上海市部分重點中學2025屆高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題含解析

上海市部分重點中學2025屆高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設全集U=R，集合，則（）A．{x|-1<x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1}2．如圖，雙曲線的左，右焦點分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點.若則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．3．幻方最早起源于我國，由正整數(shù)1，2，3，……，這個數(shù)填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形數(shù)陣就叫階幻方．定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和，如，則（）A．55 B．500 C．505 D．50504．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種5．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內一點，且，則（）A． B． C． D．6．設命題：，，則為A．， B．，C．， D．，7．“角谷猜想”的內容是：對于任意一個大于1的整數(shù)，如果為偶數(shù)就除以2，如果是奇數(shù)，就將其乘3再加1，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知，，是平面內三個單位向量，若，則的最小值（）A． B． C． D．59．已知函數(shù)，，若總有恒成立.記的最小值為，則的最大值為（）A．1 B． C． D．10．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A． B．3 C． D．411．設為的兩個零點，且的最小值為1，則（）A． B． C． D．12．設復數(shù)z＝，則|z|＝（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，，則__________.14．如圖，從一個邊長為的正三角形紙片的三個角上，沿圖中虛線剪出三個全等的四邊形，余下部分再以虛線為折痕折起，恰好圍成一個缺少上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱柱的上底，則所得正三棱柱的體積為______.15．設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若an0，a1=1，且2Sn=an（an+t），n∈N*，則S10=_____.16．如圖，的外接圓半徑為，為邊上一點，且，，則的面積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知都是各項不為零的數(shù)列，且滿足其中是數(shù)列的前項和，是公差為的等差數(shù)列．（1）若數(shù)列是常數(shù)列，，，求數(shù)列的通項公式；（2）若是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若（為常數(shù)，），．求證：對任意的恒成立．18．（12分）設函數(shù)，．（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）時，若，，求證：．19．（12分）如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點，為的中點，在線段上，且。將沿折起，使點到的位置（如圖2所示），且。（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值20．（12分）若正數(shù)滿足，求的最小值.21．（12分）已知數(shù)列滿足：，，且對任意的都有,（Ⅰ）證明：對任意，都有；（Ⅱ）證明：對任意，都有；（Ⅲ）證明：.22．（10分）如圖，空間幾何體中，是邊長為2的等邊三角形，，，，平面平面，且平面平面，為中點.（1）證明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

解一元二次不等式求得集合，由此求得【詳解】由，解得或.因為或，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補集的概念和運算，屬于基礎題.2、A【解析】

易得，過B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時，最關鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.3、C【解析】

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，可得，即得解.【詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行（或每列）的數(shù)的和，又階幻方有行（或列），因此，，于是．故選：C【點睛】本題考查了數(shù)陣問題，考查了學生邏輯推理，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.4、C【解析】

根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，即可求解.【詳解】由題意，“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰時，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié)，有3種，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，安排在剩下的3個位置，有種，所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選：C.【點睛】本題主要考查了排列、組合的應用，其中解答中認真審題，根據(jù)題設條件，先排列有限制條件的元素是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.5、D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.6、D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.【點睛】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關系，是基礎題.7、B【解析】

模擬程序運行，觀察變量值可得結論．【詳解】循環(huán)前，循環(huán)時：，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足條件，退出循環(huán)，輸出．故選：B．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結構，解題時可模擬程序運行，觀察變量值，從而得出結論．8、A【解析】

由于，且為單位向量，所以可令，，再設出單位向量的坐標，再將坐標代入中，利用兩點間的距離的幾何意義可求出結果．【詳解】解：設，，，則，從而，等號可取到．故選：A【點睛】此題考查的是平面向量的坐標、模的運算，利用整體代換，再結合距離公式求解，屬于難題．9、C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構造函數(shù),求導后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡可得,求得,再換元求導分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設,則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調遞增,無最大值.若,則當時,,在上單調遞減,當時,,在上單調遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當時,,在遞減；當時,,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選：C【點睛】本題主要考查了根據(jù)導數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進而求導構造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.10、B【解析】由正弦定理及條件可得，即.，∴，由余弦定理得?！?選B。11、A【解析】

先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f（x）的最小值正周期T為1×2，再求出ω的值．【詳解】由題得,設x1，x2為f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的兩個零點，且的最小值為1，∴=1，解得T=2；∴=2，解得ω=π．故選A．【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是基礎題．12、D【解析】

先用復數(shù)的除法運算將復數(shù)化簡，然后用模長公式求模長.【詳解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,則|z|＝＝＝＝.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的基本概念和基本運算,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

由題意得，，再代入中，計算即可得答案.【詳解】由題意可得，，∴，解得，∴.故答案為：.【點睛】本題考查向量模的計算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意向量數(shù)量積公式的運用.14、1【解析】

由題意得正三棱柱底面邊長6，高為，由此能求出所得正三棱柱的體積．【詳解】如圖，作，交于，，由題意得正三棱柱底面邊長，高為，所得正三棱柱的體積為：．故答案為：1．【點睛】本題考查立體幾何中的翻折問題、正三棱柱體積的求法、三棱柱的結構特征等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意翻折前后的不變量．15、55【解析】

由求出.由，可得，兩式相減，可得數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即求.【詳解】由題意，當n=1時，，當時，由，可得，兩式相減，可得，整理得，，即，∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，.故答案為：55.【點睛】本題考查求數(shù)列的前項和，屬于基礎題.16、【解析】

先由正弦定理得到，再在三角形ABD、ADC中分別由正弦定理進一步得到B=C，最后利用面積公式計算即可.【詳解】依題意可得，由正弦定理得，即，由圖可知是鈍角，所以，，在三角形ABD中，，，在三角形ADC中，由正弦定理得即，所以，，故，，，故的面積為.故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理解三角形，考查學生的基本計算能力，要靈活運用正弦定理公式及三角形面積公式，本題屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】

(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項與前項和的關系求解即可.(2)取,并結合通項與前項和的關系可求得再根據(jù)化簡可得,代入化簡即可知,再證明也成立即可.(3)由(2)當時,,代入所給的條件化簡可得,進而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.【詳解】解：．是各項不為零的常數(shù)列,則,則由,及得,當時,,兩式作差,可得．當時,滿足上式,則；證明：,當時,,兩式相減得：即．即．又,,即．當時,,兩式相減得：．數(shù)列從第二項起是公差為的等差數(shù)列．又當時,由得,當時,由,得．故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；證明：由,當時,,即,,,即,即,當時,即．故從第二項起數(shù)列是等比數(shù)列,當時,．．另外,由已知條件可得,又,,因而．令,則．故對任意的恒成立．【點睛】本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運用,需要熟練運用通項與前項和的關系分析數(shù)列的遞推公式繼而求解通項公式或證明等差數(shù)列等.同時也考查了數(shù)列中的不等式證明等,需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項,再利用作商法證明.屬于難題.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）首先對函數(shù)求導，再根據(jù)參數(shù)的取值，討論的正負，即可求出關于的單調性即可；（2）首先通過構造新函數(shù)，討論新函數(shù)的單調性，根據(jù)新函數(shù)的單調性證明.【詳解】（1），令，則，令得，當時，則在單調遞減，當時，則在單調遞增，所以，當時，，即，則在上單調遞增，當時，，易知當時，，當時，，由零點存在性定理知，，不妨設，使得，當時，，即，當時，，即，當時，，即，所以在和上單調遞增，在單調遞減；（2）證明：構造函數(shù)，，，，整理得，，（當時等號成立），所以在上單調遞增，則，所以在上單調遞增，，這里不妨設，欲證，即證由（1）知時，在上單調遞增，則需證，由已知有，只需證，即證，由在上單調遞增，且時，有，故成立，從而得證.【點睛】本題主要考查了導數(shù)含參分類討論單調性，借助構造函數(shù)和單調性證明不等式，屬于難題.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明線面平行，需證明線線平行，取的中點，連接，根據(jù)條件證明，即；（2）以為原點，所在直線為軸，過作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，求兩個平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取的中點，連接.∵，∴為的中點.又為的中點，∴.依題意可知，則四邊形為平行四邊形，∴，從而.又平面，平面，∴平面.（2），且，平面，平面，，，且，平面，以為原點，所在直線為軸，過作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則，，，，，，，，.設平面的法向量為，則，即，令，得.設平面的法向量為，則，即，令，得.從而，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明和空間坐標法解決二面角的問題，意在考查空間想象能力，推理證明和計算能力，屬于中檔題型，證明線面平行，或證明面面平行時，關鍵是證明線線平行，所以做輔助線或證明時，需考慮構造中位線或平行四邊形，這些都是證明線線平行的常方法.20、【解析】試題分析：由柯西不等式得，所以試題解析：因為均為正數(shù)，且，所以．于是由均值不等式可知，當且僅當時，上式等號成立．從而．故的最小值為．此時．考點：柯西不等式21、（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】分析：(1)用反證法證明，注意應用題中所給的條件，有效利用，再者就是注意應用反證法證題的步驟；(2)將式子進行相應的代換，結合不等式的性質證得結果；(3)結合題中的條件，應用反證法求得結果.詳解：證明：（Ⅰ）證明：采用反證法，若不成立，則若,則,