專題25 解答題重點(diǎn)出題方向解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用（解析版）

專題25解答題重點(diǎn)出題方向解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用（解析版）

模塊一2022中考真題集訓(xùn)

類型一坡度坡角問題

1．（2022?菏澤）菏澤某超市計(jì)劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來(lái)的37°減至

30°，已知原電梯坡面AB的長(zhǎng)為8米，更換后的電梯坡面為AD，點(diǎn)B延伸至點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．（結(jié)

果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）

3≈

思路引領(lǐng)：在△ABC中求出BC以及AC的長(zhǎng)度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．

解：由題意得，在△ABC中，

∵∠ABC＝37°，AB＝8米，

∴AC＝AB?sin37°＝4.8（米），

BC＝AB?cos37°＝6.4（米），

在Rt△ACD中，CD8.304（米），

??

則BD＝CD﹣BC＝8.=30?4?﹣?360.4°≈≈1.9（米）．

答：改動(dòng)后電梯水平寬度增加部分BD的長(zhǎng)為1.9米．

總結(jié)提升：本題考查了坡度和坡角的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知

識(shí)求解．

2．（2022?郴州）如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面，壩高CD＝20m，背水坡BC的坡度為i1＝1：1．為了對(duì)水庫(kù)

大壩進(jìn)行升級(jí)加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為i2＝1：，求背水坡新

起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離．3

（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73．結(jié)果精確到0.1m）

2≈3≈

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思路引領(lǐng)：在Rt△BCD中，根據(jù)BC的坡度為i1＝1：1，可求出BD的長(zhǎng)，再在Rt△ACD中，根據(jù)AC

的坡度為i2＝1：，可求出AD的長(zhǎng)，然后利用AB＝AD﹣BD，進(jìn)行計(jì)算即可解答．

解：在Rt△BCD中3，

∵BC的坡度為i1＝1：1，

∴1，

??

=

∴?C?D＝BD＝20米，

在Rt△ACD中，

∵AC的坡度為i2＝1：，

∴，3

??1

=

∴?A?D3CD＝20（米），

∴AB＝=AD3﹣BD＝20320≈14.6（米），

∴背水坡新起點(diǎn)A與原3起?點(diǎn)B之間的距離約為14.6米．

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟練掌握坡度是解題的關(guān)鍵．

3．（2022?長(zhǎng)沙）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)

行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點(diǎn)D．為方便

通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．

（1）求該斜坡的高度BD；

（2）求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求解；

（2）在△ACD中，根據(jù)∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，從而得出AC的長(zhǎng)．

解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，

∴BDBA＝10（m），

1

答：該=斜2坡的高度BD為10m；

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（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，

∴∠CBA＝15°，

∴AB＝AC＝20（m），

答：斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離為20m．

總結(jié)提升：本題主要考查坡度坡角的定義及解直角三角形，得到AB＝AC是解題的關(guān)鍵．

4．（2022?臺(tái)州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2．梯子與地面所成的角為75°，梯子

AB長(zhǎng)3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，αcos75°≈0.26，

tan75°≈3.73）

思路引領(lǐng)：在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°0.97，解方程即可．

????

解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，=??=3≈

sin∠BAC＝sin75°0.97，

????

解得BC≈2.9．=??=3≈

答：梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的

關(guān)鍵．

5．（2022?株洲）如圖（Ⅰ）所示，某登山運(yùn)動(dòng)愛好者由山坡①的山頂點(diǎn)A處沿線段AC至山谷點(diǎn)C處，再

從點(diǎn)C處沿線段CB至山坡②的山頂點(diǎn)B處．如圖（Ⅱ）所示，將直線l視為水平面，山坡①的坡角∠

ACM＝30°，其高度AM為0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN千米．

（1）求∠ACB的度數(shù)；=2

（2）求在此過(guò)程中該登山運(yùn)動(dòng)愛好者走過(guò)的路

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程．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)坡度的概念求出∠BCN＝45°，根據(jù)平角的概念計(jì)算即可；

（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)余弦的定義求出BC，進(jìn)而得到答案．

解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1，

∴CN＝BN，

∴∠BCN＝45°，

∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°；

（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米，

∴AC＝2AM＝1.2千米，

在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN千米，

=2

則BC2（千米），

??

∴該登=山??運(yùn)?∠動(dòng)?愛??好=者走過(guò)的路程為：1.2+2＝3.2（千米），

答：該登山運(yùn)動(dòng)愛好者走過(guò)的路程為3.2千米．

總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的

定義是解題的關(guān)鍵．

類型二仰角俯角問題

6．（2022?涼山州）去年，我國(guó)南方某地一處山坡上一座輸電鐵塔因受雪災(zāi)影響，被冰雪從C處壓折，塔尖

恰好落在坡面上的點(diǎn)B處，造成局部地區(qū)供電中斷，為盡快搶通供電線路，專業(yè)維修人員迅速奔赴現(xiàn)場(chǎng)

進(jìn)行處理，在B處測(cè)得BC與水平線的夾角為45°，塔基A所在斜坡與水平線的夾角為30°，A、B兩

點(diǎn)間的距離為16米，求壓折前該輸電鐵塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．

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思路引領(lǐng)：根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理，可以分別求得AD、CD和BC長(zhǎng)，然后將它們相加，即可得

到壓折前該輸電鐵塔的高度．

解：由已知可得，

BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，

∴∠E＝∠DBA＝30°，

∴AD＝8米，

∴BD8（米），

2222

∵∠C=BD＝??45?°?，?∠=CDB1＝69?0°8，=3

∴∠C＝∠CBD＝45°，

∴CD＝BD＝8米，

3

∴BC8（米），

2222

∴AC+=CB?＝?AD++?C?D+=CB＝(8（83+)8+(883)）=米，6

答：壓折前該輸電鐵塔的高度是（38++868）米．

3+6

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出AD、CD

和BC長(zhǎng)．

7．（2022?陜西）端午假期，小明和小昊與家人到一山莊度假．閑暇時(shí)，他們想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量所住

樓前小河的寬．如圖所示，他們先在六層房間窗臺(tái)點(diǎn)F處，測(cè)得河岸點(diǎn)A處的俯角∠1的度數(shù)，然后來(lái)

到四層房間窗臺(tái)點(diǎn)E處，測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)B處的俯角∠2的度數(shù)（AB與河岸垂直），并且發(fā)現(xiàn)∠1與∠2正

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好互余．其中O，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上，O，A，B三點(diǎn)在同一直線上，OF⊥OA．已知OE＝15米，

OF＝21.6米，OA＝16米，求河寬AB．

思路引領(lǐng)：根據(jù)∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，可得∠FAO+∠EBO＝90°，又OF⊥OA，

即得∠EBO＝∠AFO，故△EBO∽△AFO，有，求出OB＝20.25，從而可得河寬AB為4.25米．

15??

=

解：∵∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝1690°2，1.6

∴∠FAO+∠EBO＝90°，

∵OF⊥OA，

∴∠O＝90°，

∴∠FAO+∠AFO＝90°，

∴∠EBO＝∠AFO，

∵∠O＝∠O，

∴△EBO∽△AFO，

∴，

????

=

∵?O?E＝1?5?米，OF＝21.6米，OA＝16米，

∴，

15??

=

解得16OB2＝12.60.25，

∴AB＝OB﹣OA＝20.25﹣16＝4.25（米），

答：河寬AB為4.25米．

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣俯角問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀

懂題意，證明△EBO∽△AFO．

8．（2022?鋼城區(qū)）如圖，某數(shù)學(xué)研究小組測(cè)量山體AC的高度，在點(diǎn)B處測(cè)得山體A的仰角為45°，沿

BC方向前行20m至點(diǎn)D處，斜坡DE的坡度為1：2，在觀景臺(tái)E處測(cè)得山頂A的仰角為58°，且點(diǎn)E

到水平地面BC的垂直距離EF為10m．點(diǎn)B，D，C在一條直線上，AB，AE，AC在同一豎直平面內(nèi)．

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（1）求斜坡DE的水平寬度DF的長(zhǎng)；

（2）求山體AC的高度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，

）2≈

1.41

思路引領(lǐng)：（1）由斜坡DE的坡度，EF＝10即可得出答案；

??1

（）作⊥，知四邊形為矩=形，設(shè)＝＝，在△中，＝°≈

2EHACEFCH??2EHCFxmRtAEHAHEH?tan581.60x

（m），繼而知AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，在Rt△ABC中，根據(jù)AC

＝BC得1.60x+10＝40+x，解之求出x的值，進(jìn)一步求解可得答案．

解：（1）∵斜坡DE的坡度，EF＝10m，

??1

=

∴，??2

101

=

∴?D?F＝220．即斜坡DE的水平寬度DF長(zhǎng)為20米．

（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，則四邊形EFCH為矩形，

∴HC＝EF＝10m，CF＝EH，

設(shè)EH＝CF＝xm，

在Rt△AEH中，AH＝EH?tan∠AEH＝EH?tan58°≈1.60x（m），

∴AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，

在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，

∴AC＝BC，即1.60x+10＝40+x，

解得x＝50，

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∴AH＝1.60x＝1.60×50＝80（m），

∴AC＝AH+HC＝80+10＝90（m）．即山體AC的高度為90米．

總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角

形是解答此題的關(guān)鍵．

9．（2022?內(nèi)蒙古）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建

筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡

坡度i＝3：4，即tan，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB．

3

（結(jié)果精確到0.1m，θ參=考4數(shù)據(jù)：1.732）

3≈

思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt

△DEC中，根據(jù)已知可設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可求出DE，CE的長(zhǎng)，

再設(shè)BF＝y(tǒng)米，從而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DF的

長(zhǎng)，從而求出AC的長(zhǎng)，再在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于y的方程，進(jìn)行計(jì)算即可

解答．

解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，

則DE＝AF，DF＝AE，

在Rt△DEC中，tan，

??3

θ=??=4

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設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，

∵DE2+CE2＝DC2，

∴（3x）2+（4x）2＝400，

∴x＝4或x＝﹣4（舍去），

∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，

設(shè)BF＝y(tǒng)米，

∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，

在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，

∴DFy（米），

???

=???30°=3=3

∴AE＝DFy米3，

∴AC＝AE﹣=CE3＝（y﹣16）米，

在Rt△ABC中，∠AC3B＝60°，

∴tan60°，

??12+?

===3

解得：y＝6+?8?，3??16

經(jīng)檢驗(yàn)：y＝6+83是原方程的根，

∴AB＝BF+AF＝138+831.9（米），

∴建筑物的高度AB約為3≈31.9米．

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)

合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

10．（2022?營(yíng)口）在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組要測(cè)量一幢大樓MN的高度，如圖，在山坡的坡腳A

處測(cè)得大樓頂部M的仰角是58°，沿著山坡向上走75米到達(dá)B處，在B處測(cè)得大樓頂部M的仰角是

22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求大樓MN的高度．（圖

中的點(diǎn)A，B，M，N，C均在同一平面內(nèi)，N，A，C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.4，tan58°

≈1.6）

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思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥MN，垂足為D，則BE＝DN，DB＝NE，根據(jù)

已知可設(shè)BE＝3a米，則AE＝4a米，從而在Rt△ABE中，利用勾股定理可求出AE，BE的長(zhǎng)，然后設(shè)

NA＝x米，在Rt△ANM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出MN的長(zhǎng)，從而求出MD，DB的長(zhǎng)，最后在

Rt△MDB中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．

解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥MN，垂足為D，

則BE＝DN，DB＝NE，

∵斜坡AB的坡度i＝3：4，

∴，

??3

=

∴設(shè)??BE＝43a米，則AE＝4a米，

在Rt△ABE中，AB5a（米），

2222

∵AB＝75米，=??+??=(3?)+(4?)=

∴5a＝75，

∴a＝15，

∴DN＝BE＝45米，AE＝60米，

設(shè)NA＝x米，

∴BD＝NE＝AN+AE＝（x+60）米，

在Rt△ANM中，∠NAM＝58°，

∴MN＝AN?tan58°≈1.6x（米），

∴DM＝MN﹣DN＝（1.6x﹣45）米，

在Rt△MDB中，∠MBD＝22°，

∴tan22°0.4，

??1.6??45

解得：x＝=57?.5?，=?+60≈

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經(jīng)檢驗(yàn)：x＝57.5是原方程的根，

∴MN＝1.6x＝92（米），

∴大樓MN的高度約為92米．

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)

合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

11．（2022?阜新）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民樓的高度AB，在居民

樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)CD＝15m，斜坡的傾斜角為，cos．小文在C點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為

4

60°，在D點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為30°（點(diǎn)A，αB，Cα，=D5在同一平面內(nèi)）．

（1）求C，D兩點(diǎn)的高度差；

（2）求居民樓的高度AB．

（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：1.7）

3≈

思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在Rt△DCE中，可得

4

（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．??=???????=15×5=

12

（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，設(shè)AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°，解得DFx，

???3

====3

在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（x﹣12）m，tan60°????3，求出x的值，即

???+9

3===3

可得出答案．??3??12

解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

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∵在Rt△DCE中，cos，CD＝15m，

4

α=

∴5（m）．

4

??=???????=15×=12

∴5（m）．

2222

答：??C=，D?兩?點(diǎn)?的?高?度=差為159m?．12=9

（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，

由題意可得BF＝DE，DF＝BE，

設(shè)AF＝xm，

在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°，

???3

解得DFx，=??=??=3

在Rt△A=BC3中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，

tan60°，3

???+9

===3

解得??3，??12

9

?=63+

經(jīng)檢驗(yàn)，2是原方程的解且符合題意，

9

?=63+

∴AB9≈224（m）．

9

答：居=民6樓3的+高2+度AB約為24m．

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定

義是解答本題的關(guān)鍵．

12．（2022?襄陽(yáng)）位于峴山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽(yáng)市的標(biāo)志性建筑，是為紀(jì)念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革

命烈士及第一、第二次國(guó)內(nèi)革命戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期為襄陽(yáng)的解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命烈士而興建的，某校數(shù)學(xué)興趣小

組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量烈士塔的高度．無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得烈士塔頂部點(diǎn)B的仰角為45°，烈士塔底部點(diǎn)C

的俯角為61°，無(wú)人機(jī)與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：

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sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）

思路引領(lǐng)：在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，則BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC

＝tan61°1.80，解得CD≈18，由BC＝BD+CD可得出答案．

????

解：由題意=得??，=∠1B0AD≈＝45°，∠DAC＝61°，

在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，

∴BD＝AD＝10m，

在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，

tan61°1.80，

????

解得CD=≈?1?8，=10≈

∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．

∴烈士塔的高度約為28m．

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的

關(guān)鍵．

13．（2022?朝陽(yáng)）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺(tái)階）．該小組在C

處安置測(cè)角儀CD，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°，前進(jìn)8m到達(dá)E處，安置測(cè)角儀EF，測(cè)得旗桿頂端

A的仰角為45°（點(diǎn)B，E，C在同一直線上），測(cè)角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的

距離即AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：1.7）

3≈

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思路引領(lǐng)：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，

然后設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FG的長(zhǎng)，從而求出DG的長(zhǎng)，再在Rt

△ADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．

解：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，

由題意得：

DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，

設(shè)AG＝xm，

在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，

∴FGx（m），

??

∴DG=＝?D?F?+45F°G=＝（x+8）m，

在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，

∴tan30°，

???3

∴x＝4=4?，?=?+8=3

經(jīng)檢驗(yàn)：3x+＝44是原方程的根，

∴AB＝AG+BG≈3+12（m），

∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度約為12m．

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)

的輔助線是解題的關(guān)鍵．

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14．（2022?鞍山）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸．為弘揚(yáng)航

天精神，某校在教學(xué)樓上懸掛了一幅長(zhǎng)為8m的勵(lì)志條幅（即GF＝8m）．小亮同學(xué)想知道條幅的底端F

到地面的距離，他的測(cè)量過(guò)程如下：如圖，首先他站在樓前點(diǎn)B處，在點(diǎn)B正上方點(diǎn)A處測(cè)得條幅頂端

G的仰角為37°，然后向教學(xué)樓條幅方向前行12m到達(dá)點(diǎn)D處（樓底部點(diǎn)E與點(diǎn)B，D在一條直線上），

在點(diǎn)D正上方點(diǎn)C處測(cè)得條幅底端F的仰角為45°，若AB，CD均為1.65m（即四邊形ABDC為矩形），

請(qǐng)你幫助小亮計(jì)算條幅底端F到地面的距離FE的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，

cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

思路引領(lǐng)：設(shè)AC與GE相交于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG

＝90°，然后設(shè)CH＝x米，則AH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH的

長(zhǎng)，從而求出GH的長(zhǎng)，最后再在Rt△AHG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算

即可解答．

解：設(shè)AC與GE相交于點(diǎn)H，

由題意得：

AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，

設(shè)CH＝x米，

∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，

在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，

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∴FH＝CH?tan45°＝x（米），

∵GF＝8米，

∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，

在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，

∴tan37°0.75，

???+8

解得：x＝=4，??=12+?≈

經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4是原方程的根，

∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），

∴條幅底端F到地面的距離FE的長(zhǎng)度約為5.7米．

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)

鍵．

15．（2022?安順）隨著我國(guó)科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，5G移動(dòng)通信技術(shù)日趨完善，某市政府為了實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)

全覆蓋，2021～2025年擬建設(shè)5G基站3000個(gè)，如圖，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在

坡腳C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，然后他沿坡面CB行走了50米到達(dá)D處，D處離地平面的距離為

30米且在D處測(cè)得塔頂A的仰角53°．（點(diǎn)A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)

據(jù)：sin53°，cos53°，tan53°）

434

（1）求坡面≈C5B的坡度；≈5≈3

（2）求基站塔AB的高．

思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CE，垂足為M．由勾股

定理可求出答案；

（2）設(shè)DF＝4a米，則ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF

中由銳角三角函數(shù)可列方程求出DF，進(jìn)而求出AB．

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CE，垂足為M．

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由題意可知：CD＝50米，DM＝30米．

在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，

∴CM＝40米，

∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；

（2）設(shè)DF＝4a米，則MN＝4a米，BF＝3a米，

∵∠ACN＝45°，

∴∠CAN＝∠ACN＝45°，

∴AN＝CN＝（40+4a）米，

∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．

在Rt△ADF中，

∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，

∴tan∠ADF，

??

=

∴，??

410+4?

=

∴解3得a4?，

15

∴AF＝10=+42a＝10+30＝40（米），

∵BF＝3a米，

45

=

∴AB＝AF﹣B2F＝40（米）．

4535

?2=2

答：基站塔AB的高為米．

35

總結(jié)提升：本題考查解2直角三角形，通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系和坡度的

意義進(jìn)行計(jì)算是常用的方法．

16．（2022?日照）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦激發(fā)了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．如圖是某滑雪場(chǎng)的橫截面

示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學(xué)在C點(diǎn)測(cè)得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的

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俯角∠DAB＝30°．若雪道AB長(zhǎng)為270m，雪道BC長(zhǎng)為260m．

（1）求該滑雪場(chǎng)的高度h；

（2）據(jù)了解，該滑雪場(chǎng)要用兩種不同的造雪設(shè)備來(lái)滿足對(duì)于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時(shí)

造雪量比乙設(shè)備少35m3，且甲設(shè)備造雪150m3所用的時(shí)間與乙設(shè)備造雪500m3所用的時(shí)間相等．求甲、

乙兩種設(shè)備每小時(shí)的造雪量．

思路引領(lǐng)：（1）過(guò)B作BF∥AD，過(guò)A過(guò)AF⊥AD，兩直線交于F，過(guò)B作BE垂直地面交地面于E，根

據(jù)題知∠ABF＝∠DAB＝30°，可得AFAB＝135（m），由BC的坡度i＝1：2.4，設(shè)BE＝tm，則CE

1

＝2.4tm，可得t2+（2.4t）2＝2602，即可=得2h＝AF+BE＝235（m）；

（2）設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是xm3，可得：，即方程并檢驗(yàn)可得甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪

150500

33=

量是15m，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是50m．??+35

解：（1）過(guò)B作BF∥AD，過(guò)A過(guò)AF⊥AD，兩直線交于F，過(guò)B作BE垂直地面交地面于E，如圖：

根據(jù)題知∠ABF＝∠DAB＝30°，

∴AFAB＝135（m），

1

∵BC=的2坡度i＝1：2.4，

∴BE：CE＝1：2.4，

設(shè)BE＝tm，則CE＝2.4tm，

∵BE2+CE2＝BC2，

∴t2+（2.4t）2＝2602，

解得t＝100（m），（負(fù)值已舍去），

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∴h＝AF+BE＝235（m），

答：該滑雪場(chǎng)的高度h為235m；

（2）設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是xm3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是（x+35）m3，

根據(jù)題意得：，

150500

=

解得x＝15，??+35

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原方程的解，也符合題意，

∴x+35＝50，

答：甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3，乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是50m3．

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和列出分式方程．

17．（2022?西藏）某班同學(xué)在一次綜合實(shí)踐課上，測(cè)量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測(cè)量?jī)x在A處測(cè)得樹

頂D的仰角為45°，C處測(cè)得樹頂D的仰角為37°（點(diǎn)A，B，C在一條水平直線上），已知測(cè)量?jī)x高

度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，

cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

思路引領(lǐng)：連接EF，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，在兩個(gè)直角三角形中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出DM即可．

解：連接EF，交BD于點(diǎn)M，則EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，

在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，

∴EM＝DM，

設(shè)DM＝x米，則EM＝AB＝x米，F(xiàn)M＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，

在Rt△DFM中，tan37°，

??

=

即0.75，??

?

≈

解得28?x＝?12，

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝12是原方程的根，

即DM＝12米，

∴DB＝12+1.6＝13.6（米），

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答：樹BD的高度為13.6米．

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提，構(gòu)造直角三

角形是解決問題的關(guān)鍵．

18．（2022?大連）如圖，蓮花山是大連著名的景點(diǎn)之一．游客可以從山底乘坐索道車到達(dá)山頂，索道車運(yùn)

行的速度是1米/秒．小明要測(cè)量蓮花山山頂白塔的高度，他在索道A處測(cè)得白塔底部B的仰角約為30°，

測(cè)得白塔頂部C的仰角約為37°，索道車從A處運(yùn)行到B處所用時(shí)間約為5分鐘．

（1）索道車從A處運(yùn)行到B處的距離約為300米；

（2）請(qǐng)你利用小明測(cè)量的數(shù)據(jù)，求白塔BC的高度．（結(jié)果取整數(shù)）

（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）

3≈

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD，BD的長(zhǎng)，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函

數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．

解：（1）由題意得：

5分鐘＝300秒，

∴1×300＝300（米），

∴索道車從A處運(yùn)行到B處的距離約為300米，

故答案為：300；

（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，

∴BDAB＝150（米），

1

=2

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ADBD＝150（米），

在R=t△3ACD中，∠3CAD＝37°，

∴CD＝AD?tan37°≈1500.75≈194.6（米），

∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣1350×≈45（米），

∴白塔BC的高度約為45米．

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)

鍵．

19．（2022?河池）如圖，小敏在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)知識(shí)對(duì)他所在小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測(cè)量，

從小敏家陽(yáng)臺(tái)C測(cè)得點(diǎn)A的仰角為33°，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為45°，已知觀測(cè)點(diǎn)到地面的高度CD＝36m，

求居民樓AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．

思路引領(lǐng)：通過(guò)作高，構(gòu)造直角三角形，在兩個(gè)直角三角形中用直角三角形的邊角關(guān)系可求出AE、BE

即可．

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，

由題意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，

在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，

∴BE＝CE＝CD＝36m，

在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，

∴AE＝CE?tan33°≈36×0.65≈23.4（m），

∴AB＝AE+BE＝36+23.4＝59.4≈59（m），

答：居民樓AB的高度約為59m．

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總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．

類型三方向角問題

20．（2022?重慶）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)

C在點(diǎn)A的正東方向，AC＝200米．點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向．點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD＝100米．點(diǎn)

B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．

（1）求步道DE的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；

（2）點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到

達(dá)點(diǎn)D．請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明他走哪一條路較近？

（參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）

2≈3≈

思路引領(lǐng)：（1）過(guò)D作DF⊥AE于F，由已知可得四邊形ACDF是矩形，則DF＝AC＝200米，根據(jù)點(diǎn)

D在點(diǎn)E的北偏東45°，即得DEDF＝200283（米）；

（2）由△DEF是等腰直角三角形，=DE2＝283米，2可≈得EF＝DF＝200米，而∠ABC＝30°，即得AB＝

2AC＝400米，BC200米，又BD＝100米，即可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為AB+BD

22

=?????=3

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＝500米，CD＝BC+BD＝（200100）米，從而可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為AE+DE＝

200100+200529米，即可得3答+案．

解：（31?）過(guò)D作D2F≈⊥AE于F，如圖：

由已知可得四邊形ACDF是矩形，

∴DF＝AC＝200米，

∵點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°，即∠DEF＝45°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DEDF＝200283（米）；

（2）=由（21）知△DE2F≈是等腰直角三角形，DE＝283米，

∴EF＝DF＝200米，

∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，即∠EAB＝30°，

∴∠ABC＝30°，

∵AC＝200米，

∴AB＝2AC＝400米，BC200米，

22

∵BD＝100米，=?????=3

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為AB+BD＝400+100＝500米，

CD＝BC+BD＝（200100）米，

∴AF＝CD＝（20031+00）米，

∴AE＝AF﹣EF＝（230+0100）﹣200＝（200100）米，

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程3為+AE+DE＝2001003+?200529米，

∵529＞500，3?2≈

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D較近．

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總結(jié)提升：本題考查解直角三角形﹣方向角問題，解題的關(guān)鍵是掌握含30°、45°角的直角三角形三邊

的關(guān)系．

21．（2022?資陽(yáng)）小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對(duì)一條東西走向的隧道AB進(jìn)行實(shí)地測(cè)量．如圖所示，

他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)100米后到達(dá)點(diǎn)D，

此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西60°方向上，（點(diǎn)A、B、C、D在3同一平面內(nèi)）

（1）求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離；

（2）求隧道AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)方位角圖，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．分別解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的長(zhǎng)．

解；（1）由題意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

在Rt△ADC中，

∴（米），

答：??點(diǎn)=D?與?×點(diǎn)?A??的∠?距?離?為=1300米3．×???60°=1003×3=300

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，

∵AB是東西走向，

∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，

在Rt△ADE中，

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∴（米），

2

在?R?t△=B?D?E=中?，?×???∠???=300×???45°=300×2=1502

∴（米），

∴??=??×???∠???=1502×??（?6米0°）=，1502×3=1506

答：??隧=道??AB+的??長(zhǎng)=為(1502+1506)米．

總結(jié)提升：本題考查(了15解0直2角+三15角0形6的)應(yīng)用﹣方向角問題，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函數(shù)

值是解題的關(guān)鍵．

22．（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要停靠到碼頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C

在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，

當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)

果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

思路引領(lǐng)：過(guò)B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD

中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．

解：過(guò)B作BD⊥AC于D，

由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，

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在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），

∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），

在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），

∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），

答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)

鍵．

23．（2022?青島）如圖，AB為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加“低碳生活?綠色出行”健步走

公益活動(dòng)，小宇在點(diǎn)A處時(shí)，某艘海上觀光船位于小宇北偏東68°的點(diǎn)C處，觀光船到濱海大道的距離

CB為200米．當(dāng)小宇沿濱海大道向東步行200米到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，觀光船沿北偏西40°的方向航行至點(diǎn)D

處