高等數(shù)學(xué)教程（第4版）課件：定積分及其應(yīng)用

定積分及其應(yīng)用

6.1

定積分的概念與性質(zhì)

6.1.1定積分的概念所圍成的平面圖形.引例一求曲邊梯形的面積曲邊梯形是指由連續(xù)曲線x軸與兩條直線

定積分及其應(yīng)用

6.1

定積分的概念與性質(zhì)

6.1.1定積分的概念應(yīng)用極限的思想,分四步求面積A.(1)

劃分(2)

取近似長度為為高的小矩形,面積近似代替任意用分點(3)

求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值.(4)

取極限為了得到A的精確值,分割無限加細(xì),取極限,形的面積:極限值就是曲邊梯即小區(qū)間的最大長度設(shè)某物體作變速直線運動,已知速度是時間間隔的一個連續(xù)函數(shù),求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.引例二

求變速直線運動的位移

(1)劃分表示在時間區(qū)間內(nèi)走過的路程.(3)求和(4)取極限路程的精確值(2)取近似設(shè)函數(shù)

f(x)在[a,b]上有界,定義6.1

把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,各小區(qū)間長度依次為一點作乘積如果不論對[a,b](1)在[a,b]中任意插入若干個分點(2)在各小區(qū)間上任取(3)并作和(4)記被積函數(shù)被積表達(dá)式記為積分和怎樣的分法,怎樣的取法,只要當(dāng)和S總趨于確定的極限I,稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.積分下限積分上限積分變量[a,b]稱為積分區(qū)間也不論在小區(qū)間上點說明:3.對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:而與積分變量的字母無關(guān).2.定積分是數(shù)值,僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),1.如果f(x)在[a,b]上的定積分存在,f(x)在[a,b]上可積,否則,稱f(x)在[a,b]上不可積.則稱(2)當(dāng)

時,定理6.1(定積分的存在定理)(1)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上(2)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且最多只有(3)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),則f(x)在[a,b]可積.有限個間斷點,則f(x)在[a,b]上可積.上可積.例6.1

利用定義計算定積分解將[0,1]n等分,分點為小區(qū)間

的長度取解原式例6.2將和式極限表示成定積分.注:原式也可表示成例6.3設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[0,1]上連續(xù),且取正值.試證證由指數(shù)與對數(shù)的連續(xù)性,有6.1.2定積分的幾何意義曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值取負(fù)號.一般地,定積分表示介于x軸、函數(shù)

f(x)的圖形在

x軸上方的面積取正號;在

x軸下方的面積及兩條直線

x=a,x=b之間的各部分面積的代數(shù)和.物理意義t=b所經(jīng)過的路程

S.作直線運動的物體從時刻

t=a到時刻定積分表示以變速由定積分的幾何意義立即得到下面的幾個結(jié)論:2.如果f(x)是

上連續(xù)的奇函數(shù),則4.如果f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù),則3.如果f(x)是

上連續(xù)的偶函數(shù),則例6.4

計算解在幾何上,是上底長a,下底長b,高為的直角梯形的面積,所以例6.5

計算解在幾何上,是底邊為4,高為2的三角形的面積,所以例6.6

計算解因被積函數(shù)是連續(xù)的奇函數(shù)所以在下面的性質(zhì)中,所涉及的函數(shù)都是可積的.性質(zhì)6.1(線性性質(zhì))

性質(zhì)6.2

(區(qū)間可加性)6.1.3定積分的性質(zhì)設(shè)則注:無論

a,b,c

的相對位置如何,上式總成立.例如,

若則性質(zhì)6.3(保號性)如果在區(qū)間

[a,b]上則推論6.1(保序性)

如果在區(qū)間[a,b]上則解因于是例6.7

比較積分值

和

的大小.推論6.2證因由保序性,有

即性質(zhì)6.4(定積分的估值定理)證因設(shè)M及m分別是函數(shù)

在區(qū)間[a,b]上則

所以即的最大值與最小值,解設(shè)例6.8

估計定積分

的值的范圍.故證由定積分的估值定理,有性質(zhì)6.5

(定積分中值定理)使得則至少存在一點由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,上至少存在一個點如果函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù),使得在區(qū)間在區(qū)間[a,b]上至少存在一點

使得以區(qū)間[a,b]為底邊,以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個矩形的面積.稱為函數(shù)

f(x)在[a,b]上的平均值.積分中值公式的幾何解釋：

例6.9計算證由積分中值定理，存在使得所以設(shè)某物體作變速直線運動,位移函數(shù)為s(t),運動速度為物體在時間段內(nèi)的位移

6.2

微積分基本定理則有而所以定積分記為稱為積分上限函數(shù).是

x的函數(shù),設(shè)函數(shù)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù),上的一點,并設(shè)

x為[a,b]注意:證定理6.2(微積分第一基本定理)

在[a,b]上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為即是

f(x)的一個原函數(shù).如果f(x)在[a,b]上連續(xù),則積分上限函數(shù)有由積分中值定理即解例6.10

設(shè)在

內(nèi)連續(xù)，求令則練習(xí)

解這是型未定式,應(yīng)用洛必達(dá)法則及等價無窮小代換來計算.例6.11計算極限

解例6.12證明所以令得原命題得證.證令練習(xí)設(shè)

在[0,1]上連續(xù),且

證明方程在[0,1]上只有一個實根.由零點定理和單調(diào)性，原方程在[0,1]只有一個實根.在[0,1]上為單調(diào)增加函數(shù).定理6.3(微積分第二基本定理,牛頓—萊布尼茨公式)證的一個原函數(shù),如果是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上因已知

是

的一個原函數(shù)，而

也是

的一個原函數(shù),令則令牛頓—萊布尼茨公式解解例6.13

計算定積分

例6.14

計算定積分

解例6.15

設(shè)

,求解例6.16

計算原式例6.17

計算解解因定積分是數(shù)值,于是例6.18設(shè)

則等式兩邊在[0,1]上積分,得練習(xí)計算練習(xí)

計算解練習(xí)

設(shè)連續(xù)，求解原式=而故練習(xí)求極限

解由定積分的定義,有練習(xí)設(shè)

,求

在[0,2]上的表達(dá)式.

解故練習(xí)已知兩曲線在點處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限解故所求切線方程為定理6.4(定積分的換元公式)6.3定積分的計算則設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),6.3.1定積分的換元法單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù),應(yīng)用定積分的換元公式時,“換元必須換限”.解上半橢圓方程為

由對稱性,總面積等于4倍第一象限部分面積.例6.19求橢圓

的面積S.令奇函數(shù)例6.20

計算解原式偶函數(shù)單位圓的面積例6.21

計算解令原式做了一個翻轉(zhuǎn),即鏡面反射.

區(qū)間上的變量代換稱為反射變換.

幾何上,它把區(qū)間[a,b]上函數(shù)的圖像繞直線證做反射變換

例6.22

求故證(1)由反射變換例6.23

若

在[0,1]上連續(xù),(2)計算(1)證明故

(2)由(1)的結(jié)論例6.24設(shè)

為連續(xù)函數(shù),證令則求故定理6.56.3.2定積分的分部積分法則有

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)

由不定積分的分部積分公式及牛頓－萊布尼導(dǎo)數(shù),或茨公式立即可得到：

例6.25

計算解令練習(xí)

計算解令解練習(xí)計算由曲線和x軸所圍成的區(qū)域的面積S.由定積分的幾何意義,所求面積例6.26

計算解例6.27

計算解積分

關(guān)于下標(biāo)的遞推公式于是為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)結(jié)論例6.28設(shè)解因求練習(xí)

計算解設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù),稱6.4廣義積分6.4.1無窮限的廣義積分如果存在,則稱廣義積分

否則,稱廣義積分發(fā)散.為在區(qū)間上的廣義積分.

定義6.2

(無窮限的廣義積分)收斂;稱為在區(qū)間上的廣義積分.

如果存在,則稱廣義積分

類似地,設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù),

否則,稱廣義積分發(fā)散.收斂;設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

連續(xù),在區(qū)間

上的廣義積分.為函數(shù)否則,稱廣義積分發(fā)散.稱如果都存在,則稱廣義積分收斂;設(shè)是的一個原函數(shù),則例6.29

計算例6.29

計算解解當(dāng)

時廣義積分發(fā)散.因此,當(dāng)

時廣義積分收斂,其值為例6.30

討論廣義積分

的收斂性.解例6.31

討論廣義積分的斂散性,收斂,發(fā)散.

因此,并計算故令則6.4.2無界函數(shù)的廣義積分(瑕積分)定義6.3

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間(a,b]上連續(xù),稱為

在區(qū)間(a,b]的廣義積分,否則,稱廣義積分發(fā)散.如果

存在,則稱廣義積分收斂;如果函數(shù)在點a的任意鄰域無界,則稱點a是的一個瑕點.點a是的一個瑕點.稱否則,稱廣義積分發(fā)散.如果

存在,則稱廣義積分收斂;類似地,設(shè)函數(shù)

在區(qū)間[a,b)上連續(xù),點b是的一個瑕點.為

在區(qū)間[a,b)的廣義積分,稱否則,稱廣義積分發(fā)散.設(shè)函數(shù)

在

連續(xù),為

在區(qū)間[a,b]的廣義積分.如果

都存在,則稱廣義積分收斂;點c是的一個瑕點.類似地,設(shè)是的一個原函數(shù),則當(dāng)a為瑕點時,當(dāng)b為瑕點時,解例6.32

討論廣義積分

的斂散性.因此,當(dāng)

時廣義積分收斂,其值為當(dāng)

時廣義積分發(fā)散.是瑕點.例6.33

計算廣義積分解是瑕點.例6.34

計算廣義積分解是瑕點.令則此瑕積分收斂,以瑕點劃分積分區(qū)間有練習(xí)

計算廣義積分解是瑕點,該積分稱為混合型廣義積分．令定積分有著廣泛的用途,先介紹建立定積分的一種簡便方法--微元法(元素法)下面介紹它在幾何,物理和經(jīng)濟(jì)等問題上的簡單應(yīng)用.什么量可以用定積分表示出來?6.5定積分在幾何上的應(yīng)用(1)U是與一個變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;則可以考慮用定積分來表達(dá)這個量U.(2)U對于區(qū)間[a,b]具有可加性.就是說,如果把區(qū)間[a,b]分成許多部分區(qū)間,(3)部分量

的近似值可表示為當(dāng)所求量U符合下列條件：則U相應(yīng)地分成許多部分量,而U等于所有部分量之和.微元法的一般步驟：(1)根據(jù)問題的實際意義,確定恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,要部分,(4)求和取極限,得到并畫出草圖以幫助分析;(2)

確定所求總體量的非均勻分布函數(shù)及的變化區(qū)間(如);(3)在微小局部

上取得的線性主稱為量的微元.

求這兩條曲線及直線所圍成的區(qū)域的面積A.它對應(yīng)的面積元素dA為即1.直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積6.5.1平面圖形的面積和平面曲線的弧長

在[a,b]上任取一區(qū)間求由曲線和直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對應(yīng)小區(qū)間解兩曲線的交點選

x為積分變量例6.38

計算由兩條拋物線

和所圍成的圖形的面積.面積元素解兩曲線的交點選

y為積分變量例6.39計算由曲線

和直線所圍成的圖形的面積.所求面積面積元素曲邊扇形的面積由極坐標(biāo)方程給出的平面曲線和射線所圍成的面積A.曲邊扇形2.極坐標(biāo)系下求平面圖形的面積解該圖形關(guān)于x軸對稱性,所圍成的圖形的公共部分面積.例6.40

求心形線與圓

兩曲線在x軸上方的交點為解利用對稱性知練習(xí)求心形線圖形的面積.所圍平面設(shè)曲線弧L的參數(shù)方程為弧長為其中

在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),3.平面曲線的弧長且則稱L為光滑曲線.

弧微分設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為弧長為其中

在

上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可化成參數(shù)方程弧微分弧長為曲線的直角坐標(biāo)方程

也可以看作參數(shù)方程

其中在[a,b]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).

弧微分解由對稱性,星形線的全長是第一象限部分的4倍例6.41求星形線

的全長.1.已知平行截面面積的立體的體積立體體積A(x)表示過點x且垂直于x軸的截面面積，A(x)為x的已知連續(xù)函數(shù).如果一個立體介于過而垂直于x軸的兩平面之間，體積元素6.5.2體積問題解取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為截面面積立體體積垂直于x軸的截面為直角三角形.例6.42

一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角

計算這平面截圓柱體所得立體的體積.底高旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條圓柱圓錐圓臺2.旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．旋轉(zhuǎn)體的體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線直線及

x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求體積.取積分變量為x,為底的小曲邊梯形繞

x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積元素旋轉(zhuǎn)體的體積為思考:

由連續(xù)曲線直線及

x軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求其體積.取積分變量為x,小曲邊梯形繞

y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積元素解例6.43求由橢圓圍成的圖形繞

x軸旋這個旋轉(zhuǎn)橢球體可以看成是由上半橢圓轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.與x圍成的圖形繞

x軸旋轉(zhuǎn)而成.所求體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線及

y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求體積.直線體積元素旋轉(zhuǎn)體的體積解兩曲線的交點為繞x軸旋轉(zhuǎn)所得體積x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.例6.44求拋物線所圍成圖形繞6.6定積分在物理中的應(yīng)用

6.6.1變力沿直線所做的功由物理學(xué)知道,如果物體在作直線運動的且這力的方向與物體的運動方向一致.那么,在如果物體在運動的過程中所受的力是變化的,過程中有一個不變的力F作用在這物體上,物體移動了距離

s時,力F對物體所做的功為就不能直接使用此公式,而采用“元素法”思想.例1已知距離為r的兩個電荷間的作用力的大小為放在

r

軸上坐標(biāo)原點O處,它產(chǎn)生一個電場．把一個帶+q電量的點電荷場力將單位正電荷從

r=a移動到r=b處時,電場力對它所做的功．求電解功元素所求功為取

r

為積分變量，任取解建立坐標(biāo)系如圖例2一圓柱形蓄水池高為5米,底半徑3米,池內(nèi)盛滿了水.問要把池內(nèi)的水全部吸出,需做多少功?取

x為積分變量,這一薄層水的重力為功的元素為所求功為6.6.2液體的靜壓力由物理學(xué)知道,在水深為h處的壓強(qiáng)為

如果平板垂直放置在水中,由于水深不同的點處壓強(qiáng)

p不相等,平板一側(cè)所受的水壓力就不能直接使用此公式,而采用“元素法”思想．這里

是水的比重.如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為h處,那么,平板一側(cè)所受的水壓力為解建立坐標(biāo)系.oxyC(0,5)D(20,3)直線CD的方程為壓力元素例3某水庫的閘門是等腰梯形,上底長為10m,好位于水平面上,求閘門所受的水壓力.下底長為6m,高為20m,閘門與水面垂直,上底恰閘門所受的壓力為

解取液面上的某點為坐標(biāo)原點,

建立坐標(biāo)系.取

x為積分變量,例4邊長為a和b的矩形薄板對應(yīng)薄板上的小矩形的長為a,的密度為求薄板的一側(cè)所受的壓力.置于液體中,長邊平行于液面位于深h處,設(shè)液體與液面成角yOx寬為

小矩形的面積為小矩形一側(cè)所受壓力的元素為薄板所受壓力為相距為r的引力的方向沿著兩質(zhì)點間的連線方向.兩質(zhì)點間的引力大小為

但是若要計算一根細(xì)棒對一個質(zhì)點的引力,由于細(xì)棒上各點與該質(zhì)點間的距離是變化的,

簡單的情況下,可以用定積分來計算.

且各點對該質(zhì)點的引力方向也是變化的,6.6.3引力由物理學(xué)可知,質(zhì)量分別為

用上述公式來計算.因此不能解建立坐標(biāo)系如圖將典型小段近似看成質(zhì)點,小段的質(zhì)量為例5有一長度為l,線密度為r的均勻細(xì)棒,在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點M,計算該棒對質(zhì)點M的引力.取

y為積分變量,取任小段與質(zhì)點的距離為引力的元素水平方向的分力元素由對稱性知,引力在鉛直方向分力為例1求解定積分計算習(xí)題課例2求解設(shè)于是例3求解解因上式兩端對x求導(dǎo),有例4設(shè)函數(shù)

例5設(shè)解上式兩端對x求導(dǎo),有解例6

設(shè)令求例7計算定積分解令例8證明證則應(yīng)用例9設(shè)證則應(yīng)用證明例10設(shè)證設(shè)利用零點定理,即得所證命題.證明:例11設(shè)證由積分中值定理,使得例12求

解解上式兩端分別在[0,1]與[0,2]上積分,有例13設(shè)

解得解例14設(shè)

由可導(dǎo)必連續(xù)知,例15

計算解原式例16

計算解例17

計算解例18

設(shè)

解(1)

求練習(xí)計算

解例1過坐標(biāo)原點作曲線

y=lnx的切線,該切線與曲線

y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(1)求

D的面積

A;(2)求D的繞直線

x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.解(1)設(shè)切點的橫坐標(biāo)為則曲線處的切線方程是由該切線過原點知從而所以該切線的方