2024年四川省綿陽市涪城區(qū)中考數(shù)學(xué)三診試卷

第1頁（共1頁）2024年四川省綿陽市涪城區(qū)中考數(shù)學(xué)三診試卷一、單選題1．實數(shù)﹣3的絕對值是（）A．﹣3 B． C．3 D．﹣2．今年端午節(jié)假期第一天，國內(nèi)游客人數(shù)達(dá)3050萬人次，將數(shù)據(jù)“3050萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．3.05×106 B．30.5×106 C．3.05×107 D．3.05×1083．古典園林中的窗戶是中國傳統(tǒng)建筑裝飾的重要組成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗戶圖案中（）A． B． C． D．4．下列幾何體中，其主視圖為三角形的是（）A． B． C． D．5．小軍為了了解本校運動員百米短跑所用步數(shù)的情況，對校運會中百米短跑決賽的8名男運動員的步數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，記錄的數(shù)據(jù)如下：66、68、67、68、67、69、68、71（）A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、676．估算的運算結(jié)果應(yīng)是（）A．6＜x＜7 B．7＜x＜8 C．8＜x＜9 D．無法確定7．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，1）和點（3，0）．關(guān)于這個二次函數(shù)的描述：①a＜0，c＜0；②當(dāng)x＝2時；③當(dāng)x＞3時，y的值小于0．正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．小明利用測角儀和旗桿的拉繩測量學(xué)校旗桿的高度．如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等．小明將PB拉到PB′的位置，測得∠PB′C＝α（B′C為水平線），則旗桿PA的高度為（）A． B． C． D．9．已知關(guān)于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的兩個實數(shù)根x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，則m的值為（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或310．如圖，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，將△ABC折疊，使點A與點D重合，則sin∠BED的值是（）A． B． C． D．11．如圖，⊙O是以原點為圓心，2為半徑的圓，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點（）A．2 B．4 C．8﹣2 D．212．如圖△ABC中，，DE⊥AC，若CE＝5，且△BEC的面積是△ADE面積的10倍，則BE的長度是（）A． B． C． D．二、填空題13．因式分解：a﹣9a3＝．14．如圖，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，則∠BCD的度數(shù)為°．15．如果方程組的解也是方程3x+my﹣8＝0的一個解，則m的值為．16．在直角三角形ABC中，已知AB＝6，AC＝8，如果把該三角形繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，則該圓錐側(cè)面展開得到的扇形的圓心角大小是．17．如圖，點A的坐標(biāo)為（3，），點B的坐標(biāo)為（6，0），點A的對應(yīng)點A′在x軸上，則點O′的坐標(biāo)為．18．如圖，菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，點A、D分別落在A′、D′處，且A′D′經(jīng)過B，當(dāng)D′F⊥CD時，若DF＝6．三、解答題19．（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中x＝﹣1．20．“切實減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)”是我市作業(yè)改革的一項重要舉措．某中學(xué)為了解本校學(xué)生平均每天的課外作業(yè)時間，隨機抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果分為A、B、C、D四個等級；B：1小時﹣﹣1.5小時；C：1.5小時﹣﹣2小時，請根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）該校共調(diào)查了學(xué)生；（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）表示等級A的扇形圓心角α的度數(shù)是；（4）在此次調(diào)查問卷中，甲、乙兩班各有2人平均每天課外作業(yè)量都是2小時以上，從這4人中人選2人去參加座談21．如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點C，AE，AE的延長線交⊙O于點D，連接BD．（1）求證：BD＝ED；（2）若AB＝10，，求BC的長．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2＝（k≠0）的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，點O是線段CH的中點，AC＝4．（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上是否存在點P，使三角形PAC是等腰三角形？若存在，請求出P點坐標(biāo)，請說明理由．23．某茶葉銷售商計劃將120罐茶葉按甲、乙兩種禮品盒包裝出售，其中甲種禮品盒每盒裝4罐，每盒售價240元，每盒售價300元，恰好全部裝完．已知每罐茶葉的成本價為30元，乙種禮品盒的數(shù)量為y盒．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若120罐茶葉全部售出后的總利潤不低于3000元，則甲種禮品盒的數(shù)量至少要多少盒？24．已知拋物線y＝ax2﹣4x+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0），B兩點（1）求拋物線解析式；（2）若點P為拋物線上點，當(dāng)PB＝PC時，求點P坐標(biāo)；（3）若點M為線段BC上點（不含端點），且△MAB與△ABC相似，求點M坐標(biāo)．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣8，0），B（﹣5，4），BC∥x軸，點D與點A關(guān)于y軸對稱，連接CD．（1）若令∠CDA＝α，證明：∠BAD＝2α；（2）如圖1，點M為線段BC上的點，N為射線CD上點，BM＝2，請求出點N坐標(biāo)；（3）如圖2，點E在線段AB上，其橫坐標(biāo)為﹣6，與CD交于點F，在EF延長線上有動點P，且∠APQ＝∠ABC，若，求的值（用含t的代數(shù)式表示）．

2024年四川省綿陽市涪城區(qū)中考數(shù)學(xué)三診試卷參考答案與試題解析題號1234567891011答案CCCDCCBAABA題號12答案C一、單選題1．實數(shù)﹣3的絕對值是（）A．﹣3 B． C．3 D．﹣【解答】解：實數(shù)﹣3的絕對值是：3．故選：C．2．今年端午節(jié)假期第一天，國內(nèi)游客人數(shù)達(dá)3050萬人次，將數(shù)據(jù)“3050萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．3.05×106 B．30.5×106 C．3.05×107 D．3.05×108【解答】解：3050萬＝30500000＝3.05×107，故選：C．3．古典園林中的窗戶是中國傳統(tǒng)建筑裝飾的重要組成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗戶圖案中（）A． B． C． D．【解答】解：選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，選項A、B，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，故選：C．4．下列幾何體中，其主視圖為三角形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、圓柱的主視圖為矩形，∴A不符合題意；B、正方體的主視圖為正方形，∴B不符合題意；C、球體的主視圖為圓形，∴C不符合題意；D、圓錐的主視圖為三角形，∴D符合題意．故選：D．5．小軍為了了解本校運動員百米短跑所用步數(shù)的情況，對校運會中百米短跑決賽的8名男運動員的步數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，記錄的數(shù)據(jù)如下：66、68、67、68、67、69、68、71（）A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、67【解答】解：因為68出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多．將這組數(shù)據(jù)從小到大排列得到：66，67，68，68，71，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為68．故選：C．6．估算的運算結(jié)果應(yīng)是（）A．6＜x＜7 B．7＜x＜8 C．8＜x＜9 D．無法確定【解答】解：＝＝＝，∵64＜75＜81，∴，故選：C．7．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，1）和點（3，0）．關(guān)于這個二次函數(shù)的描述：①a＜0，c＜0；②當(dāng)x＝2時；③當(dāng)x＞3時，y的值小于0．正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：①如圖所示，拋物線開口方向向下．對稱軸在y軸的右側(cè)，則a，即b＞0．拋物線與y軸交于負(fù)半軸，則b＜0．綜上所述，a＜3，c＜0．故①正確；②∵拋物線與x軸另一交點橫坐標(biāo)0＜x＜4，∴拋物線的頂點橫坐標(biāo)＜x＜2．∵拋物線開口向下，且過點（1，∴點（1，2）關(guān)于對稱軸對稱的點的橫坐標(biāo)大于2，∴當(dāng)x＝2時，y的值大于2；③觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x＞3時，故③正確；故選：B．8．小明利用測角儀和旗桿的拉繩測量學(xué)校旗桿的高度．如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等．小明將PB拉到PB′的位置，測得∠PB′C＝α（B′C為水平線），則旗桿PA的高度為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)PA＝PB＝PB′＝x，在RT△PCB′中，sinα＝，∴＝sinα，∴x﹣1＝xsinα，∴（2﹣sinα）x＝1，∴x＝．故選：A．9．已知關(guān)于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的兩個實數(shù)根x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，則m的值為（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3【解答】解：∵x1，x2是方程x6﹣（2m﹣1）x+m7＝0的兩實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣6ac＝[﹣（2m﹣1）]4﹣4m2＝2﹣4m≥0，∴，∴，∵（x5+1）（x2+6）＝x1x2+（x4+x2）+1＝4，∴m2+2m﹣8+1＝3，解得：m＝6（舍）或m＝﹣3；故選：A．10．如圖，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，將△ABC折疊，使點A與點D重合，則sin∠BED的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠EDF＝45°，由三角形外角性質(zhì)得∠CDF+45°＝∠BED+45°，∴∠BED＝∠CDF，設(shè)CD＝1，CF＝x，∴DF＝FA＝2﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF7+CD2＝DF2，即x3+1＝（2﹣x）7，解得：x＝，∴sin∠BED＝sin∠CDF＝＝．故選：B．11．如圖，⊙O是以原點為圓心，2為半徑的圓，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點（）A．2 B．4 C．8﹣2 D．2【解答】解：∵P在直線y＝﹣x+8上，∴設(shè)P坐標(biāo)為（m，8﹣m），連接OQ，OP，得到PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，根據(jù)勾股定理得：OP5＝PQ2+OQ2，∴PQ8＝m2+（8﹣m）4﹣＝2m2﹣16m+52＝4（m﹣4）2+20，則當(dāng)m＝3時，切線長PQ的最小值為．故選：A．12．如圖△ABC中，，DE⊥AC，若CE＝5，且△BEC的面積是△ADE面積的10倍，則BE的長度是（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，作BF⊥AC于點F，則，設(shè)BF＝x，則FC＝2x，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠AFB＝90°，又∵∠DAE＝∠BAF，∴△AED∽△AFB，∴，∴，∴，∵△BEC的面積是△ADE面積的10倍，，即，整理得x2+6x﹣10＝0，∴（x+5）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣8（舍），x2＝2，經(jīng)檢驗，x＝3是原方程的解，∴BF＝2，EF＝5﹣2×2＝1，由勾股定理得，故選：C．二、填空題13．因式分解：a﹣9a3＝a（1+3a）（1﹣3a）．【解答】解：a﹣9a3＝a（8﹣9a2）＝a（5+3a）（1﹣2a），故答案為：a（1+3a）（2﹣3a）．14．如圖，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，則∠BCD的度數(shù)為40°．【解答】解：如圖，延長ED與BC相交于點F，∵AB∥DE，∴∠BFD＝∠ABC＝75°，∴∠CFD＝180°﹣75°＝105°，∵∠CDE＝145°，∴∠CDF＝180°﹣145°＝35°，在△CDF中，∠BCD＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝180°﹣35°﹣105°＝40°．故答案為：40．15．如果方程組的解也是方程3x+my﹣8＝0的一個解，則m的值為2．【解答】解：，把②代入①得：5x+3（2x﹣2）＝7，解得：x＝2，把x＝7代入②得：y＝2×2﹣7＝1，∴原方程組的解為．∵方程組的解也是方程5x+my﹣8＝0的一個解，∴7×2+m﹣8＝4，解得：m＝2，∴m的值為2．故答案為：7．16．在直角三角形ABC中，已知AB＝6，AC＝8，如果把該三角形繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，則該圓錐側(cè)面展開得到的扇形的圓心角大小是216．【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，∴，由題意，得：圓錐的底面圓的半徑為6，設(shè)展開后扇形的圓心角的度數(shù)為n°，則：，解得：n＝216；故答案為：216．17．如圖，點A的坐標(biāo)為（3，），點B的坐標(biāo)為（6，0），點A的對應(yīng)點A′在x軸上，則點O′的坐標(biāo)為（，）．【解答】解：如圖，過點A作AC⊥OB于C，∵A（3，），∴OC＝7，AC＝，∵OB＝6，∴BC＝OC＝6，則tan∠ABC＝＝，由旋轉(zhuǎn)可知，BO′＝BO＝6，∴＝＝，設(shè)O′D＝x，BD＝6x，由O′D2+BD2＝O′B4可得（x）2+（5x）2＝65，解得：x＝或x＝﹣，則BD＝3x＝，O′D＝，∴OD＝OB+BD＝4+＝，∴點O'的坐標(biāo)為（，），故答案為：（，）．18．如圖，菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，點A、D分別落在A′、D′處，且A′D′經(jīng)過B，當(dāng)D′F⊥CD時，若DF＝6．【解答】解：如圖，延長A′D′，設(shè)BC與D′F交于點O，∵菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，∴BC＝CD，∠BCD＝∠A＝60°，∵∠A′D′F＝∠D＝120°，D′F＝DF＝6，∵D′F⊥CD，∴∠BOD′＝∠COF＝90°﹣60°＝30°，∴∠OBD′＝180°﹣∠A′D′F﹣∠BOD′＝30°，∴∠M＝∠BCD﹣∠OBD′＝30°，∴∠M＝∠OBD′，∴BC＝CM，∴CM＝BC＝CD，設(shè)CF＝x，則CM＝BC＝CD＝DF+CF＝6+x，∴MF＝CF+CM＝3+2x，在Rt△D′MF中，D′M＝2D′F＝12，∴，∴，解得，即，故答案為：．三、解答題19．（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中x＝﹣1．【解答】解：（1）原式＝＝＝8；（2）原式＝＝＝＝＝x+6，將x＝﹣1代入得：原式＝﹣7+6＝5．20．“切實減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)”是我市作業(yè)改革的一項重要舉措．某中學(xué)為了解本校學(xué)生平均每天的課外作業(yè)時間，隨機抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果分為A、B、C、D四個等級；B：1小時﹣﹣1.5小時；C：1.5小時﹣﹣2小時，請根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）該校共調(diào)查了200學(xué)生；（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）表示等級A的扇形圓心角α的度數(shù)是108°；（4）在此次調(diào)查問卷中，甲、乙兩班各有2人平均每天課外作業(yè)量都是2小時以上，從這4人中人選2人去參加座談【解答】解：（1）共調(diào)查的中學(xué)生數(shù)是：80÷40%＝200（人），故答案為：200；（2）C類的人數(shù)是：200﹣60﹣80﹣20＝40（人），補圖如下：（3）根據(jù)題意得：α＝×360°＝108°，故答案為：108°；（4）設(shè)甲班學(xué)生為A1，A2，乙班學(xué)生為B6，B2，一共有12種等可能結(jié)果，其中2人來自不同班級共有7種，∴P（2人來自不同班級）＝＝．21．如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點C，AE，AE的延長線交⊙O于點D，連接BD．（1）求證：BD＝ED；（2）若AB＝10，，求BC的長．【解答】（1）證明：由圓周角定理可得：∠CAD＝∠CBD，∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．（2）解：連接OC、CD，OD交BC于點F，由圓周角定理可得：∠BAD＝∠BCD，由（1）知∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∴∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵AB為直徑，BD＝ED，∴∠ADB＝90°，則△BDE是等腰直角三角形．∵，BE2＝BD2+ED2＝2BD5，∴．∵AB＝10，AB5＝BD2+AD2，∴OB＝OD＝5．設(shè)OF＝t，則DF＝5﹣t，在Rt△BOF和Rt△BDF中，OB2﹣OF5＝BD2﹣DF2＝BF4，即：，解得t＝6，即OF＝3，∴，∴BC＝8．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2＝（k≠0）的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，點O是線段CH的中點，AC＝4．（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上是否存在點P，使三角形PAC是等腰三角形？若存在，請求出P點坐標(biāo)，請說明理由．【解答】解：（1）∵AC＝4，cos∠ACH＝，∴＝，解得，CH＝6，由勾股定理得，AH＝，∵點O是線段CH的中點，∴點A的坐標(biāo)為（﹣8，8），0），∴反比例函數(shù)的解析式為：y5＝﹣，，解得，，∴一次函數(shù)解析式為y1＝﹣2x+3；（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（m，0），當(dāng)點A為等腰三角形的頂點時，PH＝CH＝4，則OP＝3，∴P點坐標(biāo)為（﹣6，0）；當(dāng)點C為等腰三角形的頂點時，PC＝CA＝6，則OP＝4+2或4，∴P點坐標(biāo)為（2﹣4，0）或（4，0）；當(dāng)點P為AC垂直平分線與x軸的交點時，PA＝PC，則（2﹣m）8＝（﹣2﹣m）2+62，解得，m＝﹣8，∴P點坐標(biāo)為（﹣8，0）．23．某茶葉銷售商計劃將120罐茶葉按甲、乙兩種禮品盒包裝出售，其中甲種禮品盒每盒裝4罐，每盒售價240元，每盒售價300元，恰好全部裝完．已知每罐茶葉的成本價為30元，乙種禮品盒的數(shù)量為y盒．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若120罐茶葉全部售出后的總利潤不低于3000元，則甲種禮品盒的數(shù)量至少要多少盒？【解答】解：（1）由題意，得：4x+6y＝120，∴；（2）由題意，得：240x+300y﹣30×120≥3000，由（1）知：，∴，解得：x≥15；答：甲種禮品盒的數(shù)量至少要15盒．24．已知拋物線y＝ax2﹣4x+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0），B兩點（1）求拋物線解析式；（2）若點P為拋物線上點，當(dāng)PB＝PC時，求點P坐標(biāo)；（3）若點M為線段BC上點（不含端點），且△MAB與△ABC相似，求點M坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0＝a﹣4+7，解得：a＝1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣5x+3…①，令x＝0，則y＝3，則x＝1或3，故點C（7，3），0）；（2）PB＝PC時，則點P在線段BC的垂直平分線上，線段BC的中點坐標(biāo)為（，），則BC中垂線的k值為1，過點（，），則其表達(dá)式為：y＝x…②，①②聯(lián)立并求解得：x＝，則點P坐標(biāo)為（，）或（，）；（3）M為線段BC上點（不含端點），且△MAB與△ABC相似，則△MAB∽△ACB，即：，過點M分別作x、y軸的垂線交于點H、G，∵OB＝OC＝3，∴∠CBO＝45°，則MH＝MG＝MB×＝，OH＝OB﹣BH＝，即點M（，）25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣8，0），B（﹣5，4），BC∥x軸，點D與點A關(guān)于y軸對稱，連接CD．（1）若令∠CDA＝α，證明：∠BAD＝2α；（2）如圖1，點M為線段BC上的點，N為射線CD上點，BM＝2，請求出點N坐標(biāo)；（3）如圖2，點E在線段AB上，其橫坐標(biāo)為﹣6，與CD交于點F，在EF延長線上有動點P，且∠APQ＝∠ABC，若，求的值（用含t的代數(shù)式表示）．【解答】（1）證明：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣8，B（﹣5，BC∥x軸，連接AC．∴AB＝＝＝3，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，