專題13 二次函數(shù)-費馬點求最小值（原卷版）

第十三講二次函數(shù)--費馬點最值

知識導航

必備知識點

費馬點：三角形內(nèi)的點到三個頂點距離之和最小的點

【結論】

如圖，點M為銳角△ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM，當M與三個頂點連線的夾角為120°時，

MA+MB+MC的值最小

【證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．

∵△ABE為等邊三角形，

∴AB＝BE，∠ABE＝60°．

而∠MBN＝60°，

∴∠ABM＝∠EBN．

在△AMB與△ENB中，

∵，

∴△AMB≌△ENB（SAS）．

連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．

∵∠MBN＝60°，BM＝BN，

∴△BMN為等邊三角形．

∴BM＝MN．

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．

∴當E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最小．

此時，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；

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∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M即為

△ABC的費馬點。

點P為銳角△ABC內(nèi)任意一點，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值

解決辦法：

第一步，選定固定不變線段；

第二步，對剩余線段進行縮小或者放大。

xz

如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=y(APBPCP)，如圖所示，B、P、P2、A2四點共線時，取得最小

yy

值。

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例：點P為銳角△ABC內(nèi)任意一點，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，連接AP、BP、CP，求3AP+4BP+5CP

的最小值

【分析】將△APC繞C點順時針轉90°到△A1P1C，過P2作P1A1的平行線，交CA1于點A2，且滿足A2P2：P1A1=3：

4.

在Rt△PCP2中，設PC=a，由△CA2P2∽△CA1P1得CP2=3a/4，則PP2=5a/4。

35

∴3AP+4BP+5CP=4(APBPCP)

44

∴B、P、P2、A2四點共線時，取得最小值。接觸BA2長度即可。

方法點撥

一、題型特征：PA+PB+PC（P為動點）

①一動點，三定點

②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的頂點

與已知三角形且與所作等邊三角形相對的頂點相連，連線的交點即為費馬點。

③同時線段前可以有不為1的系數(shù)出現(xiàn)，即：加權費馬點

二、模型本質：兩點之間，線段最短。

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例題演練

1．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣8的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y

＝kx+（k≠0）經(jīng)過點A，與拋物線交于另一點R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）如圖1，若點P是x軸下方拋物線上一點，過點P做PH⊥AR于點H，過點P做PQ∥x軸交拋物

線于點Q，過點P做PH′⊥x軸于點H′，K為直線PH′上一點，且PK＝2PQ，點I為第四象限

內(nèi)一點，且在直線PQ上方，連接IP、IQ、IK，記l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，當l取得最大值時，

求出點P的坐標，并求出此時m的最小值．

（3）如圖2，將點A沿直線AR方向平移13個長度單位到點M，過點M做MN⊥x軸，交拋物線于點

N，動點D為x軸上一點，連接MD、DN，再將△MDN沿直線MD翻折為△MDN′（點M、N、D、N′

在同一平面內(nèi)），連接AN、AN′、NN′，當△ANN′為等腰三角形時，請直接寫出點D的坐標．

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2．已知拋物線y＝﹣x2+bx+4的對稱軸為x＝1，與y交于點A，與x軸負半軸交于點C，作平行四邊形

ABOC并將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′O′C′．

（1）求拋物線的解析式和點A、C的坐標；

（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′O′C′重疊部分△OC′D的周長；

（3）若點P為△AOC內(nèi)一點，直接寫出PA+PC+PO的最小值（結果可以不化簡）以及直線CP的解析

式．

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3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（0，2），點D在x軸的正半軸上，∠ODB＝30°，

OE為△BOD的中線，過B、E兩點的拋物線與x軸相交于A、F兩點（A在F的左側）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）等邊△OMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；

（3）點P為△ABO內(nèi)的一個動點，設m＝PA+PB+PO，請直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時，

線段AP的長．

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4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+過點A（1，0），B（5，0），與y軸相交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）定義：平面上的任一點到二次函數(shù)圖象上與它橫坐標相同的點的距離，稱為點到二次函數(shù)圖象的

垂直距離．如：點O到二次函數(shù)圖象的垂直距離是線段OC的長．已知點E為拋物線對稱軸上的一點，

且在x軸上方，點F為平面內(nèi)一點，當以A，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是邊長為4的菱形時，請求出點

F到二次函數(shù)圖象的垂直距離．

（3）在（2）中，當點F到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小時，在以A，B，E，F(xiàn)為頂點的菱形內(nèi)部是否

存在點Q，使得AQ，BQ，F(xiàn)Q之和最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

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5．如圖，已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸交于點

C，經(jīng)過點A的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一個交點為D．

（1）若點D的橫坐標為2，則拋物線的函數(shù)關系式為．

（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有一點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的

坐標．

（3）在（1）的條件下，設點E是線段AD上一點（不含端點），連接BE，一動點Q從點B出發(fā)，沿

線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒