專題07 二次函數(shù)-面積最大值問題（解析版）

第七講二次函數(shù)--面積最大值問題

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一三角形面積的最大值.........................................................................................................................1

考點(diǎn)二四邊形面積的最大值.........................................................................................................................7

考點(diǎn)三圖形面積和、差、比的最大值.......................................................................................................13

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

考點(diǎn)一三角形面積的最大值

1．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．直線l

與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，n）．

（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)且在直線l上方，連接PA、PD，求當(dāng)△PAD面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)

及該面積的最大值；

第1頁(yè)共21頁(yè).

【解答】解：（1）把點(diǎn)A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx﹣3，

，

解得：

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+3；

把點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，n）代入y＝﹣x2+x+3得n＝3，

設(shè)直線l函數(shù)關(guān)系式為：y＝mx+n，

把點(diǎn)（﹣2，0）和（4，3）代入，

，

解得：，

∴直線l的函數(shù)關(guān)系式為：y＝x+1

（2）設(shè)P（m，﹣m2+m+3），過P點(diǎn)作PM∥y軸交直線l于N交x軸于M，

則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m+1），

22

∴S△PAD＝S△APN+S△DPN＝×（﹣m+m+3﹣m﹣1）（4+2）＝﹣m+m+6＝﹣（m﹣1）

2+；

∴當(dāng)m＝1時(shí)，△PAD面積最大，

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，），該面積的最大值為；

2．如圖1，拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣2，

0），點(diǎn)C（0，﹣8），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

第2頁(yè)共21頁(yè).

（2）若點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△PBC的面積最大？

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2x+c與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（﹣2，0）、C（0，﹣8），

∴

解得：

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣8；

（2）如圖1，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F．

在拋物線y＝x2﹣2x﹣8中，令y＝0，則x2﹣2x﹣8＝0，

解得：x1＝4或x2＝﹣2，

∴B（4，0）．

由點(diǎn)B（4，0）和C（0，﹣8），可得直線BC的解析式為y＝2x﹣8．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n2﹣2n﹣8），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（n，2n﹣8），

第3頁(yè)共21頁(yè).

由題知0＜n＜4，

∴PF＝（2n﹣8）﹣（n2﹣2n﹣8）

＝﹣n2+4n．

∵S△PBC＝S△PBF+S△CPF＝OB?PF

＝×4×（﹣n2+4n）

＝﹣2n2+8n

＝﹣2（n﹣2）2+8．

∵0＜2＜4，

∴當(dāng)n＝2時(shí)，S△PBC取得最大值，

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣8）；

3．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣

2，0），直線BC的解析式為y＝x﹣4．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖1，過點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D（異于點(diǎn)A），P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，

過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AD于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QR⊥BC于點(diǎn)R，連接PR．求△PQR面積的最大

值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵B點(diǎn)在x軸上，且B點(diǎn)在y＝x﹣4上，

∴B（8，0），

∵A（﹣2，0），B（8，0），都在拋物線y＝ax2+bx﹣4上，

∴x＝﹣2，x＝8是方程ax2+bx﹣4＝0的兩個(gè)根，

第4頁(yè)共21頁(yè).

∴﹣16＝﹣，＝6，

∴a＝，b＝﹣，

∴y＝x2﹣x﹣4；

（2）∵AD∥BC，直線BC的解析式為y＝x﹣4，

∴直線AD的解析式為y＝x+1，

過點(diǎn)B作BG⊥AD交點(diǎn)G，

∵QR⊥BC，

∴QR＝BG，

在Rt△ABG中，AB＝10，tan∠BAG＝，

∴BG＝2，

設(shè)P（m，m2﹣m﹣4），R（n，n﹣4），則Q（m，m+1），

∵QR＝2，

∴20＝（m﹣n）2+，

∴n﹣m＝2，

∴R（m+2，m﹣3），

222

S△PQR＝×（m+1﹣m+m+4）×2＝﹣m+2m+5＝﹣（m﹣4）+9，

∴當(dāng)m＝4時(shí)，S△PQR有最大值9，

∴P（4，﹣6）；

第5頁(yè)共21頁(yè).

4．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，P點(diǎn)為一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D點(diǎn)是BC中點(diǎn)，連接PD，BD，PB．求△

BDP面積的最大值以及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；

【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），

∴OA＝1，

∵，

∴OC＝3，

∴C（0，﹣3），

將A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，

∴，

解得

∴y＝x2﹣2x﹣3；

（2）令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，

解得x＝﹣1或x＝3，

∴B（3，0），

∵D點(diǎn)是BC中點(diǎn)，

∴D（，﹣），

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，

第6頁(yè)共21頁(yè).

∴，

∴，

∴y＝x﹣3，

過點(diǎn)P作PG∥y軸，交BC于點(diǎn)G，

設(shè)P（a，a2﹣2a﹣3），則G（a，a﹣3），

∴PG＝﹣a2+3a，

2

∴S△BDP＝×PN×（3﹣）＝﹣（a﹣）+，

∵0＜a＜3，

∴當(dāng)a＝時(shí)，△BDP面積的最大值為，

此時(shí)P（，﹣）；

考點(diǎn)二四邊形面積的最大值

5．如圖，拋物線y＝﹣x2+mx+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸直線x

＝交x軸于點(diǎn)D．

（1）求m的值；

（2）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，與x軸相交于點(diǎn)

H，連接CF、BF、OE．當(dāng)四邊形CDBF的面積最大時(shí)，請(qǐng)你說明四邊形OCFE的形狀．

第7頁(yè)共21頁(yè).

【解答】解：（1）∵對(duì)稱軸直線x＝，

∴m＝；

（2）∵BD＝，

∴S△BCD＝BD×OC＝××2＝，

∵S四邊形CDBF＝S△BCD+S△BCF，

∴當(dāng)S△BCF最大時(shí)，S四邊形CDBF就最大，

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝﹣x+2，

設(shè)F（m，﹣m2+m+2），則E（m，﹣m+2），

∴EF＝﹣m2+m+2+m﹣2＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，

∴當(dāng)m＝2時(shí)，EF最大，此時(shí)S△BCF最大，

∴F（2，3），E（2，1），

∴EF＝2，

∵OC＝2，

∴CO∥EF，CO＝EF，

∴四邊形COFE是平行四邊形；

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于

點(diǎn)C，且OC＝3．

（1）求該拋物線的解析式；

第8頁(yè)共21頁(yè).

（2）點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的

最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【解答】解：（1）∵OC＝3，

∴C（0，﹣3），

將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，

得，

解得，

∴y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC，

∴當(dāng)S△PBC面積最大時(shí)，S四邊形PCAB的面積最大，

設(shè)BC的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝x﹣3，

過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，

設(shè)P（t，t2﹣2t﹣3），則Q（t，t﹣3），

∴當(dāng)PQ最大時(shí)，S△PBC面積最大，

∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，

第9頁(yè)共21頁(yè).

當(dāng)t＝時(shí)，PQ取最大值，

∴P（，﹣），

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

∴AB＝4，

∴S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），

交y軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與拋物線交于B、D兩點(diǎn)，已知cos∠ABD＝．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn)，連接BF．P是拋物線上F、D兩點(diǎn)之間的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE

∥BF交BD于點(diǎn)E，連接PF、PD、FE．求四邊形PFED面積的最大值及相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，＝0，

解得x＝﹣1或x＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

如圖，設(shè)BD與y軸交于點(diǎn)G，則cos∠ABD＝＝，

∴＝，

∴BG＝2，

∴OG＝3，

∴G（0，﹣2），

將B，G的坐標(biāo)代入直線y＝kx+b，

第10頁(yè)共21頁(yè).

∴，解得，

∴直線BD的解析式為：y＝x﹣2，

令x﹣2＝，

解得x＝﹣2或x＝4（舍），

∴D（﹣2，﹣3）．

（2）如圖，連接PB，

∵PE∥BE，

∴S△PBE＝S△PEF，

∴S四邊形PFED＝S△PED+S△PFE＝S△PED+S△PBE＝S△PBD，

過點(diǎn)P作PH∥y軸交BD于點(diǎn)H，

∴S△PBD＝?PH?（xB﹣xP）+?PH?（xP﹣xD）＝?PH?（xB﹣xD），

設(shè)P（x，﹣x2+x+2），則H（x，x﹣2），

∴PH＝﹣x2+x+2﹣（x﹣2）＝﹣x2+x+4，

22

∴S四邊形PFED＝S△PBD＝?PH?（xB﹣xD）＝?（﹣x+x+4）×（4+2）＝x+3x+12，

∵＜0，

∴當(dāng)x＝＝1時(shí)，S四邊形PFED有最大值，

此時(shí)P（1，3）．

第11頁(yè)共21頁(yè).

8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線交于x軸上的點(diǎn)B，

y軸上的點(diǎn)C，且其對(duì)稱軸為直線．該拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）如圖2，長(zhǎng)度為的線段DF在線段BC上滑動(dòng)（點(diǎn)D在點(diǎn)F的左側(cè)），過D，F(xiàn)分別作y

軸的平行線，交拋物線于E，P兩點(diǎn)，連接PE．求四邊形PFDE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)；

【解答】解：（1）對(duì)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝4，

∴點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，2），

將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+c，得

，化簡(jiǎn)得：，

∵對(duì)稱軸為直線x＝，

∴﹣＝，即有b＝﹣3a，

∴﹣4a﹣＝﹣3a，

∴a＝﹣，b＝，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（，）．

（2）如圖2，過點(diǎn)F作FQ⊥PF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PN⊥DE于點(diǎn)N，

∵PF⊥x軸，ED⊥x軸，

∴∠DQF＝∠BOC＝90°，∠QDF＝∠OBC，DQ＝PN，

∴△DQF∽△BOC，

第12頁(yè)共21頁(yè).

∵B（4，0），C（0，2），

∴OB＝4，OC＝2，

∴BC＝2，

∵DF＝，

∴，即，

∴DQ＝PN＝2，F(xiàn)Q＝1，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，﹣x+2），則點(diǎn)E（x，﹣x2+x+2），F(xiàn)（x+2，﹣x+1），P（x+2，﹣x2

﹣x+3），

∴ED＝﹣x2+2x，PF＝﹣x2+2，

222

∴S四邊形PFDE＝S△DPF+S△PDE＝＝PF+ED＝﹣x+2﹣x+2x＝﹣x+2x+2＝

﹣（x﹣1）2+3，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，四邊形PFDE面積的最大值為3，

此時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，2）．

考點(diǎn)三圖形面積和、差、比的最大值

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AC，BC，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC交線段AC上方的拋物線于點(diǎn)E，

過點(diǎn)E作EM∥y軸交直線AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥EM于點(diǎn)N，求陰影部分面積S的最大值

和此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

第13頁(yè)共21頁(yè).

【解答】解：（1）把A（﹣，0）、B（1，0）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c得，

解得．

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣x+．

（2）如圖，延長(zhǎng)ED交y軸于點(diǎn)P，

∵DE∥BC，

∴∠PCB＝∠CPE，

∵EM∥y軸，

∴∠MEP＝∠CPE，

∴∠PCB＝∠MEP，

∵DN⊥EM，

∴△END∽△COB，

∴EN：ND＝CO：OB，

第14頁(yè)共21頁(yè).

把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝，

∴C（0，），

∴OA＝OC＝，

∴EN：ND＝：1，即EN＝ND，∠ACO＝45°，

∵EM∥y軸，

∴∠DMN＝∠ACO＝45°，

∴NM＝DN，

∴EM＝EN+NM＝ND+ND＝ND，

把A（﹣，0），C（0，）代入AC：y＝kx+b得，

直線AC的解析式為：y＝x+．

設(shè)E（x，﹣x2﹣x+），M（x，x+），

∴EM＝﹣x2﹣x+﹣（x+）＝﹣x2﹣x＝ND，

∴ND＝﹣x2﹣x，

22

∴S陰影＝×ND×OC＝ND＝﹣x﹣x＝﹣（x+）+，

此時(shí)E（﹣，）．

綜上可知，S的最大值為；此時(shí)E（﹣，）．

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B

的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

第15頁(yè)共21頁(yè).

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）如圖1，連接AC，點(diǎn)D為線段AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸交線段AC于

E點(diǎn)，連接EO，記△ADC的面積為S1，△AEO的面積為S2，求S1﹣S2的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的

坐標(biāo)；

【解答】解：（1）∵拋物線，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

令y＝0，得，解得x1＝﹣3，x2＝1，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）；

（2）如圖1，延長(zhǎng)DE交x軸于點(diǎn)K，

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，

∴C（0，﹣2），

設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+n（k≠0），

∵A（﹣3，0），C（0，﹣2），

∴，

解得，

∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為，

設(shè)，其中﹣3＜t＜0，

∴，K（t，0），

第16頁(yè)共21頁(yè).

∴DE＝﹣t2﹣2t，

∵＝（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t，

＝（t+2）＝t+3，

222

∴S1﹣S2＝﹣t﹣3t﹣t﹣3＝﹣t﹣4t﹣3＝﹣（t+2）+1，

∴當(dāng)t＝﹣2時(shí)，S1﹣S2取得最大值，最大值為1，

此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；

11．已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)C（0，﹣2），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接AD，BC交于點(diǎn)E，連接BD，記△BDE的面

積為S1，△ABE的面積為S2，當(dāng)最大時(shí)，求D點(diǎn)坐標(biāo)；

【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣）2﹣，

∵將C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，

第17頁(yè)共21頁(yè).

∴拋物線的解析式為y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣x﹣2；

（2）過點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AK⊥x軸交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，

∴AK∥DG，

∴△AKE∽△DFE，

∴，

∴＝＝＝，

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為y＝x﹣2，

∵A（﹣1，0），

∴y＝﹣﹣2＝﹣，

∴AK＝，

設(shè)D（m，m2﹣m﹣2），則F（m，m﹣2），

∴DF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m．

∴＝＝＝．

∴當(dāng)m＝2時(shí)，有最大值，最大值是；

第18頁(yè)共21頁(yè).

12．如圖，