專題6.8垂直-2020-2021學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典 帶解析【蘇科版】

2020-2021學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題6.8垂直姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2020春?長(zhǎng)春期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)A到直線BC的距離是（）A．線段AC的長(zhǎng) B．線段BC的長(zhǎng) C．線段AD的長(zhǎng) D．線段AB的長(zhǎng)【分析】本題為概念題，考查點(diǎn)到直線的距離，如下定義：點(diǎn)到直線的距離，即過(guò)這一點(diǎn)做目標(biāo)直線的垂線，由這一點(diǎn)至垂足的距離．【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離定義：點(diǎn)到直線的距離，即過(guò)這一點(diǎn)做目標(biāo)直線的垂線，由這一點(diǎn)至垂足的距離，得：點(diǎn)A到直線BC的距離為過(guò)A做BC的垂線，即圖中的線段AD的長(zhǎng)．故選：C．2．（2020春?新鄉(xiāng)期末）如圖，田地A的旁邊有一條小河l，要想把小河里的水引到田地A處，為了省時(shí)省力需要作AB⊥l，垂足為B，沿AB挖水溝，則水溝最短，理由是（）A．點(diǎn)到直線的距離 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)之間，線段最短【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，可得答案．【解析】把小河里的水引到田地A處，則作AB⊥l，垂足為點(diǎn)B，沿AB挖水溝，依據(jù)為：垂線段最短．故選：C．3．（2020春?孝義市期末）下列各圖中，過(guò)直線l外的點(diǎn)P畫直線l的垂線，三角尺操作正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂線的作法，用直角三角板的一條直角邊與l重合，另一條直角邊過(guò)點(diǎn)P后沿直角邊畫直線即可．【解析】用直角三角板的一條直角邊與l重合，另一條直角邊過(guò)點(diǎn)P后沿直角邊畫直線，∴C選項(xiàng)的畫法正確，故選：C．4．（2020春?高州市期中）如圖，直線AB⊥CD于O，直線EF交AB于O，∠COF＝70°，則∠AOE等于（）A．20° B．30° C．35° D．70°【分析】利用垂線定義和對(duì)頂角相等可得答案．【解析】∵AB⊥CD，∴∠COB＝90°，∵∠COF＝70°，∴∠BOF＝90°﹣70°＝20°，∴∠AOE＝20°，故選：A．5．（2020春?海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，BC⊥AC，CD⊥AB，AB＝m，CD＝n，則AC的長(zhǎng)的取值范圍是（）A．AC＜m B．AC＞n C．n≤AC≤m D．n＜AC＜m【分析】利用垂線段最短可得AC的取值范圍．【解析】在Rt△ABC中，∵BC⊥AC，∴AC＜AB，∵AB＝m，∴AC＜m，在Rt△ACD中，∵CD⊥AB，∴AC＞CD，∵CD＝n，∴AC＞n，∴n＜AC＜m，故選：D．6．（2020春?文水縣期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，下列條件中能說(shuō)明AB⊥CD的有（）①∠AOD＝90°；②∠AOD＝∠AOC；③∠AOC+∠BOC＝180°；④∠AOC+∠BOD＝180°．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)垂直定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直進(jìn)行判定即可．【解析】①∠AOD＝90°可以判定兩直線垂直，故此選項(xiàng)符合題意；②∠AOD和∠AOC是鄰補(bǔ)角，鄰補(bǔ)角相等和又是180°，所以可以得到∠AOC＝90°，能判定垂直，故此選項(xiàng)符合題意；③∠AOC和∠BOC是鄰補(bǔ)角，鄰補(bǔ)角相等和是180°，不能判定垂直，故此選項(xiàng)不符合題意；④∠AOC和∠BOD是對(duì)頂角，對(duì)頂角相等，和又是180°，所以可得到∠AOC＝90°，故此選項(xiàng)符合題意．綜上所述，①②④共3個(gè)正確，故選：C．7．（2020春?防城港期末）如圖，連接直線l外一點(diǎn)P與直線l上各點(diǎn)O，A1，A2，A3，…，其中PO⊥l，這些線段PO，PA1，PA1，PA3，…中，最短的線段是（）A．PO B．PA1 C．PA2 D．PA3【分析】根據(jù)垂線段最短得出即可．【解析】∵PO⊥l，∴最短的線段是線段PO，故選：A．8．（2020春?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)月考）如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點(diǎn)共線），其理由是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．在同一平面內(nèi)，過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．兩點(diǎn)之間，線段最短【分析】利用垂線的性質(zhì)解答．【解析】如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點(diǎn)共線），其理由是在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故選：C．9．（2020春?撫順縣期末）O為直線AB上一點(diǎn)，OC⊥OD，若∠1＝40°，則∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠COD＝90°，根據(jù)補(bǔ)角的定義計(jì)算，得到答案．【解析】∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝40°，∴∠2＝90°﹣40°＝50°，故選：C．10．（2020春?夏邑縣期末）如圖所示，已知AB和CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)O，如果∠COE＝70°，則∠AOD＝（）A．30° B．20° C．25° D．15°【分析】由垂直的性質(zhì)可得∠BOE＝90°，易得∠BOC＝20°，利用對(duì)頂角的定義可得結(jié)果．【解析】∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠COE＝70°，∴∠BOC＝∠BOE﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°，∴∠AOD＝∠BOC＝20°，故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（2020春?太平區(qū)期末）關(guān)于垂線，小明給出了下面三種說(shuō)法：①兩條直線相交，所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線互相垂直；②兩條直線的交點(diǎn)叫垂足；③直線AB⊥CD，也可以說(shuō)成CD⊥AB．其中正確的有①③（填序號(hào)）．【分析】利用垂線定義進(jìn)行解答即可．【解析】①兩條直線相交，所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線互相垂直，故原題說(shuō)法正確；②兩條直線的交點(diǎn)叫交點(diǎn)，故原題說(shuō)法錯(cuò)誤；③直線AB⊥CD，也可以說(shuō)成CD⊥AB，故原題說(shuō)法正確，正確的說(shuō)法有2個(gè)，故答案為：①③．12．（2019秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，則點(diǎn)A到直線l1的距離是4．【分析】由AB⊥l1，即可得出答案．【解析】∵AB⊥l1，則點(diǎn)A到直線l1的距離是AB的長(zhǎng)＝4；故答案為：4．13．（2020春?三門峽期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為O，∠BOC＝130°，則∠DOE＝40°．【分析】利用對(duì)頂角的性質(zhì)可得∠AOD＝130°，再利用垂直定義計(jì)算即可．【解析】∵∠BOC＝130°，∴∠AOD＝130°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠DOE＝130°﹣90°＝40°故答案為：40°．14．（2020春?雨花區(qū)期末）如圖，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，且AB⊥EF，OG平分∠AOD，若∠BOC＝70°，則∠GOF＝55°．【分析】利用對(duì)頂角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得∠AOG的度數(shù)，然后再利用垂線定義可得∠GOF的度數(shù)．【解析】∵∠BOC＝70°，∴∠AOD＝70°，∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝35°，∵AB⊥EF，∴∠AOF＝90°，∴∠GOF＝90°﹣35°＝55°，故答案為：55°．15．（2020春?武昌區(qū)期末）如圖，直線EF，CD相交于點(diǎn)O，OA⊥OB，OD平分∠AOF，若∠FOD＝4∠COB，則∠AOE＝36°．【分析】利用角平分線的性質(zhì)可得∠AOD＝∠FOD，然后利用垂線定義結(jié)合方程思想計(jì)算即可．【解析】∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠FOD＝4∠COB，∴設(shè)∠BOC＝x°，則∠FOD＝4x°，∵OD平分∠AOF，∴∠AOD＝∠FOD＝4x°，∴x+4x+90＝180，解得：x＝18，∴∠BOC＝18°，∴∠FOD＝∠AOD＝18°×4＝72°，∴∠AOE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案為：36°．16．（2020春?魚臺(tái)縣期末）如圖，村莊A到公路BC的最短距離是AD的長(zhǎng)，其根據(jù)是垂線段最短．【分析】利用垂線段的性質(zhì)解答即可．【解析】村莊A到公路BC的最短距離是AD的長(zhǎng)，其根據(jù)是垂線段最短，故答案為：垂線段最短．17．（2020春?三水區(qū)期末）如圖，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，線段CD的最短距離是4.8．【分析】當(dāng)CD⊥AB時(shí)，線段CD的長(zhǎng)度最短，依據(jù)三角形的面積即可得到CD的長(zhǎng)．【解析】∵點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)CD⊥AB時(shí)，線段CD的長(zhǎng)度最短，又∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴12AC×BC=12AB∴CD=AC×BC故答案為：4.8．18．（2020春?岳陽(yáng)期末）如圖，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，AB＝5，BC＝12，AC＝13，下列結(jié)論正確的是①②④．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①∠ADB＝90°；②∠A＝∠DBC；③點(diǎn)C到直線BD的距離為線段CB的長(zhǎng)度；④點(diǎn)B到直線AC的距離為6013【分析】①根據(jù)垂直的定義即可求解；②根據(jù)余角的性質(zhì)即可求解；③根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可求解；④根據(jù)三角形面積公式即可求解．【解析】①∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，故①正確；②∵∠ABD+∠A＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠A＝∠DBC，故②正確；③點(diǎn)C到直線BD的距離為線段CD的長(zhǎng)度，故③錯(cuò)誤；④點(diǎn)B到直線AC的距離為12×5×12×2÷13=60故答案為：①②④．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（2020春?贛州期末）如圖所示，碼頭、火車站分別位于A，B兩點(diǎn)，直線a和b分別表示鐵路與河流．（1）從火車站到碼頭怎樣走最近，畫圖并說(shuō)明理由；（2）從碼頭到鐵路怎樣走最近，畫圖并說(shuō)明理由；（3）從火車站到河流怎樣走最近，畫圖并說(shuō)明理由．【分析】（1）從火車站到碼頭的距離是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即兩點(diǎn)間的距離．依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答．（2）從碼頭到鐵路的距離是點(diǎn)到直線的距離．依據(jù)垂線段最短解答．（3）從火車站到河流的距離是點(diǎn)到直線的距離．依據(jù)垂線段最短解答．【解析】如圖所示（1）沿AB走，兩點(diǎn)之間線段最短；（2）沿AC走，垂線段最短；（3）沿BD走，垂線段最短．20．（2019秋?侯馬市期末）如圖，點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別代表兩個(gè)村莊，直線l代表兩個(gè)村莊中間的一條公路．根據(jù)居民出行的需要，計(jì)劃在公路l上的某處設(shè)置一個(gè)公交站．（1）若考慮到村莊P居住的老年人較多，計(jì)劃建一個(gè)離村莊P最近的車站，請(qǐng)?jiān)诠穕上畫出車站的位置（用點(diǎn)M表示），依據(jù)是直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中垂線段最短；（2）若考慮到修路的費(fèi)用問(wèn)題，希望車站的位置到村莊P和村莊Q的距離之和最小，請(qǐng)?jiān)诠穕上畫出車站的位置（用點(diǎn)N表示），依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短．【分析】（1）直接利用點(diǎn)到直線的距離的定義得出答案；（2）利用線段的性質(zhì)得出答案．【解析】（1）如圖，點(diǎn)M即為所示．依據(jù)是直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中垂線段最短（2）如圖，點(diǎn)N即為所示．依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短；故答案為：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中垂線段最短；兩點(diǎn)之間線段最短．21．（2020春?扶風(fēng)縣期末）如圖，直線AB，CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于點(diǎn)O，∠1＝55°，求∠COB，∠BOF的度數(shù)．【分析】利用垂直定義和∠1的度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，進(jìn)而可得∠BOC的度數(shù)，再利用角平分線定義可得∠AOF的度數(shù)，然后再利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠BOF的度數(shù)．【解析】∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，∵∠1＝55°，∴∠AOD＝35°，∴∠COB＝35°，∵OD平分∠AOF，∴∠AOF＝35°×2＝70°∴∠BOF＝110°．22．（2019秋?姜堰區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度數(shù)；（2）若∠AOD＝3∠1，求∠AOC和∠MOD的度數(shù)．【分析】（1）利用垂直的定義得出∠2+∠AOC＝90°，進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)題意得出∠1的度數(shù)，即可得出AOC和∠MOD的度數(shù)．【解答】證明：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，∴∠NOD＝180°﹣∠CON＝180°﹣90°＝90°；（2）∵∠AOD＝3∠1，∴∠NOD＝2∠1＝90°，解得：∠1＝45°，∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣45°＝45°；∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°，∴∠MOD＝∠BOD+∠BOM＝45°+90°＝135°．故答案為：（1）90°；（2）45°，135°．23．（2019秋?翠屏區(qū)期末）如圖，射線OC、OD把∠AOB分成三個(gè)角，且度數(shù)之比是∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOD，且OM⊥ON．（1）求∠COD的度數(shù)；（2）求∠AOB的補(bǔ)角的度數(shù)．【分析】（1）設(shè)∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，依據(jù)∠MON＝