2025屆河北省高考適應(yīng)性考試數(shù)學試卷含解析

2025屆河北省高考適應(yīng)性考試數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．給出下列三個命題：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要條件；③將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．其中假命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A． B． C．4 D．3．某地區(qū)高考改革，實行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數(shù)學、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，“2”指在化學、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學科中任意選擇兩門學科，則一名學生的不同選科組合有（）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種4．已知函數(shù)若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．6．我國宋代數(shù)學家秦九韶（1202-1261）在《數(shù)書九章》（1247）一書中提出“三斜求積術(shù)”，即：以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.其實質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長，，求三角形面積，即.若的面積，，，則等于（）A． B． C．或 D．或7．已知直線與圓有公共點，則的最大值為（）A．4 B． C． D．8．從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為，已知，則A． B． C． D．9．已知函數(shù)的零點為m，若存在實數(shù)n使且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．的展開式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．3011．若不相等的非零實數(shù)，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C．2 D．12．若函數(shù)在處取得極值2，則（）A．-3 B．3 C．-2 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若,則=______,=______.14．若函數(shù)的圖像與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別是,,,則實數(shù)的值為________．15．直線與拋物線交于兩點，若，則弦的中點到直線的距離等于________.16．在平面直角坐標系xOy中，己知直線與函數(shù)的圖象在y軸右側(cè)的公共點從左到右依次為，，…，若點的橫坐標為1，則點的橫坐標為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，，分別是，的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）設(shè)，求三棱錐的體積.18．（12分）已知數(shù)列{an}滿足條件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：Sn．19．（12分）某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機芯片進行測評，該公司隨機調(diào)查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為五個小組（所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分數(shù)的平均數(shù)（同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試，該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分，則認定該芯片不合格；若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測，二測時，2個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分，手機公司將認定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元，每顆芯片若被認定為合格或不合格，將不再進行后續(xù)測試，現(xiàn)手機公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費為10萬元，試問預(yù)算經(jīng)費是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．20．（12分）已知（1）若，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的范圍；（2）若函數(shù)有兩個極值點，且存在滿足，令函數(shù)，試判斷零點的個數(shù)并證明．21．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)在點處的切線斜率為0.（1）試用含有的式子表示，并討論的單調(diào)性；（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點，，如果在函數(shù)圖象上存在點，使得在點處的切線，則稱存在“跟隨切線”.特別地，當時，又稱存在“中值跟隨切線”.試問：函數(shù)上是否存在兩點使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.22．（10分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,底面,是的中點.（1）.求證:平面平面;（2）.若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

結(jié)合不等式、三角函數(shù)的性質(zhì),對三個命題逐個分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對于命題①,因為,所以“”是真命題,故其否定是假命題,即①是假命題;對于命題②,充分性:中,若,則,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命題②正確;對于命題③,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得到的圖象,即命題③是假命題．故假命題有①③.故選:C【點睛】本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】由，可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，則，則，故選B.點睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，試題有一定的技巧，屬于中檔試題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.3、C【解析】

分兩類進行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對應(yīng)的組合數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學生只選物理和歷史中的一門，則有種組合；若一名學生物理和歷史都選，則有種組合；因此共有種組合.故選C【點睛】本題主要考查兩個計數(shù)原理，熟記其計數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.4、D【解析】

由恒成立，等價于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當時，不符合題意，只須考慮的情形，當與圖象相切于時，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，此時，故.故選：D【點睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.5、B【解析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:【點睛】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.6、C【解析】

將，，，代入，解得，再分類討論，利用余弦弦定理求，再用平方關(guān)系求解.【詳解】已知，，，代入，得，即，解得，當時，由余弦弦定理得：，.當時，由余弦弦定理得：，.故選：C【點睛】本題主要考查余弦定理和平方關(guān)系，還考查了對數(shù)學史的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為表示圓，所以，解得，因為直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時，因為，在遞增，所以的最大值.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8、B【解析】

由題意知，，由，知，由此能求出．【詳解】由題意知，，，解得，，．故選：B．【點睛】本題考查離散型隨機變量的方差的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的靈活運用．9、D【解析】

易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點為，所以，∴，問題轉(zhuǎn)化為：使方程在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域為，∴.故選D．【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.10、C【解析】

由知，展開式中項有兩項，一項是中的項，另一項是與中含x的項乘積構(gòu)成.【詳解】由已知，，因為展開式的通項為，所以展開式中的系數(shù)為.故選：C.【點睛】本題考查求二項式定理展開式中的特定項，解決這類問題要注意通項公式應(yīng)寫準確，本題是一道基礎(chǔ)題.11、A【解析】

由題意，可得，，消去得,可得，繼而得到，代入即得解【詳解】由，，成等差數(shù)列，所以，又，，成等比數(shù)列，所以，消去得，所以，解得或，因為，，是不相等的非零實數(shù)，所以，此時，所以．故選：A【點睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.12、A【解析】

對函數(shù)求導(dǎo),可得,即可求出,進而可求出答案.【詳解】因為,所以,則,解得,則.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值,考查了學生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解析】

①根據(jù)換底公式計算即可得解；②根據(jù)同底對數(shù)加法法則，結(jié)合①的結(jié)果即可求解.【詳解】①由題：,則；②由①可得：.故答案為：①1，②0【點睛】此題考查對數(shù)的基本運算，涉及換底公式和同底對數(shù)加法運算，屬于基礎(chǔ)題目.14、4【解析】

由題可分析函數(shù)與的三個相鄰交點中不相鄰的兩個交點距離為,即,進而求解即可【詳解】由題意得函數(shù)的最小正周期,解得故答案為：4【點睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的應(yīng)用,考查求正弦型函數(shù)中的15、【解析】

由已知可知直線過拋物線的焦點，求出弦的中點到拋物線準線的距離，進一步得到弦的中點到直線的距離．【詳解】解：如圖，直線過定點，，而拋物線的焦點為，，弦的中點到準線的距離為，則弦的中點到直線的距離等于．故答案為：．【點睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．16、1【解析】

當時，得，或，依題意可得，可求得，繼而可得答案．【詳解】因為點的橫坐標為1，即當時，，所以或，又直線與函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的公共點從左到右依次為，，所以，故，所以函數(shù)的關(guān)系式為．當時，（1），即點的橫坐標為1，為二函數(shù)的圖象的第二個公共點．故答案為：1．【點睛】本題考查三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換、正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力及思維能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取中點，連，，根據(jù)平行四邊形，可得，進而證得平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)，得平面，又由，即可得到平面.（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式，利用等積法，即可求解.【詳解】（Ⅰ）取中點，連，，由，可得，可得是平行四邊形，則，又平面，∴平面平面，∵平面，平面，∴平面平面，∵，是中點，則，而平面平面，而，∴平面.（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式，得.【點睛】本題主要考查了空間中線面位置關(guān)系的判定與證明，以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，以及合理利用“等體積法”求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）由an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，對分奇偶討論，即可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，用錯位相減法求出，運用分析法證明即可.【詳解】（Ⅰ），當為奇數(shù)時，，又由，得，當為偶數(shù)時，，又由a2＝3，得，；（Ⅱ）由（1）得，則①②①-②可得：，，若證明Sn，則需要證明，又，即證明，即證，又顯然成立，故Sn得證.【點睛】本題主要考查了由遞推公式求通項公式，錯位相減法求前項和，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，考查了學生的運算求解與邏輯推理能力.19、（1）（2）預(yù)算經(jīng)費不夠測試完這100顆芯片，理由見解析【解析】

（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這100顆芯片評測分數(shù)的平均數(shù)；（2）先求出每顆芯片的測試費用的數(shù)學期望，再比較得解.【詳解】（1）依題意，，故．又因為．所以，所求平均數(shù)為（萬分）（2）由題意可知，手機公司抽取一顆芯片置于一個工程機中進行檢測評分達到11萬分的概率．設(shè)每顆芯片的測試費用為X元，則X的可能取值為600，900，1200，1500，，，故每顆芯片的測試費用的數(shù)學期望為（元），因為，所以顯然預(yù)算經(jīng)費不夠測試完這100顆芯片．【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算，考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20、（1）（2）函數(shù)有兩個零點和【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)大于或等于0（2）先判斷為一個零點，然后再求導(dǎo)，根據(jù)，化簡求得另一個零點。解析：（1）當時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，恒成立．[來源:Z&X&X&K]函數(shù)的對稱軸為．①，即時，，即，解之得，解集為空集；②，即時，即，解之得，所以③，即時，即，解之得，所以綜上所述，當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）∵有兩個極值點，∴是方程的兩個根，且函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∵∴函數(shù)也是在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∵，∴是函數(shù)的一個零點．由題意知：∵，∴，∴∴，∴又=∵是方程的兩個根，∴，,∴∵函數(shù)圖像連續(xù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴當時，，當時，當時，∴函數(shù)有兩個零點和．21、（1），單調(diào)性見解析；（2）不存在，理由見解析【解析】

（1）由題意得，即可得；求出函