函數(shù)的極限-課件

函數(shù)的極限函數(shù)的極限是微積分中的一個重要概念。它描述了當自變量趨近于某個值時，函數(shù)的值趨近于什么值。一、函數(shù)的極限概念直觀理解當自變量無限接近于某個值時，函數(shù)值無限接近于一個常數(shù)，這個常數(shù)就是函數(shù)的極限。數(shù)學(xué)定義函數(shù)的極限是通過極限符號來定義的，表示當自變量無限接近于某個值時，函數(shù)值無限接近于一個常數(shù)。重要性函數(shù)的極限是微積分的基礎(chǔ)，是研究函數(shù)變化趨勢的關(guān)鍵概念。極限的定義函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義是描述當自變量無限接近某一個值時，函數(shù)值無限接近一個特定值的趨勢。圖形化理解函數(shù)圖像上點的橫坐標無限接近某一個值時，縱坐標無限接近一個特定值，即函數(shù)值無限接近該特定值。ε-δ定義ε-δ定義是極限的精確定義，通過設(shè)置ε和δ，可以控制函數(shù)值與特定值之間的距離。極限的性質(zhì)加法性質(zhì)極限的和等于和的極限。乘法性質(zhì)極限的積等于積的極限。除法性質(zhì)極限的商等于商的極限，但分母的極限不能為零。常數(shù)倍性質(zhì)常數(shù)乘以極限等于極限乘以常數(shù)。極限的計算規(guī)則1極限的加減法兩個函數(shù)的極限之和等于它們各自極限的和。2極限的乘除法兩個函數(shù)的極限之積等于它們各自極限的積，除法同理。3極限的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的極限可以通過先求內(nèi)部函數(shù)的極限，再求外部函數(shù)的極限。函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)是數(shù)學(xué)分析中的重要概念。它描述了函數(shù)在趨近于某個點的行為方式，并為我們提供了對函數(shù)行為的深入理解。單側(cè)極限11.左極限當自變量x從左側(cè)逼近點a時，函數(shù)值f(x)趨近于一個確定的值A(chǔ)，則稱A為函數(shù)f(x)在點a的左極限，記作lim(x→a-)f(x)=A。22.右極限當自變量x從右側(cè)逼近點a時，函數(shù)值f(x)趨近于一個確定的值B，則稱B為函數(shù)f(x)在點a的右極限，記作lim(x→a+)f(x)=B。33.極限存在條件當且僅當函數(shù)f(x)在點a的左極限和右極限都存在且相等時，函數(shù)f(x)在點a的極限才存在，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=lim(x→a)f(x)。無窮小量定義當自變量趨于某一個值時，函數(shù)的值無限接近于零，則稱該函數(shù)為該點的無窮小量。簡單來說，無窮小量就是當自變量趨于某個值時，函數(shù)值無限接近于零，最終趨于零的量。性質(zhì)無窮小量的和仍為無窮小量。無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量。無窮小量除以不為零的常數(shù)仍為無窮小量。等價無窮小11.定義當自變量趨于某個值時，兩個無窮小量之比的極限為1，則稱這兩個無窮小量為等價無窮小。22.意義等價無窮小可以簡化函數(shù)的極限計算，在某些情況下可以用等價無窮小替換原函數(shù)，從而簡化運算。33.應(yīng)用等價無窮小的應(yīng)用非常廣泛，例如求函數(shù)的極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分等。44.例子例如，當x趨于0時，sinx和x是等價無窮小，因為lim(x->0)sinx/x=1。三、函數(shù)連續(xù)性函數(shù)連續(xù)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，它描述了函數(shù)在某個點或某個區(qū)間上的平滑程度。連續(xù)函數(shù)的圖像沒有跳躍或斷裂，可以連續(xù)地畫出來。連續(xù)函數(shù)的定義定義在定義域內(nèi)，函數(shù)的圖像是一條連續(xù)的曲線，沒有間斷或跳躍。數(shù)學(xué)表達式對于定義域內(nèi)的任意點x0，當x趨近于x0時，函數(shù)值f(x)也趨近于f(x0)，即極限lim(x->x0)f(x)=f(x0)存在。重要性連續(xù)函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中扮演著重要的角色，許多重要的定理和結(jié)論都建立在連續(xù)函數(shù)的基礎(chǔ)之上。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的圖像可以連續(xù)地繪制?？晌⑿赃B續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以求導(dǎo)。積分性連續(xù)函數(shù)可以在其定義域內(nèi)進行積分。有界性連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上是有界的。間斷點第一類間斷點函數(shù)在該點的左右極限存在且相等，但函數(shù)值不存在或與左右極限不等。跳躍間斷點函數(shù)在該點的左右極限存在但不相等。無窮間斷點函數(shù)在該點的左右極限至少有一個為無窮大。振蕩間斷點函數(shù)在該點的左右極限都不存在。四、函數(shù)極限的應(yīng)用函數(shù)極限在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。函數(shù)極限可以用來解決許多實際問題，例如求解曲線的切線斜率、計算面積和體積等。洛必達法則求極限的工具洛必達法則提供了一種求解極限的工具，尤其適用于當函數(shù)趨向于無窮大或無窮小的情況。應(yīng)用條件洛必達法則僅適用于當函數(shù)的分子和分母都趨向于0或無窮大時，并且滿足導(dǎo)數(shù)存在的條件。步驟洛必達法則要求對分子和分母分別求導(dǎo)，然后取極限，即求解導(dǎo)數(shù)的極限。重要極限計算函數(shù)極限計算對于理解和應(yīng)用微積分至關(guān)重要。許多函數(shù)的極限可以通過簡單的代數(shù)操作或使用重要極限來求解。一些常見的極限，例如：這些極限可以幫助簡化計算并提供對函數(shù)行為的更深入理解。函數(shù)的性質(zhì)和圖像函數(shù)的性質(zhì)和圖像之間存在著密切的聯(lián)系。通過圖像可以直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，例如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等。例如，函數(shù)的圖像可以幫助我們判斷函數(shù)的單調(diào)性。如果函數(shù)的圖像在某一區(qū)間上是上升的，則該函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞增的。如果函數(shù)的圖像在某一區(qū)間上是下降的，則該函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞減的。除了單調(diào)性，函數(shù)的圖像還可以幫助我們判斷函數(shù)的奇偶性和周期性。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，周期函數(shù)的圖像具有周期性。五、無窮小和無窮大的比較無窮小和無窮大是微積分中重要的概念，它們描述了函數(shù)在自變量趨于某個值時函數(shù)值的變化趨勢。無窮小是指當自變量趨于某個值時，函數(shù)值也趨于零的函數(shù)。無窮大是指當自變量趨于某個值時，函數(shù)值無限增大的函數(shù)。等階無窮小無窮小比較比較兩個無窮小量在趨近于零時的增長速度。階數(shù)用兩個無窮小量的比值在趨近于零時的極限來描述增長速度。等階如果兩個無窮小量的比值的極限為非零常數(shù)，則稱它們是等階無窮小。比較無窮小定義比較無窮小是指當自變量趨于極限點時，兩個無窮小量的比值趨于一個非零的常數(shù)。此常數(shù)稱為這兩個無窮小的等價關(guān)系。方法常用方法包括：利用等價無窮小替換、利用洛必達法則、利用函數(shù)的單調(diào)性等。等價無窮小定義當自變量趨近于某一值時，兩個無窮小量之比的極限為1，則稱這兩個無窮小量為等價無窮小。重要性等價無窮小可以簡化極限計算，將復(fù)雜的無窮小量替換為更簡單的等價無窮小量，從而簡化計算過程。例子x趨近于0時，sinx與x等價x趨近于0時，tanx與x等價六、函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)，隨著自變量的增大，函數(shù)值的變化趨勢，而極值則是函數(shù)在某個點取得的最大值或最小值。單調(diào)函數(shù)11.定義在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的圖像始終保持上升或下降趨勢，稱為單調(diào)函數(shù)。22.判定可以通過函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)數(shù)大于零時單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于零時單調(diào)遞減。33.意義單調(diào)性是描述函數(shù)變化趨勢的重要性質(zhì)，有助于分析函數(shù)圖像的形狀和性質(zhì)。極值點的定義峰值函數(shù)在某點取得最大值，稱為峰值點。谷值函數(shù)在某點取得最小值，稱為谷值點。鞍點函數(shù)在某點附近既有上升趨勢也有下降趨勢，稱為鞍點。極值點的求法函數(shù)的極值點是函數(shù)取得極值時的自變量的值。求極值點的方法主要有兩種：導(dǎo)數(shù)法和函數(shù)圖像法。1導(dǎo)數(shù)法利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息。2函數(shù)圖像法利用函數(shù)圖像的形狀。3極值點判斷驗證導(dǎo)數(shù)符號的變化。七、函數(shù)的凹凸性與拐點函數(shù)的凹凸性描述了函數(shù)圖形的彎曲程度。拐點是函數(shù)圖像由凹變凸或由凸變凹的點。凹凸性的定義11.凹函數(shù)函數(shù)圖像在定義域內(nèi)，任意兩點連線都在函數(shù)圖像下方。22.凸函數(shù)函數(shù)圖像在定義域內(nèi)，任意兩點連線都在函數(shù)圖像上方。33.凹凸性的判別若函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)恒大于零，則函數(shù)為凸函數(shù)。44.凹凸性的判別若函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)恒小于零，則函數(shù)為凹函數(shù)。拐點的定義凹凸性變化函數(shù)圖像從凹到凸或從凸到凹的轉(zhuǎn)變點稱為拐點。拐點處函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零或不存在。切線斜率變化拐點處函數(shù)切線的斜率達到極值，即二階導(dǎo)數(shù)等于零或不存在。拐點處的切線可能與函數(shù)圖像相交，也可能與函數(shù)圖像相切。拐點的求法1求二階導(dǎo)數(shù)計算函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)2令二階導(dǎo)數(shù)