接AD，BD，PD，當(dāng)BD平分∠ADP時，

求P點坐標(biāo)；

（3）將拋物線圖象繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°形成如圖2的“心形”圖案，其中點M，N

分別是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的頂點，點E、F是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的交點．

①直線EF的解析式是；

②點G、H是“心形”圖案上兩點且關(guān)于EF對稱，則線段GH的最大值是．

第8頁共22頁.

6．（2022?無錫二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于兩點A、B，與y軸交于點C，

且A（﹣1，0）、B（4，0）．

（1）求此二次函數(shù)的表達式；

（2）①如圖1，拋物線的對稱軸m與x軸交于點E，CD⊥m，垂足為D，點F（﹣，

0），動點N在線段DE上運動，連接CF、CN、FN，若以點C、D、N為頂點的三角形與

△FEN相似，求點N的坐標(biāo)；

②如圖2，點M在拋物線上，且點M的橫坐標(biāo)是1，將射線MA繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)45°，

交拋物線于點P，求點P的坐標(biāo)；

（3）已知Q在y軸上，T為二次函數(shù)對稱軸上一點，且△QOT為等腰三角形，若符合條

件的Q恰好有2個，直接寫出T的坐標(biāo)．

第9頁共22頁.

7．（2022?沙灣區(qū)模擬）如圖，拋物線f（x）：y＝a（x+1）（x﹣5）與x軸交于點A、B（點A

位于點B左邊），與y軸交于點C（0，．

（1）求拋物線f（x）的解析式；

（2）作點C關(guān)于x軸的對稱點C'，連接線段AC，作∠CAB的平分線AE交拋物線于點

E，將拋物線f（x）沿對稱軸向下平移經(jīng)過點C'得到拋物線f'（x）．在射線AE上取點F，

連接FC，將射線FC繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)120°交拋物線f'（x）于點P．當(dāng)△ACF為等腰

三角形時，求點P的橫坐標(biāo)．

第10頁共22頁.

8．（2022?灌南縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0），B（3，0）兩點，與y

軸交于點C，其頂點為M，連接MA，MC，AC，過點C作y軸的垂線l．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）直線l上是否存在點N，使得S△MBN＝2S△MAC？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由．

（3）如圖2，若將原拋物線繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°，求新拋物線與y軸交點P坐標(biāo)．

第11頁共22頁.

9．（2022?紅花崗區(qū)三模）如圖（1），△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，點P在線段AC

上，從C點向A點運動，∠PBE＝90°，BP＝BE，PE交BC于點D，完成下列問題：

（1）①點E到BC邊的距離為；

②若CD＝x，△BDE的面積為S，則S與x的函數(shù)關(guān)系式為；（不寫自變量取

值范圍）

（2）當(dāng)△BDE的面積為15時，若PC＜AC，以C為原點，AC、BC所在直線分別為x、

y軸建立坐標(biāo)系如圖（2），拋物線C1過點A、D、B；

①點Q在拋物線C1上，且位于線段PB的下方，過點Q作QN⊥PB，垂足為點N，是否

存在點Q，使得QN最長，若存在，請求出QN的長度和Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由；

②將拋物線C1繞原點C旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線C2，當(dāng)﹣2a≤x≤﹣a時（a＞0），拋物

線C2有最大值2a，求a值．

第12頁共22頁.

10．（2022?乳源縣三模）如圖，對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）圖

象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，其中點B的坐標(biāo)為（2，

0），點C的坐標(biāo)為（0，4）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖1，若點P為拋物線上第二象限內(nèi)的一個動點，點M為線段CO上一動點，當(dāng)

△APC的面積最大時，求△APM周長的最小值；

（3）如圖2，將原拋物線繞點A旋轉(zhuǎn)180°，得新拋物線y'，在新拋物線y'的對稱軸上

是否存在點Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，

說明理由．

第13頁共22頁.

11．（2021秋?亭湖區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（0，

﹣3），與x軸的交點為B、C，直線l：y＝2x+2與拋物線相交于點C，與y軸相交于點D，

P是直線l下方拋物線上一動點．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）過點P作線段PM∥x軸，與直線l相交于點M，當(dāng)PM最大時，求點P的坐標(biāo)及

PM的最大值；

（3）把拋物線繞點O旋轉(zhuǎn)180°，再向上平移使得新拋物線過（2）中的P點，E是新

拋物線與y軸的交點，F(xiàn)為原拋物線對稱軸上一點，G為平面直角坐標(biāo)系中一點，直接

寫出所有使得以B、E、F、G為頂點、BF為邊的四邊形是菱形的點G的坐標(biāo)，并把求其

中一個點G的坐標(biāo)的過程寫出來．

第14頁共22頁.

12．（2021秋?北京期中）定義：如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，同時，拋物線C2的

2

頂點在拋物線C1上，則稱拋物線C1與C2關(guān)聯(lián)．例如，如圖，拋物線y＝x的頂點（0，

0）在拋物線y＝﹣x2+2x上，拋物線y＝﹣x2+2x的頂點（1，1）也在拋物線y＝x2上，所

以拋物線y＝x2與y＝﹣x2+2x關(guān)聯(lián)．

22

（1）已知拋物線C1：y＝（x+1）﹣2，分別判斷拋物線C2：y＝﹣x+2x+1和拋物線C3：

2

y＝2x+2x+1與拋物線C1是否關(guān)聯(lián)；

（2）拋物線M1：的頂點為A，動點P的坐標(biāo)為（t，2），將拋物線M1

繞點P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線M2，若拋物線M1與M2關(guān)聯(lián)，求拋物線M2的解析

式；

（3）拋物線M1：的頂點為A，點B是與M1關(guān)聯(lián)的拋物線的頂點，將

線段AB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AB1，若點B1恰好在y軸上，請直接寫

出點B1的縱坐標(biāo)．

第15頁共22頁.

13．（2021?錫山區(qū)一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c的頂點為M，對稱軸是直線x＝1，與

x軸的交點為A（﹣3，0）和B，將拋物線y＝x2+bx+c繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，

點M1、A1為點M、A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，旋轉(zhuǎn)后的拋物線與y軸相交于C，D兩點．

（1）寫出點B的坐標(biāo)及求原拋物線的解析式；

（2）求證A，M，A1三點在同一直線上；

（3）設(shè)點P是旋轉(zhuǎn)后拋物線上DM1之間的一動點，是否存在一點P，使四邊形PM1MD

的面積最大？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)及四邊形PM1MD的面積；如果不存在，請

說明理由．

第16頁共22頁.

14．（2022秋?道里區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線y＝

x+3交x軸于點A，y軸于點D，拋物線y＝x2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點，交y軸于點

C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P在第三象限拋物線上，P點橫坐標(biāo)為t，連接AP、DP，△APD的面積為s，求s

關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫自變量t的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，與線段AD相交于點E，且∠EPD＝2

∠PDC，過點E作EF⊥PD交PD于G，y軸于點F，連接PF，若，求線

段PF的長．

第17頁共22頁.

15．（2022秋?大興區(qū)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，

點A（4，0），∠AOC＝60°，點C的縱坐標(biāo)為，點D是邊BC上一點，連接OD，

將線段OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OE．

給出如下定義：

如果拋物線y＝ax2+bx（a≠0）同時經(jīng)過點A，E，則稱拋物線y＝ax2+bx（a≠0）為關(guān)于

點A，E的“伴隨拋物線”．

（1）如圖1，當(dāng)點D與點C重合時，點E的坐標(biāo)為，此時關(guān)于點A，E的“伴

隨拋物線”的解析式為；

（2）如圖2，當(dāng)點D在邊BC上運動時，連接CE．

①當(dāng)CE取最小值時，求關(guān)于點A，E的“伴隨拋物線”的解析式；

②若關(guān)于點A，E的“伴隨拋物線”y＝ax2+bx（a≠0）存在，直接寫出a的取值范圍．

第18頁共22頁.

16．（2020秋?天心區(qū)期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y＝﹣x2+bx+c

與x軸相交于A，B兩點，頂點為D，其中A（﹣4，0），B（4，0），設(shè)點F（m，

0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線

C'．

（1）求拋物線C的函數(shù)解析式；

（2）若拋物線C'與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點，求m的取值范圍；

（3）如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點P在拋物

線C'上的對應(yīng)點P'，設(shè)M是C上的動點，N是C'上的動點，試探究四邊形PMP'N能否

成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．

第19頁共22頁.

17．（2022?大慶模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：與x軸、y軸

分別交于點A和點B（0，﹣1），拋物線經(jīng)過點B，且與直線l的另一個交

點為C（4，n）．

（1）求n的值和拋物線的解析式；

（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4）．DE∥y軸交直線l于點E，點F

在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2）．若矩形DFEG的周長為p，求p與t的

函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；

（3）M是平面內(nèi)一點，將△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A1O1B1，點

A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1．若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，請

直接寫出點A1的橫坐標(biāo)．

第20頁共22頁