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奔福德定律（Benford’sLaw）及其在欺詐審計(jì)中的應(yīng)用Benford'sLawAndItsApplicationinFraudAuditing中國政法大學(xué)民商經(jīng)濟(jì)法學(xué)院張?zhí)K彤

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2024/12/301中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)老會(huì)計(jì)師的感覺：207.48125.9281.5654.735.063.355.47104.6635.9968.6748.110.667.143.5251.2116.2830.771.140.510.342.5480.6338.6440.294.460.940.634.03338.91149.32189.59104.5723.1715.532.42105.7560.3244.4421.281.761.462.2245.6819.7425.941.80.850.583.2474.4429.6543.321.040.860.853.9484.742.3282.425.993.753.274.28127.2375.4251.8141.592.912.624.14867.56444.46379.7293.1712.37.893.1566.6321.8142.813.921.781.382.582984.22884.9999.2130.015.193.122.364677.514542.36135.1550.069.36.062.61

以“1”或“2”開頭的的所謂“小數(shù)字”數(shù)字似乎要比以“8”或“9”開頭的“大數(shù)字”多。2024/12/302中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)奇妙數(shù)學(xué)規(guī)律：Benford’sLaw

揭示了整數(shù)1~9在數(shù)字首位出現(xiàn)的概率分布規(guī)律。

2024/12/303中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)歷史的回顧

美國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家塞蒙.紐卡姆（SimonNewcomb）在1880年首次發(fā)現(xiàn)Benford’sLaw。2024/12/304中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)1938年美國通用電器（GE）的物理學(xué)家弗瑞克.奔福德（FrankBenford）注意到了同樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。2024/12/305中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)“第一位數(shù)分布規(guī)律”：Benford’sLaw整數(shù)1在數(shù)字中第一位出現(xiàn)的概率大約為30%；整數(shù)2在數(shù)字中第一位出現(xiàn)的概率大約為17%；整數(shù)3在數(shù)字中第一位出現(xiàn)的概率約為12%；……；8和9在數(shù)字中第一位出現(xiàn)的概率約為5%和4%。2024/12/306中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)奔福德定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式

P[digit(n)]=log10(n+1)－log10(n)

=log10(1+1/n)

式中：N為整數(shù)1,2,3,4,5,6,7,8,9……；P[digit(n)]

為整數(shù)n在數(shù)字首位出現(xiàn)的概率。2024/12/307中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)

表1：整數(shù)1~9在數(shù)字首位上出現(xiàn)的概率

123456789P[digit(n)]

0.3010.1760.1250.0970.0790.0670.0580.0510.0492024/12/308中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)數(shù)據(jù)的限制性條件：數(shù)集不能設(shè)置最大值與最小值的限制；比如百分比，全世界政治家的年齡，人的身高，以秒為單位的400米跑的時(shí)間，郵件的郵資；數(shù)集在一個(gè)很寬的范圍里連續(xù)變動(dòng)，不存在間斷點(diǎn)或間斷區(qū)間；數(shù)字沒有被特別賦值，如身份證號(hào)，股票代碼社會(huì)保險(xiǎn)號(hào)；數(shù)值既不完全隨機(jī)，也不過度地集中，為不規(guī)則的數(shù)集；數(shù)集不能是等差與等比數(shù)列，因?yàn)樗鼈兲?guī)則了；數(shù)值的形成受多種因素的影響，是多種因素綜合作用的結(jié)果。2024/12/309中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)國外學(xué)者就不同數(shù)據(jù)類型所做過的驗(yàn)證性測(cè)試的結(jié)果：

2024/12/3010中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)

對(duì)我國上市公司主要財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)符合奔福德定律的驗(yàn)證性測(cè)試截止2005年6月14日我國1349家上市公司公布的主要財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)作為樣本。數(shù)據(jù)摘自西南證券網(wǎng)上交易系統(tǒng)2004年4月15日財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)。2024/12/3011中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)123456789Benford’sLaw30.1017.6112.499.697.926.695.805.124.58資產(chǎn)總額32.4816.7211.828.548.106.425.915.114.89CorrelationCo-Efficient0.995706502024/12/3012中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)123456789Benfird’sLaw30.1017.6112.499.697.926.695.805.124.58負(fù)債總額30.3618.2212.149.388.535.765.235.844.53CorrelationCo-Efficient0.9977410882024/12/3013中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)123456789Benfird’sLaw30.1017.6112.499.697.926.695.805.124.58股東權(quán)益總額25.7314.2213.9212.119.108.885.796.024.21CorrelationCo-Efficient0..9736537522024/12/3014中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)123456789Benfird’sLaw30.1017.6112.499.697.926.695.805.124.58主營(yíng)業(yè)務(wù)收入31.6519.5213.147.787.395.835.295.294.12CorrelationCo-Efficient0.9955297312024/12/3015中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)123456789Benfird’sLaw30.1017.6112.499.697.926.695.805.124.58凈利潤(rùn)25.7318.3914.6010.658.236.216.215.164.84CorrelationCo-Efficient0.9827210172024/12/3016中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)123456789Benfird’sLaw30.1017.6112.499.697.926.695.805.124.58模擬造假數(shù)據(jù)14.7510.310.4513.349.7215.1112.408.415.83CorrelationCo-Efficient0.4400674872024/12/3017中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)初步的結(jié)論：

我國上市公公布的主要財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)基本上都呈現(xiàn)出了奔福德定律所描述的數(shù)據(jù)首位數(shù)出現(xiàn)概率遞減的規(guī)律?！澳M造假數(shù)據(jù)”則呈現(xiàn)各個(gè)首位數(shù)試圖均衡出現(xiàn)的趨勢(shì)，與奔福德定律所描述的數(shù)據(jù)首位數(shù)出現(xiàn)規(guī)律形成了顯著差異。2024/12/3018中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)相關(guān)系數(shù)（CorrelationCo-Efficient）：

反映各個(gè)財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)首位數(shù)出現(xiàn)概率與奔福德定律的相關(guān)程度

CorrelationCo-Efficient負(fù)債總額0.997741088主營(yíng)業(yè)務(wù)收入0.995529731資產(chǎn)總額0.99540650凈利潤(rùn)0.98272101股東權(quán)益總額0.973653752模擬造假數(shù)據(jù)0.4400674872024/12/3019中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)

我們可以將上述財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)中的“主營(yíng)業(yè)務(wù)收入”的數(shù)值分布按照不同的行業(yè)進(jìn)行測(cè)試，以進(jìn)一步考察我國上市公司財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)披露的質(zhì)量水平。

表5：按照不同的行業(yè)對(duì)“主營(yíng)業(yè)務(wù)收入”的數(shù)值分布的測(cè)試結(jié)果2024/12/3020中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)2024/12/3021中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)

在分行業(yè)測(cè)試的情況下，各行業(yè)的“主營(yíng)業(yè)務(wù)收入”的首位數(shù)分布的數(shù)值表現(xiàn)與Benford’Slaw的理論值存在一定的差距，相關(guān)系數(shù)的平均值為0.91。其中電力熱力行業(yè)的“主營(yíng)業(yè)務(wù)收入”的數(shù)值表現(xiàn)最差，其相關(guān)系數(shù)僅為0.82942。其次是電子行業(yè)，其相關(guān)系數(shù)為0.86024。數(shù)值表現(xiàn)相對(duì)最好的行業(yè)是地產(chǎn)建筑業(yè)，其相關(guān)系數(shù)為0.97531。顯然，對(duì)于電力熱力行業(yè)、電子業(yè)和金屬加工業(yè)的上市公司的財(cái)務(wù)信息披露質(zhì)量需要給予關(guān)注。CorrelationCo-Efficient0.82942CorrelationCo-Efficient0.860242024/12/3022中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)

筆者將上述財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)中的“主營(yíng)業(yè)務(wù)收入”的數(shù)值分布按照證券市場(chǎng)中的不同板塊進(jìn)行測(cè)試，以進(jìn)一步分析不同板塊的上市公司財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)披露的質(zhì)量水平。

2024/12/3023中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)相關(guān)系數(shù)0.67128相關(guān)系數(shù)0.86895對(duì)于ST板塊和中小企業(yè)板塊的上市公司的財(cái)務(wù)信息披露質(zhì)量需要特別予以關(guān)注。2024/12/3024中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)奔福德定律在欺詐審計(jì)中的應(yīng)用

奔福德定律揭示了財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)首位數(shù)概率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。利用這樣的規(guī)律，我們可以通過檢查各類財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)的首位數(shù)出現(xiàn)的頻率是否符合奔福德定律來判定這些數(shù)字是真實(shí)的還是偽造的。因?yàn)槠墼p者一般是不了解奔福德定律的，他們?cè)诰幵焯摷俚臅?huì)計(jì)數(shù)字時(shí)，不會(huì)也不可能顧及到金額數(shù)字首位的分布情況的。運(yùn)用奔福德定律我們可以用來統(tǒng)計(jì)財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)的第一位數(shù)出現(xiàn)的概率分布是否與符合奔福德定律來發(fā)現(xiàn)可能存在的欺詐舞弊活動(dòng)。2024/12/3025中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)奔福德定律應(yīng)用案例

欺詐審計(jì)人員就對(duì)某X公司近5年公司收到的820651張購貨發(fā)票以及公司的4家主要供應(yīng)商出具的發(fā)票金額首位數(shù)字出現(xiàn)的概率做了統(tǒng)計(jì)，并將統(tǒng)計(jì)的結(jié)果與奔福德定律進(jìn)行對(duì)比。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下圖表：表5：全部購貨發(fā)票以及按照主要供應(yīng)商出具的發(fā)票金額首位數(shù)字出現(xiàn)的概率分布

發(fā)票金額首位數(shù)字123456789相關(guān)系數(shù)Benford'sLaw0.3010.1760.1250.0970.0790.0670.0580.0510.0461.000全部發(fā)票(820651)0.2980.170.1220.1050.0840.0710.0630.0590.0520.999供應(yīng)商A（35480）0.2950.1680.1380.0990.0730.0710.0620.0490.0430.996供應(yīng)商B（560）0.3080.1730.1230.1020.0810.0610.0540.0580.0420.998供應(yīng)商C（11023）0.2110.0250.0540.0780.0280.0480.0630.1980.2840.073供應(yīng)商D（19605）0.1870.1040.1060.1250.1480.1360.1210.0580.0490.6422024/12/3026中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)2024/12/3027中國會(huì)計(jì)學(xué)會(huì)教育分會(huì)2005年年會(huì)運(yùn)用奔福德定律進(jìn)行欺詐舞弊審計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：第一，它的使用成本低，幾乎沒有什么花費(fèi)，只需要耐心，花點(diǎn)時(shí)間對(duì)有關(guān)的樣本數(shù)據(jù)做些數(shù)據(jù)分析就可以了。目前在美國已經(jīng)有人開發(fā)有專門的分析軟件，利用該軟件可以非常快捷有效地進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。第二，這種方法簡(jiǎn)便易行。在會(huì)計(jì)電算化的環(huán)境下，它只需要利用本公司自己的數(shù)據(jù)庫資料就可以了，而且操作很簡(jiǎn)單易學(xué)，幾乎任何人都可以做相關(guān)的統(tǒng)計(jì)工作，不需要高深的理論與技術(shù)。第三，保密性好。運(yùn)用這種方法有很好的隱蔽性，可以在相關(guān)的人員不知情的情況下完成統(tǒng)計(jì)調(diào)查工作，防止欺詐者由于