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專題26解答題重點(diǎn)出題方向二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(解析版)
模塊一2022中考真題集訓(xùn)
類型一最大利潤(rùn)問題
1.(2022?淮安)端午節(jié)前夕,某超市從廠家分兩次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的粽子,兩次進(jìn)貨時(shí),兩種品牌粽
子的進(jìn)價(jià)不變.第一次購(gòu)進(jìn)A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋,總費(fèi)用為7000元;第二次購(gòu)進(jìn)A
品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋,總費(fèi)用為8100元.
(1)求A、B兩種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元;
(2)當(dāng)B品牌粽子銷售價(jià)為每袋54元時(shí),每天可售出20袋,為了促銷,該超市決定對(duì)B品牌粽子進(jìn)
行降價(jià)銷售.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研,若每袋的銷售價(jià)每降低1元,則每天的銷售量將增加5袋.當(dāng)B品牌粽子每
袋的銷售價(jià)降低多少元時(shí),每天售出B品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?
思路引領(lǐng):(1)A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是x元,B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是y元,根據(jù)兩次進(jìn)貨情況,
可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù):利潤(rùn)=(每臺(tái)實(shí)際售價(jià)﹣每臺(tái)進(jìn)價(jià))×銷售量,列函數(shù)關(guān)系式,配方成二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可
得函數(shù)的最大值;
解:(1)A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是x元,B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是y元,
根據(jù)題意得,,
100?+150?=7000
解得,180?+120?=8100
?=25
答:A?種=品30牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是25元,B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是30元;
(2)設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低a元時(shí),每天售出B品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大,利潤(rùn)為w元,
根據(jù)題意得,w=(54﹣a﹣30)(20+5a)=﹣5a2+100a+480=﹣5(a﹣10)2+980,
∵﹣5<0,
∴當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低10元時(shí),每天售出B品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是980
元.
總結(jié)提升:本題主要考查二元一次方程組及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,理解題意準(zhǔn)確抓住相等關(guān)系,據(jù)此列
出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.
2.(2022?朝陽)某商店購(gòu)進(jìn)了一種消毒用品,進(jìn)價(jià)為每件8元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn),每天的銷售量y(件)
與每件售價(jià)x(元)之間存在一次函數(shù)關(guān)系(其中8≤x≤15,且x為整數(shù)).當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為9元
時(shí),每天的銷售量為105件;當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為11元時(shí),每天的銷售量為95件.
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(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤(rùn),則每件消毒用品的售價(jià)為多少元?
(3)設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w(元),當(dāng)每件消毒用品的售價(jià)為多少元時(shí),每天的銷售利
潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?
思路引領(lǐng):(1)根據(jù)給定的數(shù)據(jù),利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)每件的銷售利潤(rùn)×每天的銷售量=425,解一元二次方程即可;
(3)利用銷售該消毒用品每天的銷售利潤(rùn)=每件的銷售利潤(rùn)×每天的銷售量,即可得出w關(guān)于x的函數(shù)
關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.
解:(1)設(shè)每天的銷售量y(件)與每件售價(jià)x(元)函數(shù)關(guān)系式為:y=kx+b,
由題意可知:,
9?+?=105
解得:1,1?+?=95
?=?5
∴y與x?之=間1的50函數(shù)關(guān)系式為:y=﹣5x+150;
(2)(﹣5x+150)(x﹣8)=425,
解得:x1=13,x2=25(舍去),
∴若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤(rùn),則每件消毒用品的售價(jià)為13元;
(3)w=y(tǒng)(x﹣8),
=(﹣5x+150)(x﹣8),
w=﹣5x2+190x﹣1200,
=﹣5(x﹣19)2+605,
∵8≤x≤15,且x為整數(shù),
當(dāng)x<19時(shí),w隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=15時(shí),w有最大值,最大值為525.
答:每件消毒用品的售價(jià)為15元時(shí),每天的銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是525元.
總結(jié)提升:本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目的等
量關(guān)系.
3.(2022?鞍山)某超市購(gòu)進(jìn)一批水果,成本為8元/kg,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),這種水果在未來10天的售價(jià)
m(元/kg)與時(shí)間第x天之間滿足函數(shù)關(guān)系式mx+18(1≤x≤10,x為整數(shù)),又通過分析銷售情況,
1
發(fā)現(xiàn)每天銷售量y(kg)與時(shí)間第x天之間滿足一=次2函數(shù)關(guān)系,下表是其中的三組對(duì)應(yīng)值.
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時(shí)間第x天…259…
銷售量y/kg…333026…
(1)求y與x的函數(shù)解析式;
(2)在這10天中,哪一天銷售這種水果的利潤(rùn)最大,最大銷售利潤(rùn)為多少元?
思路引領(lǐng):(1)利用待定系數(shù)法求解即可;
(2)設(shè)銷售這種水果的日利潤(rùn)為w元,得出w=(﹣x+35)(x+18﹣8)(x)2,再結(jié)
11153025
=??+
合1≤x≤10,x為整數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.2228
解:(1)設(shè)每天銷售量y與時(shí)間第x天之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,
根據(jù)題意,得:,
2?+?=33
解得,5?+?=30
?=?1
∴y=?﹣=x+3355(1≤x≤10,x為整數(shù));
(2)設(shè)銷售這種水果的日利潤(rùn)為w元,
則w=(﹣x+35)(x+18﹣8)
1
x2x+3502
115
=?+
2(x2)2,
1153025
∵=?1≤2x≤?102,x為+整數(shù)8,
∴當(dāng)x=7或x=8時(shí),w取得最大值,最大值為378,
答:在這10天中,第7天和第8天銷售這種水果的利潤(rùn)最大,最大銷售利潤(rùn)為378元.
總結(jié)提升:本題主要考查了二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用,理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的
性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4.(2022?丹東)丹東是我國(guó)的邊境城市,擁有豐富的旅游資源.某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品,每件成本為30
元,投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售,規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元,銷售一段時(shí)間調(diào)研發(fā)現(xiàn),每天的銷
售數(shù)量y(件)與銷售單價(jià)x(元/件)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:
銷售單價(jià)x(元/件)…354045…
每天銷售數(shù)量y(件)…908070…
(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若每天銷售所得利潤(rùn)為1200元,那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?
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(3)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),每天獲利最大?最大利潤(rùn)是多少元?
思路引領(lǐng):(1)設(shè)每天的銷售數(shù)量y(件)與銷售單價(jià)x(元/件)之間的關(guān)系式為y=kx+b,用待定系數(shù)
法可得y=﹣2x+160;
(2)根據(jù)題意得(x﹣30)?(﹣2x+160)=1200,解方程并由銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元,可
得銷售單價(jià)應(yīng)定為50元;
(3)設(shè)每天獲利w元,w=(x﹣30)?(﹣2x+160)=﹣2x2+220x﹣4800=﹣2(x﹣55)2+1250,由二
次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)銷售單價(jià)為54元時(shí),每天獲利最大,最大利潤(rùn),1248元.
解:(1)設(shè)每天的銷售數(shù)量y(件)與銷售單價(jià)x(元/件)之間的關(guān)系式為y=kx+b,
把(35,90),(40,80)代入得:
,
35?+?=90
解40得?+?=80,
?=?2
∴y=?﹣=2x1+61060;
(2)根據(jù)題意得:(x﹣30)?(﹣2x+160)=1200,
解得x1=50,x2=60,
∵規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元,
∴x=50,
答:銷售單價(jià)應(yīng)定為50元;
(3)設(shè)每天獲利w元,
w=(x﹣30)?(﹣2x+160)=﹣2x2+220x﹣4800=﹣2(x﹣55)2+1250,
∵﹣2<0,對(duì)稱軸是直線x=55,
而x≤54,
∴x=54時(shí),w取最大值,最大值是﹣2×(54﹣55)2+1250=1248(元),
答:當(dāng)銷售單價(jià)為54元時(shí),每天獲利最大,最大利潤(rùn),1248元.
總結(jié)提升:本題考查一次函數(shù),一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是讀懂題意,列出函數(shù)關(guān)
系式和一元二次方程.
5.(2022?鄂爾多斯)某超市采購(gòu)了兩批同樣的冰墩墩掛件,第一批花了6600元,第二批花了8000元,第
一批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)是第二批的1.1倍,且第二批比第一批多購(gòu)進(jìn)50個(gè).
(1)求第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià);
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(2)兩批掛件售完后,該超市以第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)又采購(gòu)一批同樣的掛件,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),當(dāng)售
價(jià)為每個(gè)60元時(shí),每周能賣出40個(gè),若每降價(jià)1元,每周多賣10個(gè),由于貨源緊缺,每周最多能賣
90個(gè),求每個(gè)掛件售價(jià)定為多少元時(shí),每周可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是多少?
思路引領(lǐng):(1)設(shè)第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)為x元,則第一批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)為1.1x元,根據(jù)題意列出方
程,求解即可;
(2)設(shè)每個(gè)售價(jià)定為y元,每周所獲利潤(rùn)為w元,則可列出w關(guān)于y的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)“每周最
多能賣90個(gè)”得出y的取值范圍,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論.
解:(1)設(shè)第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)為x元,則第一批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)為1.1x元,
根據(jù)題意可得,50,
66008000
+=
解得x=40.1.1??
經(jīng)檢驗(yàn),x=40是原分式方程的解,且符合實(shí)際意義,
∴1.1x=44.
∴第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)為40元.
(2)設(shè)每個(gè)售價(jià)定為y元,每周所獲利潤(rùn)為w元,
根據(jù)題意可知,w=(y﹣40)[40+10(60﹣y)]=﹣10(y﹣52)2+1440,
∵﹣10<0,
∴當(dāng)x≥52時(shí),w隨y的增大而減小,
∵40+10(60﹣y)≤90,
∴w≥55,
∴當(dāng)y=55時(shí),w取最大,此時(shí)w=﹣10(55﹣52)2+1440=1350.
∴當(dāng)每個(gè)掛件售價(jià)定為55元時(shí),每周可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是1350元.
總結(jié)提升:本題綜合考查分式方程和二次函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.
6.(2022?荊門)某商場(chǎng)銷售一種進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)的商品,當(dāng)銷售價(jià)格x(元/個(gè))滿足40<x<80時(shí),其銷
售量y(萬個(gè))與x之間的關(guān)系式為yx+9.同時(shí)銷售過程中的其它開支為50萬元.
1
(1)求出商場(chǎng)銷售這種商品的凈利潤(rùn)=z?(1萬0元)與銷售價(jià)格x函數(shù)解析式,銷售價(jià)格x定為多少時(shí)凈利
潤(rùn)最大,最大凈利潤(rùn)是多少?
(2)若凈利潤(rùn)預(yù)期不低于17.5萬元,試求出銷售價(jià)格x的取值范圍;若還需考慮銷售量盡可能大,銷
售價(jià)格x應(yīng)定為多少元?
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思路引領(lǐng):(1)根據(jù)總利潤(rùn)=單價(jià)利潤(rùn)×銷量﹣50,可得z與x的函數(shù)解析式,再求出x
?
=?=?
60時(shí),z最大,代入即可;2?
12
1=
2(×2()?1當(dāng)0)z=17.5時(shí),解方程得出x的值,再根據(jù)函數(shù)的增減性和開口方向得出x的范圍,結(jié)合y與x的
函數(shù)關(guān)系式,從而解決問題.
解:(1)z=y(tǒng)(x﹣30)﹣50
=()(x﹣30)﹣50
1
??+9
1012x﹣320,
12
=??+
當(dāng)x1060時(shí),z最大,最大利潤(rùn)為40;
?1212
=?=?1=?×60+12×60?320=
2?2×(?10)10
(2)當(dāng)z=17.5時(shí),17.512x﹣320,
12
=??+
解得x1=45,x2=75,10
∵凈利潤(rùn)預(yù)期不低于17.5萬元,且a<0,
∴45≤x≤75,
∵yx+9.y隨x的增大而減小,
1
∴x==?4510時(shí),銷售量最大.
總結(jié)提升:本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì),一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí),正確列出
z關(guān)于x的函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.
7.(2022?青島)李大爺每天到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種水果進(jìn)行銷售,這種水果每箱10千克,批發(fā)商規(guī)定:整
箱購(gòu)買,一箱起售,每人一天購(gòu)買不超過10箱;當(dāng)購(gòu)買1箱時(shí),批發(fā)價(jià)為8.2元/千克,每多購(gòu)買1箱,
批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元.根據(jù)李大爺?shù)匿N售經(jīng)驗(yàn),這種水果售價(jià)為12元/千克時(shí),每天可銷售1箱;售
價(jià)每千克降低0.5元,每天可多銷售1箱.
(1)請(qǐng)求出這種水果批發(fā)價(jià)y(元/千克)與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x(箱)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若每天購(gòu)進(jìn)的這種水果需當(dāng)天全部售完,請(qǐng)你計(jì)算,李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果多少箱,才能使每
天所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
思路引領(lǐng):(1)根據(jù)當(dāng)購(gòu)買1箱時(shí),批發(fā)價(jià)為8.2元/千克,每多購(gòu)買1箱,批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元得:
y=8.2﹣0.2(x﹣1)=﹣0.2x+8.4,
(2)設(shè)李大爺每天所獲利潤(rùn)是w元,由總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷量得w=[12﹣0.5(x﹣1)﹣(﹣0.2x+8.4)]
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×10x=﹣3(x)2,利用二次函數(shù)性質(zhì)可得李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果7箱,才能使每天所
411681
獲利潤(rùn)最大,最?大6利潤(rùn)+14012元.
解:(1)根據(jù)題意得:y=8.2﹣0.2(x﹣1)=﹣0.2x+8.4(1≤x≤10,x為整數(shù)),
答:這種水果批發(fā)價(jià)y(元/千克)與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x(箱)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣0.2x+8.4(1≤x≤10,x
為整數(shù));
(2)設(shè)李大爺每天所獲利潤(rùn)是w元,
由題意得:w=[12﹣0.5(x﹣1)﹣(﹣0.2x+8.4)]×10x=﹣3x2+41x=﹣3(x)2,
411681
?+
∵﹣3<0,x為正整數(shù),且|6|>|7|,612
4141
??
∴x=7時(shí),w取最大值,最大值6為﹣3×6(7)2140(元),
411681
答:李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果7箱,才能使?每6天所+獲1利2潤(rùn)=最大,最大利潤(rùn)140元.
總結(jié)提升:本題考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的根據(jù)是理解題意,列出函數(shù)關(guān)系式,能利用二
次函數(shù)性質(zhì)解決問題.
8.(2022?營(yíng)口)某文具店最近有A,B兩款紀(jì)念冊(cè)比較暢銷.該店購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念冊(cè)5本和B款紀(jì)念冊(cè)4本
共需156元,購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念冊(cè)3本和B款紀(jì)念冊(cè)5本共需130元.在銷售中發(fā)現(xiàn):A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為32
元/本時(shí),每天的銷售量為40本,每降低1元可多售出2本;B款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為22元/本時(shí),每天的銷售
量為80本,B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量與售價(jià)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,其部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示:
售價(jià)(元/本)……22232425……
每天銷售量(本)……80787674……
(1)求A,B兩款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)分別為多少元;
(2)該店準(zhǔn)備降低每本A款紀(jì)念冊(cè)的利潤(rùn),同時(shí)提高每本B款紀(jì)念冊(cè)的利潤(rùn),且這兩款紀(jì)念冊(cè)每天銷
售總數(shù)不變,設(shè)A款紀(jì)念冊(cè)每本降價(jià)m元;
①直接寫出B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量(用含m的代數(shù)式表示);
②當(dāng)A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為多少元時(shí),該店每天所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
思路引領(lǐng):(1)設(shè)A款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為a元,B款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為b元,根據(jù)購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念冊(cè)
5本和B款紀(jì)念冊(cè)4本共需156元,購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念冊(cè)3本和B款紀(jì)念冊(cè)5本共需130元得,
5?+4?=156
可解得A款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為20元,B款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為14元;3?+5?=130
(2)①根據(jù)兩款紀(jì)念冊(cè)每天銷售總數(shù)不變,可得B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量為(80﹣2m)本;
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②設(shè)B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量與售價(jià)之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系是y=kx+b',待定系數(shù)法可得y=﹣2x+124,
即可得B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量為(80﹣2m)本時(shí),每本售價(jià)是(22+m)元,設(shè)該店每天所獲利潤(rùn)是w
元,則w=(32﹣m﹣20)(40+2m)+(22+m﹣14)(80﹣2m)=﹣4m2+48m+1120=﹣4(m﹣6)2+1264,
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案.
解:(1)設(shè)A款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為a元,B款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為b元,
根據(jù)題意得:,
5?+4?=156
解得,3?+5?=130
?=20
答:A?款=紀(jì)14念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為20元,B款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為14元;
(2)①根據(jù)題意,A款紀(jì)念冊(cè)每本降價(jià)m元,可多售出2m本A款紀(jì)念冊(cè),
∵兩款紀(jì)念冊(cè)每天銷售總數(shù)不變,
∴B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量為(80﹣2m)本;
②設(shè)B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量與售價(jià)之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系是y=kx+b',
根據(jù)表格可得:,
80=22?+?′
解得,78=23?+?′
?=?2
∴y=?﹣′2=x+112244,
當(dāng)y=80﹣2m時(shí),x=22+m,
即B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量為(80﹣2m)本時(shí),每本售價(jià)是(22+m)元,
設(shè)該店每天所獲利潤(rùn)是w元,
由已知可得w=(32﹣m﹣20)(40+2m)+(22+m﹣14)(80﹣2m)=﹣4m2+48m+1120=﹣4(m﹣6)2+1264,
∵﹣4<0,
∴m=6時(shí),w取最大值,最大值為1264元,
此時(shí)A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為32﹣m=32﹣6=26(元),
答:當(dāng)A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為26元時(shí),該店每天所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是1264元.
總結(jié)提升:本題考查二元一次方程組和二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是理解題意,列出方程組和函數(shù)關(guān)
系式.
9.(2022?遼寧)某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批山野菜,市場(chǎng)監(jiān)督部門規(guī)定其售價(jià)每千克不
高于28元.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),山野菜的日銷售量y(千克)與每千克售價(jià)x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)
系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:
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每千克售價(jià)x……202224……
(元)
日銷售量y(千……666054……
克)
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每千克山野菜的售價(jià)定為多少元時(shí),批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為
多少元?
思路引領(lǐng):(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,由表中數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)每日總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.
解:(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),
由表中數(shù)據(jù)得:,
20?+?=66
解得:,22?+?=60
?=?3
∴y與x?之=間1的26函數(shù)關(guān)系式為y=﹣3x+126;
(2)設(shè)批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤(rùn)為w元,
由題意得:w=(x﹣18)y=(x﹣18)(﹣3x+126)=﹣3x2+180x﹣2268=﹣3(x﹣30)2+432,
∵市場(chǎng)監(jiān)督部門規(guī)定其售價(jià)每千克不高于28元,
∴18≤x≤28,
∵﹣3<0,
∴當(dāng)x<30時(shí),w隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=28時(shí),w最大,最大值為420,
∴當(dāng)每千克山野菜的售價(jià)定為28元時(shí),批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為420
元.
總結(jié)提升:本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用,關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系寫出函數(shù)解析式.
10.(2022?遼寧)某超市以每件13元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品,銷售時(shí)該商品的銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不高于
18元.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品每天的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間滿足如圖所示的一次函
數(shù)關(guān)系.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)銷售單價(jià)定為多少時(shí),該超市每天銷售這種商品所獲的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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思路引領(lǐng):(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)解析式,然后由函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出函數(shù)
最值.
解:(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),
由所給函數(shù)圖象可知:,
14?+?=220
解得:,16?+?=180
?=?20
故y與x?的=函50數(shù)0關(guān)系式為y=﹣20x+500;
(2)設(shè)每天銷售這種商品所獲的利潤(rùn)為w,
∵y=﹣20x+500,
∴w=(x﹣13)y=(x﹣13)(﹣20x+500)
=﹣20x2+760x﹣6500
=﹣20(x﹣19)2+720,
∵﹣20<0,
∴當(dāng)x<19時(shí),w隨x的增大而增大,
∵13≤x≤18,
∴當(dāng)x=18時(shí),w有最大值,最大值為700,
∴售價(jià)定為18元/件時(shí),每天最大利潤(rùn)為700元.
總結(jié)提升:本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用,關(guān)鍵是根據(jù)利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)解析式.
類型二圖形面積最大問題
11.(2022?沈陽)如圖,用一根60厘米的鐵絲制作一個(gè)“日”字型框架ABCD,鐵絲恰好全部用完.
(1)若所圍成的矩形框架ABCD的面積為144平方厘米,則AB的長(zhǎng)為多少厘米?
(2)矩形框架ABCD面積的最大值為150平方厘米.
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思路引領(lǐng):(1)設(shè)框架的長(zhǎng)AD為xcm,則寬AB為cm,根據(jù)面積公式列出一元二次方程,解之即
60?2?
可;3
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,列出二次函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論.
解:(1)設(shè)框架的長(zhǎng)AD為xcm,則寬AB為cm,
60?2?
∴x?144,3
60?2?
=
解得x=312或x=18,
∴AB=12cm或AB=8cm,
∴AB的長(zhǎng)為12厘米或8厘米;
(2)由(1)知,框架的長(zhǎng)AD為xcm,則寬AB為cm,
60?2?
∴S=x?,即Sx2+20x(x﹣15)2+150,3
60?2?22
=?=?
∵<0,333
2
∴要?3使框架的面積最大,則x=15,此時(shí)AB=10,最大為150平方厘米.
故答案為:150.
總結(jié)提升:此題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用及求函數(shù)最值的方法,屬較簡(jiǎn)單題目.解題的關(guān)
鍵是用一個(gè)未知數(shù)表示出長(zhǎng)和寬,利用面積公式來列出函數(shù)表達(dá)式后再求其最值.
12.(2022?威海)某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng),雞場(chǎng)的一邊靠墻,另外三邊用木柵欄圍成.已知墻長(zhǎng)25m,
木柵欄長(zhǎng)47m,在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口(另選材料建出入門).求雞場(chǎng)面積的最大值.
思路引領(lǐng):設(shè)與墻垂直的一邊長(zhǎng)為xm,然后根據(jù)矩形面積列函數(shù)關(guān)系式,從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其
最值.
解:設(shè)矩形雞場(chǎng)與墻垂直的一邊長(zhǎng)為xm,則與墻平行的一邊長(zhǎng)為(47﹣2x+1)m,由題意可得:
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y=x(47﹣2x+1),
即y=﹣2(x﹣12)2+288,
∵﹣2<0,
∴當(dāng)x=12時(shí),y有最大值為288,
當(dāng)x=12時(shí),47﹣x﹣(x﹣1)=24<25(符合題意),
∴雞場(chǎng)的最大面積為288m2.
總結(jié)提升:本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用,理解題意,掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
13.(2022?無錫)某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng),為充分利用現(xiàn)有資源,該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻(墻的
長(zhǎng)度為10m),另外三面用柵欄圍成,中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形,已知柵欄的總長(zhǎng)
度為24m,設(shè)較小矩形的寬為xm(如圖).
(1)若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2,求此時(shí)x的值;
(2)當(dāng)x為多少時(shí),矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大?最大值為多少?
思路引領(lǐng):(1)根據(jù)題意知:較大矩形的寬為2xm,長(zhǎng)為(8﹣x)m,可得(x+2x)×(8
24???2?
=
﹣x)=36,解方程取符合題意的解,即可得x的值為2;3
(2)設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積是ym2,根據(jù)墻的長(zhǎng)度為10,可得0<x,而y=(x+2x)×(8﹣x)=
10
≤3
﹣3x2+24x=﹣3(x﹣4)2+48,由二次函數(shù)性質(zhì)即得當(dāng)x時(shí),矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大,最大值為m2.
10140
=
解:(1)根據(jù)題意知:較大矩形的寬為2xm,長(zhǎng)為3(8﹣x)m,3
24???2?
=
∴(x+2x)×(8﹣x)=36,3
解得x=2或x=6,
經(jīng)檢驗(yàn),x=6時(shí),3x=18>10不符合題意,舍去,
∴x=2,
答:此時(shí)x的值為2;
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(2)設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積是ym2,
∵墻的長(zhǎng)度為10m,
∴0<x,
10
根據(jù)題≤意得3:y=(x+2x)×(8﹣x)=﹣3x2+24x=﹣3(x﹣4)2+48,
∵﹣3<0,
∴當(dāng)x時(shí),y取最大值,最大值為﹣3×(4)2+48(m2),
1010140
=?=
答:當(dāng)x3時(shí),矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大,最3大值為m2.3
10140
=
總結(jié)提升:本3題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用,解3題的關(guān)鍵是讀懂題意,列出方程及函數(shù)關(guān)系式.
14.(2022?湘潭)為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》,某校準(zhǔn)備在校園里利用圍
墻(墻長(zhǎng)12m)和21m長(zhǎng)的籬笆墻,圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地.某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方
案(除圍墻外,實(shí)線部分為籬笆墻,且不浪費(fèi)籬笆墻),請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題:
(1)方案一:如圖①,全部利用圍墻的長(zhǎng)度,但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度AE=1m的水池,且需保證總
種植面積為32m2,試分別確定CG、DG的長(zhǎng);
(2)方案二:如圖②,使圍成的兩塊矩形總種植面積最大,請(qǐng)問BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)?此時(shí)最大面積為多
少?
思路引領(lǐng):(1)設(shè)水池的長(zhǎng)為am,根據(jù)Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形面積減水池面積等于種植面積列方程求解即可得
出結(jié)論;
(2)設(shè)BC長(zhǎng)為xm,則CD長(zhǎng)度為21﹣3x,得出面積關(guān)于x的關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即
可.
解:(1)∵(21﹣12)÷3=3(m),
∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3=36(m2),
設(shè)水池的長(zhǎng)為am,則水池的面積為a×1=a(m2),
∴36﹣a=32,
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解得a=4,
∴DG=4m,
∴CG=CD﹣DG=12﹣4=8(m),
即CG的長(zhǎng)為8m、DG的長(zhǎng)為4m;
(2)設(shè)BC長(zhǎng)為xm,則CD長(zhǎng)度為21﹣3x,
∴總種植面積為(21﹣3x)?x=﹣3(x2﹣7x)=﹣3(x)2,
7147
∵﹣3<0,?2+4
∴當(dāng)x時(shí),總種植面積有最大值為m2,
7147
=
即BC應(yīng)2設(shè)計(jì)為m總種植面積最大,此4時(shí)最大面積為m2.
7147
總結(jié)提升:本題2主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用,熟練根據(jù)二4次函數(shù)的性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵.
類型三物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的問題
15.(2022?寧夏)2022北京冬奧會(huì)自由式滑雪空中技巧比賽中,某運(yùn)動(dòng)員比賽過程的空中剪影近似看作一
條拋物線,跳臺(tái)高度OA為4米,以起跳點(diǎn)正下方跳臺(tái)底端O為原點(diǎn),水平方向?yàn)闄M軸,豎直方向?yàn)榭v
軸,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.已知拋物線最高點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,12),著陸坡頂端C與落地點(diǎn)D
的距離為2.5米,若斜坡CD的坡度i=3:4(即).
??3
=
??4
求:(1)點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)起跳點(diǎn)A與著陸坡頂端C之間的水平距離OC的長(zhǎng).(精確到0.1米)
(參考數(shù)據(jù):1.73)
思路引領(lǐng):(1)3由≈拋物線的圖象可直接得出結(jié)論;
(2)由拋物線的頂點(diǎn)可設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可得出結(jié)論;
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(3)根據(jù)勾股定理可得出CE和DE的長(zhǎng),進(jìn)而得出點(diǎn)D的坐標(biāo),由OC的長(zhǎng)為點(diǎn)D的橫坐標(biāo)減去DE
的長(zhǎng)可得出結(jié)論.
解:(1)∵OA=4,且點(diǎn)A在y軸正半軸,
∴A(0,4).
(2)∵拋物線最高點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,12),
∴設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣4)2+12,
∵A(0,4),
∴a(0﹣4)2+12=4,解得a.
1
=?
∴拋物線的解析式為:y(x﹣24)2+12.
1
=?2
(3)在Rt△CDE中,,CD=2.5,
??3
=
∴CE=1.5,DE=2.??4
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為﹣1.5,
令(x﹣4)2+12=﹣1.5,
1
解得?2,x=4+39.19或x=4﹣31.19(不合題意,舍去),
∴D(9.19,﹣13.5≈).3≈?
∴OC=9.19﹣2=7.19≈7.2(m).
∴OC的長(zhǎng)約為7.2米.
總結(jié)提升:本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等相
關(guān)內(nèi)容,得出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.
16.(2022?衢州)如圖1為北京冬奧會(huì)“雪飛天”滑雪大跳臺(tái)賽道的橫截面示意圖.取水平線OE為x軸,
鉛垂線OD為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.運(yùn)動(dòng)員以速度v(m/s)從D點(diǎn)滑出,運(yùn)動(dòng)軌跡近似拋物線y
=﹣ax2+2x+20(a≠0).某運(yùn)動(dòng)員7次試跳的軌跡如圖2.在著陸坡CE上設(shè)置點(diǎn)K(與DO相距32m)
作為標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn),著陸點(diǎn)在K點(diǎn)或超過K點(diǎn)視為成績(jī)達(dá)標(biāo).
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(1)求線段CE的函數(shù)表達(dá)式(寫出x的取值范圍).
(2)當(dāng)a時(shí),著陸點(diǎn)為P,求P的橫坐標(biāo)并判斷成績(jī)是否達(dá)標(biāo).
1
(3)在試=跳9中發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡與滑出速度v的大小有關(guān),進(jìn)一步探究,測(cè)算得7組a與v2的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù),
在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)如圖3.
①猜想a關(guān)于v2的函數(shù)類型,求函數(shù)表達(dá)式,并任選一對(duì)對(duì)應(yīng)值驗(yàn)證.
②當(dāng)v為多少m/s時(shí),運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)恰能達(dá)標(biāo)(精確到1m/s)?(參考數(shù)據(jù):1.73,2.24)
思路引領(lǐng):(1)由圖2可知:C(8,16),E(40,0),利用待定系數(shù)法可得出結(jié)3論≈;5≈
(2)當(dāng)時(shí),,聯(lián)立,可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo),比較
112121
即可得出?結(jié)=論9;?=?9?+2?+20?9?+2?+20=?2?+20
(3)①猜想a與v2成反比例函數(shù)關(guān)系.將(100,0.250)代入表達(dá)式,求出m的值即可.將(150,0.167)
代入進(jìn)行驗(yàn)證即可得出結(jié)論;
25
?=2
②由K在?線段上,得K(32,4),代入得y=﹣ax2+2x+20,得.由得v2=
1525
?=??+20?=?=2
320,比較即可.264?
解:(1)由圖2可知:C(8,16),E(40,0),
設(shè)CE:y=kx+b(k≠0),
,
將C(8,16),E(40,0)代入得:,解得,
1
16=8?+??=?2
∴線段CE的函數(shù)表達(dá)式為0=(408≤?+x≤?40).?=20.
1
?=??+20
(2)當(dāng)時(shí),2,
112
?=?=??+2?+20
由題意得99,
121
??+2?+20=??+20
解得x1=0(9舍去),x2=22.5.2
∴P的橫坐標(biāo)為22.5.
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∵22.5<32,
∴成績(jī)未達(dá)標(biāo).
(3)①猜想a與v2成反比例函數(shù)關(guān)系.
∴設(shè),
?
?=2(?≠0)
將(100,?0.250)代入得,解得m=25,
?
0.25=
∴.100
25
?=2
將(15?0,0.167)代入驗(yàn)證:,
2525
?=2≈0.167
∴能相當(dāng)精確地反映?a與v2的1關(guān)50系,即為所求的函數(shù)表達(dá)式.
25
?=2
②由K?在線段上,得K(32,4),代入得y=﹣ax2+2x+20,得.
15
?=??+20?=
由得v2=320,264
25
?=2
又∵v>?0,
∴.
∴?當(dāng)=v≈8158m≈/s1時(shí)8,運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)恰能達(dá)標(biāo).
總結(jié)提升:本題屬于函數(shù)綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,反比例函數(shù)的應(yīng)用及二次函數(shù)綜合
應(yīng)用,熟知待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.
17.(2022?蘭州)擲實(shí)心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目.如圖1是一名女生投實(shí)心球,
實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線,行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示,擲出
時(shí)起點(diǎn)處高度為m,當(dāng)水平距離為3m時(shí),實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3m處.
5
(1)求y關(guān)于x3的函數(shù)表達(dá)式;
(2)根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(女生),投擲過程中,實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的
水平距離大于等于6.70m,此項(xiàng)考試得分為滿分10分.該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿分,請(qǐng)說明理由.
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圖1來源:《2022年蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試規(guī)則與測(cè)試要求》
思路引領(lǐng):(1)根據(jù)題意設(shè)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;
(2)根據(jù)該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績(jī)就是實(shí)心球落地時(shí)的水平距離,令y=0,解方程即可.
解:(1)根據(jù)題意設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x﹣3)2+3,
把(0,)代入解析式得:a(0﹣3)2+3,
55
=
解得:a3,3
4
=?
∴y關(guān)于x的2函7數(shù)表達(dá)式為y(x﹣3)2+3;
4
(2)該女生在此項(xiàng)考試中是=得?滿2分7,理由:
令y=0,則(x﹣3)2+3=0,
4
?
解得:x1=7.5,27x2=﹣1.5(舍去),
∵7.5>6.70,
∴該女生在此項(xiàng)考試中是得滿分.
總結(jié)提升:本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法,關(guān)鍵是理解題意把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程為
題.
18.(2022?北京)單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一,舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái).運(yùn)動(dòng)員起跳
后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,從起跳到著陸的過程中,
運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x﹣h)2+k(a<0).
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某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練.
(1)第一次訓(xùn)練時(shí),該運(yùn)動(dòng)員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:
水平距離02581114
x/m
豎直高度20.0021.4022.7523.2022.7521.40
y/m
根據(jù)上述數(shù)據(jù),直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值,并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a(x﹣h)2+k(a<0);
(2)第二次訓(xùn)練時(shí),該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=﹣0.04(x﹣9)2+23.24.記
該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d1,第二次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d2,則d1<d2(填
“>”“=”或“<”).
思路引領(lǐng):(1)先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點(diǎn)坐標(biāo),即可得出h、k的值,運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值;將
表格中除頂點(diǎn)坐標(biāo)之外的一組數(shù)據(jù)代入函數(shù)關(guān)系式即可求出a的值即可得出函數(shù)解析式;
(2)設(shè)著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t,分別代入第一次和第二次的函數(shù)關(guān)系式,求出著陸點(diǎn)的橫坐標(biāo),用t表示
出d1和d2,然后進(jìn)行比較即可.
解:(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(8,23.20),
∴h=8,k=23.20,
即該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為23.20m,
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知,當(dāng)x=0時(shí),y=20.00,代入y=a(x﹣8)2+23.20得:
20.00=a(0﹣8)2+23.20,
解
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