專題02 確定二次函數(shù)的表達(dá)式（解析版）

第二講確定二次函數(shù)的表達(dá)式

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一頂點(diǎn)式求表達(dá)式.................................................................................................................................2

考點(diǎn)二兩點(diǎn)式求表達(dá)式...............................................................................................................................4

考點(diǎn)三一般式求表達(dá)式.................................................................................................................................7

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的解析式的常見形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式知道拋物線

與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c）。

（2）頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢(shì)

是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）。

（3）交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得

到拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）。

知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系

（1）對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）來(lái)說(shuō)，當(dāng)y＝0時(shí)，就得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a

≠0）．拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；

2、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況（也即一元二次方ax2＋bx＋c

＝0根的情況）

2

①拋物線y＝ax＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0）（x2，0）

當(dāng)Δ＞0時(shí)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，

②拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，恰好就是拋物線的頂點(diǎn)

當(dāng)＝0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

③拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸沒有交點(diǎn)

當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0沒有實(shí)數(shù)根。

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知識(shí)點(diǎn)3待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從

而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程

組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸

有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．

考點(diǎn)一頂點(diǎn)式求表達(dá)式

1．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為（）

A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3

【解答】解：從圖象可知：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，﹣4），與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，0），

設(shè)二次函數(shù)的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，

把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，

解得：a＝1，

所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，

故選：B．

2．一個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），且過(guò)另一點(diǎn)（0，﹣4），則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為（）

A．y＝﹣2（x+2）2+4B．y＝2（x+2）2﹣4

C．y＝﹣2（x﹣2）2+4D．y＝2（x﹣2）2﹣4

【解答】解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣h）2+k，

則拋物線表達(dá)式為y＝a（x﹣2）2+4，

將（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2，

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故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣2（x﹣2）2+4．

故選：C．

3．如圖，拋物線與直線交于點(diǎn)A（﹣4，﹣1）和點(diǎn)B（﹣2，3），拋物線頂點(diǎn)為A，直線與y軸交于

點(diǎn)C．

（1）求拋物線和直線的解析式；

（2）若y軸上存在點(diǎn)P使△PAB的面積為9，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）由拋物線的頂點(diǎn)A（﹣4，﹣1）

設(shè)二次函數(shù)為y＝a（x+4）2﹣1，

將B（﹣2，3）代入得，3＝a（﹣2+4）2﹣1，

解得a＝1，

∴二次函數(shù)為y＝（x+4）2﹣1（或y＝x2+8x+15），

設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b，

將A（﹣4，﹣1）和B（﹣2，3）代入得，

解得，

∴一次函數(shù)的解析式為y＝2x+7；

（2）由直線y＝2x+7可知C（0，7），

設(shè)P（0，n），

∴PC＝|n﹣7|，

∴S△PAB＝S△PAC﹣S△BPC＝（4﹣2）?|n﹣7|＝9，

∴|n﹣7|＝9，

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∴n＝﹣2或16，

∴P（0，﹣2）或P（0，16）．

考點(diǎn)二兩點(diǎn)式求表達(dá)式

4．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，0）、C（﹣1，0）．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)P，則P

點(diǎn)的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）把點(diǎn)A（3，0）、C（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，

得，解得，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）在y＝﹣x2+2x+3中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，

∴B（0，3），

設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，

∴P（1，2）．

5．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C（0，3），D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求△CDB的面積．

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（3）在其對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PDC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫

出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）設(shè)解析式為：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即y＝a（x+1）（x﹣3）．

把點(diǎn)C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3．

a＝﹣1．

故該拋物線解析式是y＝﹣（x+1）（x﹣3）或y＝﹣x2+2x+3．

（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（1，4）．

∵B（3，0），C（0，3），

∴BC2＝18，BD2＝（3﹣1）2+（0﹣4）2＝20，CD2＝（0﹣1）2+（3﹣4）2＝2，

∴BD2＝BC2+CD2．

∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°．

∴S△BCD＝CD?BC＝××3＝3，即△CDB的面積是3．

（3）存在，由y＝﹣x2+2x+3得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對(duì)稱軸為x＝1，

①若以CD為底邊，則PD＝PC，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），

根據(jù)勾股定理得：x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y＝4﹣x，

又∵P點(diǎn)（x，y）在拋物線上，

∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1＝0，

解得x1＝，x2＝＜1（舍去），

∴x＝，

∴y＝4﹣x＝，

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即點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．

②若以CD為一腰，因?yàn)辄c(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，

由拋物線對(duì)稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3），

∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（2，3）．

6．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，若存在，求出點(diǎn)D

的坐標(biāo)及△DCA面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】（1）設(shè)該拋物線解析式為y＝a（x﹣4）（x﹣1），

將點(diǎn)C（0，﹣2）坐標(biāo)代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a＝，

∴y＝﹣（x﹣4）（x﹣1）＝﹣x2+x﹣2，

故該拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x﹣2，

（2）如圖，

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設(shè)存在點(diǎn)D在拋物線上，連接AD、CD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸且與直線AC交于點(diǎn)E，

設(shè)直線AC表達(dá)式為：y＝kx+b（k≠0），將A（4，0），C（0，﹣2）代入其表達(dá)式得：

，解得，

∴直線AC：y＝x﹣2，

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，﹣x2+x﹣2），則點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，x﹣2），

S△DCA＝S△DCE+S△DAE＝×DE×xE+×DE×（xA﹣xE）＝×DE×xA＝×DE×4＝2DE，

∵DE＝（﹣x2+x﹣2）﹣（x﹣2）＝﹣x2+2x，

222

∴S△DCA＝2DE＝2×（﹣x+2x）＝﹣x+4x＝﹣（x﹣2）+4，

∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣x2+x﹣2＝﹣2+5﹣2＝1，即點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，1），

此時(shí)△DCA的面積最大，最大值為4．

考點(diǎn)三一般式求表達(dá)式

7．如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（2，﹣3），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)

為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（2，﹣3），

∴，

解得b＝﹣2，c＝﹣3，

∴拋物線的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）存在，理由如下：

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），

令x＝0，則y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），

又∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3），

∴BC∥x軸，

∴S△BCD＝×2×1＝1，

設(shè)拋物線上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），

22

∴S△PBC＝×2×|m﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m﹣2m|，

當(dāng)|m2﹣2m|＝4×1時(shí)，

解得m＝1±，

當(dāng)m＝1+時(shí)，m2﹣2m﹣3＝1，

當(dāng)m＝1﹣時(shí)，m2﹣2m﹣3＝1，

綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，1）或（1﹣，1）．

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8．已知：在直角坐標(biāo)系中直線y＝﹣x+4與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)

過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如果直線AB與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)C，求OC的長(zhǎng)；

（3）P是線段OA上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線AB的平行線，與y軸相交于點(diǎn)Q，把△OPQ沿直線

PQ翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，如果點(diǎn)D在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）直線y＝﹣x+4與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，

∴A（4，0）、B（0，4），

代入拋物線得：，

∴b＝1，c＝4，

∴拋物線的解析式為：．

（2）由＝，

可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣x+4＝3，

∴C（1，3），

∴．

（3）如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），

∵AO＝BO＝4，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∵PQ∥AB，

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∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，

∴∠DPO＝∠DQO＝90°，又∠POQ＝90°，

∴四邊形DPOQ為矩形，

∵OP＝OQ，

∴四邊形DPOQ為正方形，

∴DP＝DQ＝OP＝t，

∴四邊形DPOQ為正方形，

∴D（t，t），

∴，

解得：，（不合題意，舍去），

∴點(diǎn)P是坐標(biāo)為：（，0）．

9．如圖，二次函數(shù)