工程力學(xué)I課件：簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題

簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題11.1超靜定結(jié)構(gòu)的基本概念11.2拉壓超靜定問(wèn)題11.3扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題11.4超靜定梁11.5溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力未知力數(shù)3獨(dú)立平衡方程數(shù)3靜定問(wèn)題未知力數(shù)4獨(dú)立平衡方程數(shù)3靜不定問(wèn)題（超靜定）11.1超靜定結(jié)構(gòu)的基本概念靜定結(jié)構(gòu)：全部約束反力和內(nèi)力均可以通過(guò)靜力平衡方程求得的結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)：若無(wú)法通過(guò)靜力平衡方程求出全部約束反力或內(nèi)力的結(jié)構(gòu)，稱(chēng)之為11.1超靜定結(jié)構(gòu)的基本概念雖然在工程實(shí)際中，很多復(fù)雜結(jié)構(gòu)的約束反力或內(nèi)力都是無(wú)法通過(guò)靜力平衡方程直接求得的，如何求解是屬于結(jié)構(gòu)力學(xué)或彈性力學(xué)的內(nèi)容，但是一些簡(jiǎn)單問(wèn)題我們依然可以通過(guò)已有的材料力學(xué)知識(shí)加以解決。外力超靜定結(jié)構(gòu)支座反力不能全部由靜力平衡方程求出內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)內(nèi)力不能全部由靜力平衡方程求出混合超靜定結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)內(nèi)力不能全部由靜力平衡方程求出一、靜不定結(jié)構(gòu)的分類(lèi)二、超靜定次數(shù)在靜定結(jié)構(gòu)上增加的約束稱(chēng)為多余約束，相應(yīng)的約束力稱(chēng)為多余約束力。為了提高安全度或者是增加結(jié)構(gòu)剛性等，往往需要增加一些額外的約束，這些約束雖然被稱(chēng)為“多余”，但是在工程意義上并非多余。超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)外約束力總數(shù)或者內(nèi)力數(shù)與可列的獨(dú)立靜力平衡方程的個(gè)數(shù)的差值稱(chēng)為超靜定次數(shù)。由于存在多余約束力，可列的獨(dú)立靜力平衡方程個(gè)數(shù)要少于未知量的個(gè)數(shù)。為求解全部的未知量，還需要建立與超靜定次數(shù)相等數(shù)量的補(bǔ)充方程，11.2拉壓超靜定問(wèn)題如圖示的三桿桁架，設(shè)桿1和桿2的橫截面積、桿長(zhǎng)、材料均相同，即A1=A2，l1=l2，E1=E2，桿3的橫截面積和彈性模量分別為A3和E3，分析在垂直作用載荷F下各桿的軸力。1.靜力分析研究A,受力分析,列出平衡方程：存在三個(gè)未知力和兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此是一

次超靜定，需要建立一個(gè)補(bǔ)充方程。2.幾何分析三桿原交于點(diǎn)A，受力作用后，由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)、剛度對(duì)稱(chēng)、受力對(duì)稱(chēng)，節(jié)點(diǎn)A只能沿垂直方向發(fā)生位移?？紤]結(jié)構(gòu)只發(fā)生非常微小的變形，即小變形假設(shè)，可以認(rèn)為桿3的軸向變形桿1和桿2的變形為采用了“以弦代弧”的近似方法。三桿變形后交于一點(diǎn)A'，因此必須滿(mǎn)足以下關(guān)系：變形協(xié)調(diào)關(guān)系3.物理關(guān)系變形協(xié)調(diào)關(guān)系三桿均處于彈性范圍內(nèi)，根據(jù)胡克定律，各桿的軸力與其變形之間存在以下關(guān)系：

得到以軸力表示的變形協(xié)調(diào)方程，即補(bǔ)充方程為：(11-7)(11-1)

(11-2)

(11-9)(11-8)為什么剛度越大的桿件所受的力越大？4.求解一般求解拉壓超靜定問(wèn)題的基本步驟如下：1)列出靜力學(xué)平衡方程；2)根據(jù)變形與約束應(yīng)相互協(xié)調(diào)的要求列出變形幾何方程；3)列出物理關(guān)系，通常是胡克定律；4)由2)、3)兩項(xiàng)得到補(bǔ)充方程；5)聯(lián)立求解平衡方程和補(bǔ)充方程，得到問(wèn)題的解答。例11-1如圖所示的結(jié)構(gòu)，設(shè)橫梁AB為剛性桿（沒(méi)有變形，只存在有剛體位移），桿1、2的橫截面積相等，均為A，材料相同，彈性模量均為E，試求桿1，2的內(nèi)力。解：（1）靜力平衡方程本問(wèn)題有4個(gè)未知量，只能列3個(gè)獨(dú)立平衡方程，是一次超靜定問(wèn)題。剛性桿：在力作用下，桿既不伸長(zhǎng)也不縮短，如果原來(lái)是直線還保持直線。（2）形協(xié)調(diào)關(guān)系桿軸線處于AB'，且為直線，桿1的變形根據(jù)“以弦代弧”的方法，桿2的變形由變形幾何關(guān)系，又因?yàn)闂U1、2的變形關(guān)系：(3)物理關(guān)系由胡克定律代入式(d)，得

由式(e)和式(a)解出將上述結(jié)果代入式(b)、(c)可解出A

處的約束反力。11.3扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題例題11-2如圖所示圓軸，AC段為實(shí)心圓截面，直徑，CB段為空心圓截面，內(nèi)徑。軸兩端A、B為固定端，已知材料的剪切模量，求軸兩端的約束力偶矩的大小

在實(shí)心和空心交界截面C處受外力偶扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題限制扭轉(zhuǎn)角，因此變形協(xié)調(diào)關(guān)系是建立在求扭轉(zhuǎn)角的基礎(chǔ)上；(1)靜力平衡方程去掉軸兩端的約束，代之以待求的約束反力偶MA和MB，如圖(b)?？纱笾碌玫捷S的扭矩圖如圖(c)，且解：1個(gè)平衡方程，未知約束力個(gè)數(shù)為2,

2-1=1，超靜定次數(shù)為1次?？傻闷胶夥匠虨?2)變形協(xié)調(diào)關(guān)系解：由于軸兩端A、B固定，因此A、B的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角即變形協(xié)調(diào)條件為

(3)物理關(guān)系根據(jù)相對(duì)扭轉(zhuǎn)角代入(b)式得代入數(shù)據(jù)得

解得

(4)聯(lián)合求解根據(jù)式(a)聯(lián)立(e)、(f)兩式，解得11.4超靜定梁

在工程中有大量超靜定梁結(jié)構(gòu)，例如多跨連續(xù)橋梁，水利工程中的鋼閘門(mén)的主梁都可以視為多跨連續(xù)梁，這些都屬于多次超靜定結(jié)構(gòu)。

在結(jié)構(gòu)力學(xué)中有專(zhuān)門(mén)的章節(jié)講述多跨連續(xù)梁的求解方法，比如力法、位移法、三彎矩方程等，通過(guò)已有的一些結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器，也可以很方便地直接求出多跨連續(xù)梁的剪力圖和彎矩圖。

在本節(jié)，我們僅介紹可以用已有的材料力學(xué)知識(shí)解決的簡(jiǎn)單超靜定梁?jiǎn)栴}。對(duì)于超靜定梁的求解，除應(yīng)建立平衡方程以外，還需要利用變形協(xié)調(diào)條件以及力與位移之間的物理關(guān)系，建立補(bǔ)充方程。這是一個(gè)一次超靜定梁?jiǎn)栴}，設(shè)想去掉多余約束支座B，相應(yīng)地在B處施加多余約束力FB，系統(tǒng)的受力不變，如圖(b)所示，此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，此靜定結(jié)構(gòu)稱(chēng)為原超靜定結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)。在圖(b)中由于載荷q單獨(dú)引起的點(diǎn)B的撓度由于集中力FB單獨(dú)引起的B的撓度根據(jù)疊加原理，有

求解，得到多余束力

截面A的束力FB、MA可由靜力平衡方程計(jì)算得到，進(jìn)而可以畫(huà)出梁的剪力圖和彎矩圖、計(jì)算應(yīng)力、撓度，進(jìn)行強(qiáng)度和剛度分析?？紤]原系統(tǒng)支座B處撓度必定為零，即變形協(xié)調(diào)條件若以圖(c)所示的簡(jiǎn)支梁為該結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)，則對(duì)應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件為。

例題11-3圖示的雙跨簡(jiǎn)支梁，受到集中力F作用，求約束反力，并畫(huà)出剪力圖和彎矩圖，設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。解：(1)相當(dāng)系統(tǒng)解除約束B(niǎo)，代之以多余未知力，得到相當(dāng)系統(tǒng)，如圖11-7(b)。(2)靜力平衡方程研究梁，受力分析列出平衡方程在集中力F、FB單獨(dú)作用時(shí)，截面B的撓度根據(jù)表10-1，分別有(3)變形協(xié)調(diào)條件

原系統(tǒng)中支座B沒(méi)有垂直方向的位移,因此有根據(jù)疊加原理即

（4）繪出梁的剪力圖、彎矩圖

11.5溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力當(dāng)溫度變化時(shí)，桿件的變形為材料的熱膨脹系數(shù)，其單位為；是桿件的長(zhǎng)度。一、溫度應(yīng)力1、溫度變形計(jì)算由于溫度變化引起的桿件內(nèi)部的應(yīng)力稱(chēng)為溫度應(yīng)力。靜定結(jié)構(gòu)由于可以自由變形，因此，當(dāng)溫度均勻變化時(shí)，不會(huì)引起構(gòu)件的內(nèi)力。超靜定結(jié)構(gòu)的熱變形由于受到部分或全部約束，不能自由變形，往往就要引起內(nèi)力。2、溫度應(yīng)力1）拆除約束B(niǎo)，溫度變形為2）桿件因?yàn)镕B作用發(fā)生的變形為3）實(shí)際上，桿件長(zhǎng)度不變，必有變形協(xié)調(diào)方程溫度應(yīng)力彈性模量碳鋼的在我國(guó)大部分地區(qū)，一年中的最高溫度和最低溫度大約相差30以上，按照式11-17，超靜定結(jié)構(gòu)中的碳鋼構(gòu)件由于溫度變化引起的應(yīng)力變化可達(dá)到75MPa！在日常生活中，為了避免過(guò)高的溫度應(yīng)力，我們通常在管道中增加伸縮節(jié)，在鋼軌各段之間留有伸縮縫，以保證削弱對(duì)膨脹自由變形的約束，從而降低溫度應(yīng)力。二、裝配應(yīng)力如圖桿件名義長(zhǎng)度l

,加工誤差為

，桿件的實(shí)際長(zhǎng)度為l

，要將桿件裝進(jìn)距離為l固定支座間，必然要把桿件拉長(zhǎng)才能裝進(jìn)去，這將引起桿件內(nèi)的拉應(yīng)力，這種應(yīng)力稱(chēng)為裝配應(yīng)力。裝配后，內(nèi)力引起的變形與加工誤差相抵消，可得：工程中有時(shí)會(huì)有意制造這種加工誤差，使桿件在實(shí)際受工作載荷之前內(nèi)部事先存在一定的應(yīng)力，這種應(yīng)力常常被稱(chēng)為預(yù)應(yīng)力。加工誤差將引起桿件內(nèi)的拉應(yīng)力相互抵消桿件環(huán)境溫度將升高，會(huì)引起壓應(yīng)力不利強(qiáng)度安全有利強(qiáng)度安全`在機(jī)械、建筑工程中，為了增強(qiáng)連接的可靠性和緊密性，在受到工作載荷之前，預(yù)先增加一部分力，使得構(gòu)件先發(fā)生一定的變形，使其內(nèi)部產(chǎn)生一定的應(yīng)力，從而防止結(jié)構(gòu)在受到工作載荷后連接件間出現(xiàn)縫隙或者相對(duì)滑移，這種預(yù)先增加的力，我們稱(chēng)為預(yù)緊力。其對(duì)構(gòu)件產(chǎn)生的應(yīng)力實(shí)際上就是裝配應(yīng)力。我國(guó)古代建筑工匠中流傳這樣一句俗話(huà)：“緊車(chē)鉚子邋遢房，桌子板凳手摁上”也是指在工作中容易松動(dòng)連接部位應(yīng)該施加預(yù)緊力。例題11-4吊橋鏈條的一節(jié)由三根長(zhǎng)l的鋼桿組成，簡(jiǎn)化為如圖所示的超靜定結(jié)構(gòu)，兩端約束視為不變形的剛體，若三桿的橫截