專題3 選擇題重點(diǎn)出題方向四邊形中的計算專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

專題3選擇題重點(diǎn)出題方向四邊形中的計算專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

模塊一2022中考真題訓(xùn)練

一．試題（共60小題）

1．（2022?朝陽）將一個三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，∠EFG＝90°，∠EGF

＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數(shù)為（）

A．100°B．80°C．70°D．60°

思路引領(lǐng)：由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥DC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠GEF的度數(shù)，依

據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠EGC的度數(shù)．

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，

∴∠AEG＝∠EGC，

∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，

∴∠GEF＝30°，

∴∠GEA＝80°，

∴∠EGC＝80°．

故選：B．

總結(jié)提升：此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．

2．（2022?綿陽）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點(diǎn)，AH＝CF，AE＝CG，∠

EHF＝60°，∠GHF＝45°，若AH＝2，AD＝5，則四邊形EFGH的周長為（）

+3

A．4（2）B．4（1）C．8（）D．4（2）

思路引領(lǐng)+：先6構(gòu)造15°的直角2三+角形3+，求得15°的2余+弦和3正切值；作EK⊥2+FH，6+可求得EH：EF＝2：

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；作∠ARH＝∠BFT＝15°，分別交直線AB于R和T，構(gòu)造“一線三等角”，先求得FT的長，進(jìn)而

根6據(jù)相似三角形求得ER，進(jìn)而求得AE，于是得出∠AEH＝30°，進(jìn)一步求得結(jié)果．

解：如圖1，

Rt△PMN中，∠P＝15°，NQ＝PQ，∠MQN＝30°，

設(shè)MN＝1，則PQ＝NQ＝2，MQ，PN，

=3=6+2

∴cos15°，tan15°＝2，

6+2

如圖2，=4?3

作EK⊥FH于K，作∠AHR＝∠BFT＝15°，分別交直線AB于R和T，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠C，

在△AEH與△CGF中，

，

??=??

∠?=∠?

∴?△?A=E?H?≌△CGF（SAS），

∴EH＝GF，

同理證得△EBF≌△GDH，則EF＝GH，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

設(shè)HK＝a，則EH＝2a，EK，

∴EFEKa，=3?

∵∠E=AH2＝∠=EBF6＝90°，

∴∠R＝∠T＝75°，

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∴∠R＝∠T＝∠HEF＝75°，

可得：FT2，AR＝AH?tan15°＝4﹣2，△FTE∽△ERH，

??3+3

=???15°=6+2=63

∴，4

????

=

∴????，

266

=

∴E?R?＝4，2

∴AE＝ER﹣AR＝2，

3

∴tan∠AEH，

23

==

∴∠AEH＝30°2，33

∴HG＝2AH＝4，

∵∠BEF＝180°﹣∠AEH﹣∠HEF＝75°，

∴∠BEF＝∠T，

∴EF＝FT＝2，

∴EH+EF＝4+262（2），

∴2（EH+EF）＝64（=2+），6

∴四邊形EFGH的周長+為：64（2），

故答案為：A．+6

總結(jié)提升：本題考查了矩形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，解直角三角形，構(gòu)造15°特殊角的圖形及其

求15°的函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造“一線三等角”

及構(gòu)造15°直角三角形求其三角函數(shù)值．

3．（2022?日照）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E是對角線AC

上一動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），過點(diǎn)E作EF∥BC，交AB于F，點(diǎn)P在線段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠

AOC＝45°，EP＝3PF，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則m的取值范圍是（）

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A．4＜m＜3B．3＜m＜4C．2＜m＜3D．4＜m＜4

思路引領(lǐng)：先+求得2點(diǎn)A，C，?B三2個點(diǎn)坐標(biāo)，然后求?得A2B和AC的解析式，再表示+出2EF的長，進(jìn)而表示

出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)不等式的性質(zhì)求得結(jié)果．

解：可得C（，），A（4，0），B（4，），

∴直線AB的解2析式為2：y＝x﹣4，+22

∴x＝y(tǒng)+4，

直線AC的解析式為：y，

242

=??

∴x＝4+y﹣2y，2?42?4

∴點(diǎn)F的橫坐2標(biāo)為：y+4，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：4+y﹣2y，

∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2y）＝2，2

∵EP＝3PF，22?

∴PFEFy，

12

==

∴點(diǎn)P的4橫坐標(biāo)2為：y+4y，

2

∵0＜y＜，?2

2

∴4＜y+4y＜3，

2

故答案為：?A2．+2

總結(jié)提升：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，不等式性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)

鍵是表示出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

4．（2022?益陽）如圖，在ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE＝3，連接DE，過點(diǎn)C作CF∥DE，

交AB的延長線于點(diǎn)F，?則BF的長為（）

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A．5B．4C．3D．2

思路引領(lǐng)：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，則BE＝5，再判定四邊形DEFC是平

行四邊形，則DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．

解：在ABCD中，AB＝8，

∴CD＝?AB＝8，AB∥CD，

∵AE＝3，

∴BE＝AB﹣AE＝5，

∵CF∥DE，

∴四邊形DEFC是平行四邊形，

∴DC＝EF＝8，

∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．

故選：C．

總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及判定，能夠熟練運(yùn)用平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵，平

行四邊形的判定；（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義判定法）；（2）一組對邊平行且相

等的四邊形是平行四邊形；（3）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對角分別相等的四

邊形是平行四邊形（兩組對邊平行判定）；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

5．（2022?湘西州）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，

OH＝4，若菱形ABCD的面積為32，則CD的長為（）

3

A．4B．4C．8D．8

思路引領(lǐng)：在Rt△BDH中先求3得BD的長，根據(jù)菱形面積公式求得AC長，3再根據(jù)勾股定理求得CD長．

解：∵DH⊥AB，

∴∠BHD＝90°，

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∵四邊形ABCD是菱形，

∴OB＝OD，OC＝OA，AC⊥BD，

1

=??

∴OH＝OB＝OD（2直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半），

1

∴OD＝4，BD＝=8，2??

由得，

1

?????=323

232，

1

×8???=3

2∴AC＝8，

3

∴OC4，

1

??=3

∴CD=28，

22

故選C=．??+??=

總結(jié)提升：本題考查了菱形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是先求得BD的

長．

6．（2022?日照）如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點(diǎn)為E，當(dāng)水杯

底面BC與水平面的夾角為27°時，∠AED的大小為（）

A．27°B．53°C．57°D．63°

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代換求出∠EAB，再根據(jù)

平行線的性質(zhì)求出∠AED．

解：如圖，

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∵AE∥BF，

∴∠EAB＝∠ABF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠ABC＝90°，

∴∠ABF+27°＝90°，

∴∠ABF＝63°，

∴∠EAB＝63°，

∵AB∥CD，

∴∠AED＝∠EAB＝63°．

故選：D．

總結(jié)提升：本題結(jié)合矩形考查了平行線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)得出角的相等或互補(bǔ)關(guān)系是解題

的關(guān)鍵．

7．（2022?蘭州）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，∠ABC＝

60°，BD＝4，則OE＝（）

3

A．4B．2C．2D．

思路引領(lǐng)：根據(jù)菱形的性質(zhì)可3得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，則BO＝23，再利用含30°角的直角三角

形的性質(zhì)可得答案．3

解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，

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∴BO＝2，

3

∴AO2，

3

∴AB＝=23AO?＝?4=，

∵E為AD的中點(diǎn)，∠AOD＝90°，

∴OEAD＝2，

1

故選：=C2．

總結(jié)提升：本題主要考查了菱形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵．

8．（2022?大連）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，

1

兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN．直線MN與AB相交于點(diǎn)D，連接CD，若A2B＝3，則CD的長是

（）

A．6B．3C．1.5D．1

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可知：MN是線段AC的垂直平分線，然后根據(jù)三角形相似可以得到點(diǎn)D為AB的中

點(diǎn)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，即可得到CD的長．

解：由已知可得，

MN是線段AC的垂直平分線，

設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為E，

∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，

∴ED∥CB，

∴△AED∽△ACB，

∴，

????

=

????

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∴，

1??

=

∴A2D??AB，

1

∴點(diǎn)D=為2AB的中點(diǎn)，

∵AB＝3，∠ACB＝90°，

∴CDAB＝1.5，

1

故選：=C2．

總結(jié)提升：本題考查直角三角形斜邊上的中線、線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解

答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

9．（2022?青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，延長CB至點(diǎn)E，使BE＝BC，連

接DE，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接BF．若AC＝16，BC＝12，則BF的長為（）

A．5B．4C．6D．8

思路引領(lǐng)：利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD的長度；

結(jié)合題意知線段BF是△CDE的中位線，則BFCD．

1

解：在Rt△ABC中，=2

∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，

∴AB20．

22

∵CD=為中??線，+??=

∴CDAB＝10．

1

=2

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∵F為DE中點(diǎn)，BE＝BC，即點(diǎn)B是EC的中點(diǎn)，

∴BF是△CDE的中位線，

則BFCD＝5．

1

故選：=A2．

總結(jié)提升：本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，此題的突破口是

推知線段CD的長度和線段BF是△CDE的中位線．

10．（2022?廣州）如圖，正方形ABCD的面積為3，點(diǎn)E在邊CD上，且CE＝1，∠ABE的平分線交AD于

點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，則MN的長為（）

A．B．C．2D．

636?2

?3

思路引2領(lǐng)：連接EF，由正方2形ABCD的面積為3，CE＝1，可得DE21，tan∠EBC，

??13

=3?===

即得∠EBC＝30°，又AF平分∠ABE，可得∠ABF∠ABE＝30°，故AF1，DF＝AD?﹣?AF331，

1??

====3?

23

可知EFDE（1），而M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，即得MNEF．

16?2

解：連接=EF2，如=圖：2×3?=6?2=2=2

∵正方形ABCD的面積為3，

∴AB＝BC＝CD＝AD，

∵CE＝1，=3

∴DE1，tan∠EBC，

??13

=3?===

∴∠EBC＝30°，??33

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∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，

∵AF平分∠ABE，

∴∠ABF∠ABE＝30°，

1

=

在Rt△ABF2中，AF1，

??

==

∴DF＝AD﹣AF13，

∴DE＝DF，△D=EF3是?等腰直角三角形，

∴EFDE（1），

∵M(jìn)，=N分2別是=B2E×，BF3的?中點(diǎn)=，6?2

∴MN是△BEF的中位線，

∴MNEF．

16?2

故選：=D2．=2

總結(jié)提升：本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及含30°角的直角三角形三邊關(guān)系，等腰直角三角形三邊關(guān)

系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知求得∠EBC＝30°．

11．（2022?河池）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠DAC＝∠BAC

思路引領(lǐng)：根據(jù)菱形的性質(zhì)即可一一判斷．

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD，

故A、B、D正確，無法得出AC＝BD，

故選：C．

總結(jié)提升：本題考查菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎(chǔ)題．

12．（2022?貴港）如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，動點(diǎn)E在AB邊上（與點(diǎn)A，B均不

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重合），點(diǎn)F在對角線AC上，CE與BF相交于點(diǎn)G，連接AG，DF，若AF＝BE，則下列結(jié)論錯誤的是

（）

A．DF＝CEB．∠BGC＝120°

C．AF2＝EG?ECD．AG的最小值為

22

思路引領(lǐng)：根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用SAS證明△ADF≌△BCE，可得3DF＝CE，故A正確；利用菱形的軸

對稱知，△BAF≌△DAF，得∠ADF＝∠ABF，則∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣∠CBE

＝120°，故B正確，利用△BEG∽△CEB，得，且AF＝BE，可得C正確，利用定角對定邊可

????

=

得點(diǎn)G在以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓上運(yùn)動，??連接?A?O，交O于G，此時AG最小，AO是BC的垂

直平分線，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AG的最小⊙值，從而解決問題．

解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴∠BAD＝120°，BC＝AD，∠DAC∠BAD＝60°，

1

∴∠DAF＝∠CBE，=2

∵BE＝AF，

∴△ADF≌△BCE（SAS），

∴DF＝CE，∠BCE＝∠ADF，故A正確，不符合題意；

∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，

∴△BAF≌△DAF（SAS），

∴∠ADF＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠BCE，

∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣∠CBE＝120°，故B正確，不符合題意；

∵∠EBG＝∠ECB，∠BEG＝∠CEB，

∴△BEG∽△CEB，

∴，

????

2=

∴B??E＝C?E?×EG，

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∵BE＝AF，

∴AF2＝EG?EC，故C正確，不符合題意；

以BC為底邊，在BC的下方作等腰△OBC，使∠OBC＝∠OCB＝30°，

∵∠BGC＝120°，BC＝1，

∴點(diǎn)G在以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓上運(yùn)動，

連接AO，交O于G，此時AG最小，AO是BC的垂直平分線，

∵OB＝OC，⊙∠BOC＝120°，

∴∠BCO＝30°，

∴∠ACO＝90°，

∴∠OAC＝30°，

∴OC，

3

=

∴AO＝23OC，

23

=

∴AG的最小值為3AO﹣OC，故D錯誤，符合題意．

3

故選：D．=3

總結(jié)提升：本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用定

邊對定角確定點(diǎn)G的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵．

13．（2022?青島）如圖，O為正方形ABCD對角線AC的中點(diǎn)，△ACE為等邊三角形．若AB＝2，則OE的

長度為（）

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A．B．C．D．

6

62223

思路引2領(lǐng)：首先利用正方形的性質(zhì)可以求出AC，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可求出OE．

解：∵四邊形ABCD為正方形，AB＝2，

∴AC＝2，

∵O為正方2形ABCD對角線AC的中點(diǎn)，△ACE為等邊三角形，

∴∠AOE＝90°，

∴AC＝AE＝2，AO，

∴OE2．=2

故選：=B．2×3=6

總結(jié)提升：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，同時也利用了等邊三角形的性質(zhì)，有一定的綜合性．

14．（2022?呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，點(diǎn)E是DA中點(diǎn)，F(xiàn)是對角線AC上一

點(diǎn)，且∠DEF＝45°，則AF：FC的值是（）

A．3B．1C．21D．2

5+2++3

思路引領(lǐng)：連接DB，交AC于點(diǎn)O，連接OE，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠DAC∠DAB＝30°，AC⊥BD，

1

=

ODBD，AC＝2AO，AB＝AD，從而可得△ABD是等邊三角形，進(jìn)而可得D2B＝AD，再根據(jù)直角三角

1

=

形斜邊2上的中線可得OE＝AE＝DEAD，然后設(shè)OE＝AE＝DE＝a，則AD＝BD＝2a，在Rt△AOD中，

1

利用勾股定理求出AO的長，從而求=出2AC的長，最后利用等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的外角求出∠

OEF＝∠EFO＝15°，從而可得OE＝OF＝a，即可求出AF，CF的長，進(jìn)行計算即可解答．

解：連接DB，交AC于點(diǎn)O，連接OE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠DAC∠DAB＝30°，AC⊥BD，ODBD，AC＝2AO，AB＝AD，

11

=2=2

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∵∠DAB＝60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴DB＝AD，

∵∠AOD＝90°，點(diǎn)E是DA中點(diǎn)，

∴OE＝AE＝DEAD，

1

∴設(shè)OE＝AE＝D=E2＝a，

∴AD＝BD＝2a，

∴ODBD＝a，

1

=

在Rt△A2OD中，AOa，

2222

∴AC＝2AO＝2a，=?????=(2?)??=3

∵EA＝EO，3

∴∠EAO＝∠EOA＝30°，

∴∠DEO＝∠EAO+∠EOA＝60°，

∵∠DEF＝45°，

∴∠OEF＝∠DEO﹣∠DEF＝15°，

∴∠EFO＝∠EOA﹣∠OEF＝15°，

∴∠OEF＝∠EFO＝15°，

∴OE＝OF＝a，

∴AF＝AO+OFa+a，

∴CF＝AC﹣AF=3a﹣a，

=3

∴2，

??3?+?3+1

===+3

故選??：D．3???3?1

總結(jié)提升：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適

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當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

15．（2022?包頭）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC邊上，EF∥AB，AE＝AB，

AF與BE相交于點(diǎn)O，連接OC．若BF＝2CF，則OC與EF之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（）

A．2OCEFB．OC＝2EFC．2OCEFD．OC＝EF

思路引領(lǐng)=：過5點(diǎn)O作OH⊥B5C于點(diǎn)H，得出四邊形A=BFE3是正方形，再根據(jù)線段等量關(guān)系得出CF＝EF

＝2OH，根據(jù)勾股定理得出OCOH，即可得出結(jié)論．

解：過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，=5

∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，

∴四邊形ABFE是正方形，

∴OHEFBF＝BH＝HF，

11

∵BF＝=22CF，=2

∴CH＝EF＝2OH，

∴OCOH，

2222

即2O=C??EF+，??=??+(2??)=5

故選：A=．5

總結(jié)提升：本題主要考查矩形和正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形和正方形的判定和性質(zhì)及勾股定理

等知識是解題的關(guān)鍵．

16．（2022?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動點(diǎn)，以DE為一邊作正方形DEFG．設(shè)

DE＝d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（）

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A．B．2C．2D．4

思路引2領(lǐng)：連接AE，那么，AE＝CG，所以這三個d的2和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故當(dāng)AEFC

四點(diǎn)共線有最小值，最后求解，即可求出答案．

解：如圖，連接AE，

∵四邊形DEFG是正方形，

∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDG，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE＝CG，

∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，

∴點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條線上時，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，

連接AC，

∴d1+d2+d3最小值為AC，

在Rt△ABC中，ACAB＝2，

∴d1+d2+d3最?。紸C=＝2，2

故選：C．2

總結(jié)提升：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．

17．（2022?無錫）如圖，在ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點(diǎn)E在AD上，∠EBA＝60°，則

??

?

的值是（）??

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A．B．C．D．

2132

思路3引領(lǐng)：由等腰三角形的2性質(zhì)可求∠ADB＝30°2，∠DAB＝75°，由直2角三角形的性質(zhì)和勾股定理可

求CD，DE的長，即可求解．

解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，

設(shè)∠ADB＝x，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，

∴∠CBD＝∠ADB＝x，

∵AD＝BD，

∴∠DBA＝∠DAB，

180°??

=

∴x105°，2

180°??

∴x＝+30°2，=

∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，

∵BH⊥AD，

∴BD＝2BH，DHBH，

∵∠EBA＝60°，=∠D3AB＝75°，

∴∠AEB＝45°，

∴∠AEB＝∠EBH＝45°，

∴EH＝BH，

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∴DEBH﹣BH＝（1）BH，

=33?

∵AB（）BH＝CD，

2222

=??+??=??+(2???3??)=6?2

∴，

??2

=

故選??：D．2

總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出∠ADB＝30°是解題的

關(guān)鍵．

18．（2022?黔東南州）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過點(diǎn)D作DF⊥BC，

垂足為F，則DF的長為（）

A．22B．5C．3D．1

3

思路引3領(lǐng)+：方法一：如圖，?延長3DA、BC交于點(diǎn)G?，利3用正方形性質(zhì)和等3邊+三角形性質(zhì)可得：∠BAG＝

90°，AB＝2，∠ABC＝60°，運(yùn)用解直角三角形可得AG＝2，DG＝2+2，再求得∠G＝30°，根

據(jù)直角三角形性質(zhì)得出答案．33

方法二：過點(diǎn)E作EG⊥DF于點(diǎn)G，作EH⊥BC于點(diǎn)H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH，再

證明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH，即可求得答案．=3

解：方法一：如圖，延長DA、BC交=于點(diǎn)3G，

∵四邊形ABED是正方形，

∴∠BAD＝90°，AD＝AB，

∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，

∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，

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∴AB＝2，∠ABC＝60°，

∴AG＝AB?tan∠ABC＝2×tan60°＝2，

∴DG＝AD+AG＝2+2，3

∵∠G＝90°﹣60°＝330°，DF⊥BC，

∴DFDG（2+2）＝1，

11

故選D=．2=2×3+3

方法二：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥DF于點(diǎn)G，作EH⊥BC于點(diǎn)H，

則∠BHE＝∠DGE＝90°，

∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，

∴AB＝2，∠ABC＝60°，

∵四邊形ABED是正方形，

∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，

∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，

∴EH＝BE?sin∠EBH＝2?sin30°＝21，BH＝BE?cos∠EBH＝2cos30°，

1

∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，×2==3

∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，

∴四邊形EGFH是矩形，

∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，

∵∠DEG+∠BEG＝90°，

∴∠BEH＝∠DEG，

在△BEH和△DEG中，

，

∠???=∠???

∠???=∠???

∴?△?=BE?H?≌△DEG（AAS），

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∴DG＝BH，

∴DF＝DG+=FG31，

故選：D．=3+

總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，

題目的綜合性很好，難度不大．

19．（2022?安徽）兩個矩形的位置如圖所示，若∠1＝，則∠2＝（）

α

A．﹣90°B．﹣45°C．180°﹣D．270°﹣

思路α引領(lǐng)：根據(jù)矩形的性質(zhì)α和三角形外角的性質(zhì)，可以用α含的式子表示出∠2．α

解：由圖可得，α

∠1＝90°+∠3，

∵∠1＝，

∴∠3＝α﹣90°，

∵∠3+∠α2＝90°，

∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（﹣90°）＝90°﹣+90°＝180°﹣，

故選：C．ααα

總結(jié)提升：本題考查矩形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，用含的代數(shù)式表示

出∠2．α

20．（2022?舟山）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8．點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF

∥AB，則四邊形AEFG的周長是（）

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A．32B．24C．16D．8

思路引領(lǐng)：根據(jù)EF∥AC，GF∥AB，可以得到四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，

再根據(jù)AB＝AC＝8和等量代換，即可求得四邊形AEFG的周長．

解：∵EF∥AC，GF∥AB，

∴四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，

∴EB＝EF，F(xiàn)G＝GC，

∵四邊形AEFG的周長是AE+EF+FG+AG，

∴四邊形AEFG的周長是AE+EB+GC+AG＝AB+AC，

∵AB＝AC＝8，

∴四邊形AEFG的周長是AB+AC＝8+8＝16，

故選：C．

總結(jié)提升：本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，將平

行四邊形的周長轉(zhuǎn)化為AB和AC的關(guān)系．

21．（2022?重慶）如圖，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，連接DF，

若BE＝AF，則∠CDF的度數(shù)為（）

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A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°

思路引領(lǐng)：根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，可以得到∠ADF的度數(shù)，從而可以求得∠CDF

的度數(shù)．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，

在△DAF和△ABE中，

，

??=??

∠???=∠???

△?D?A=F?≌?△ABE（SAS），

∠ADF＝∠BAE，

∵AE平分∠BAC，四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAE∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，

1

∴∠ADF=＝22.5°，

∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，

故選：C．

總結(jié)提升：本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠ADF的度數(shù)．

22．（2022?重慶）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．E、F分別為AC、BD上一點(diǎn)，

且OE＝OF，連接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，則∠CBE的度數(shù)為（）

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A．50°B．55°C．65°D．70°

思路引領(lǐng)：利用正方形的對角線互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和

全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．

∵OE＝OF，

∴△OEF為等腰直角三角形，

∴∠OEF＝∠OFE＝45°，

∵∠AFE＝25°，

∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，

∴∠FAO＝20°．

在△AOF和△BOE中，

，

??=??

∠???=∠???=90°

∴?△?=AO?F?≌△BOE（SAS）．

∴∠FAO＝∠EBO＝20°，

∵OB＝OC，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．

故選：C．

總結(jié)提升：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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模塊二2023中考押題預(yù)測

23．（2022?瀘州）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上的點(diǎn)，且BE＝2AE，過點(diǎn)E作DE

的垂線交正方形外角∠CBG的平分線于點(diǎn)F，交邊BC于點(diǎn)M，連接DF交邊BC于點(diǎn)N，則MN的長為

（）

A．B．C．D．1

256

思路3引領(lǐng)：根據(jù)正方形的性6質(zhì)、相似三角形的判定7和性質(zhì)，可以求得CN和BN的長，然后根據(jù)BC＝3，

即可求得MN的長．

解：作FH⊥BG交于點(diǎn)H，作FK⊥BC于點(diǎn)K，

∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，

∴四邊形BHFK是正方形，

∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，

∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，

∴∠DEA＝∠EFH，

∵∠A＝∠EHF＝90°，

∴△DAE∽△EHF，

∴，

????

=

∵?正?方形?A?BCD的邊長為3，BE＝2AE，

∴AE＝1，BE＝2，

設(shè)FH＝a，則BH＝a，

∴，

31

=

解得2+?a＝1；?

∵FK⊥CB，DC⊥CB，

∴△DCN∽△FKN，

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∴，

????

=

∵?B?C＝3?，?BK＝1，

∴CK＝2，

設(shè)CN＝b，則NK＝2﹣b，

∴，

3?

=

解得1b2??，

3

=

即CN2，

3

∵∠A=＝2∠EBM，∠AED＝∠BME，

∴△ADE∽△BEM，

∴，

????

=

∴????，

31

=

解得2BM??，

2

=

∴MN＝BC3﹣CN﹣BM＝3，

325

故選：B．?2?3=6

總結(jié)提升：本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形

結(jié)合的思想解答．

24．（2023?雁塔區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，過點(diǎn)D作DE⊥AB，連接AE、

BE，若CD＝4，AE＝5，則DE的長為（）

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A．2B．3C．4D．5

思路引領(lǐng)：先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到AD＝4，再利用勾股定理求出DE的長即可．

解：在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，CD＝4，

∴，

1

∵D??E⊥=A?B?，=AE?＝?5=，2??=4

∴，

22

故選??：=B．?????=3

總結(jié)提升：本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理，正確求出AD＝4是解題的關(guān)鍵．

25．（2022?槐蔭區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點(diǎn)A在y軸上

運(yùn)動，點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動，點(diǎn)E為對角線的交點(diǎn)，在運(yùn)動過程中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的最大距離是（）

A．B．1C．D．2

2

2

思路引2領(lǐng)：過E作EF⊥y軸于F，根據(jù)四邊形ABCD是邊長為2的正方形，可得AE，由垂線段最

短可得EF＜，即得A與F重合時，E到y(tǒng)軸距離最大，最大為．=2

解：過E作EF2⊥y軸于F，如圖：2

∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

∴AC＝2，AE，

若A、E、2F構(gòu)成=三角2形，則直角邊EF小于AE，即EF＜，

2

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∴當(dāng)A與F重合，即EA⊥y軸時，EF＝AE，如圖：

=2

此時E到y(tǒng)軸距離最大，最大為；

故選：C．2

總結(jié)提升：本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是垂線段最短．

26．（2022?市南區(qū)校級二模）如圖，已知正方形ABCD邊長是6，點(diǎn)P是線段BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE

⊥AP于點(diǎn)E．連接EC，若CE＝CD，則△CDE的面積是（）

A．18B．C．14.4D．

思路引領(lǐng)：根據(jù)正方形的性4質(zhì)1和3全等三角形的判定可以得到△ADE和△6DC3F全等，然后即可得到CF和

DE的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到DF和DE的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理可以得到DF2的值，然

后即可計算出△CDE的面積．

解：作CF⊥ED于點(diǎn)F，如右圖所示，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠CDA＝90°，

∴∠ADE+∠FDC＝90°，

∵