2025年高考一輪復習 專題10 三角函數的概念 誘導公式（思維導圖+知識清單+核心素養(yǎng)分析+方法歸納）

專題10三角函數的概念誘導公式目錄01思維導圖02知識清單03核心素養(yǎng)分析04方法歸納一、角的概念1.角的定義角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.旋轉開始時的射線叫做角的始邊，旋轉終止時的射線叫做角的終邊，射線的端點叫做角的頂點.2.角的分類任意角包括：正角、負角、零角.正角：一條射線按逆時針方向旋轉形成的角.負角：一條射線按順時針方向旋轉形成的角.零角：一條射線沒有進行任何旋轉形成的角.溫馨提示：對于角的形成過程，既要有旋轉量，又要有旋轉方向。二、終邊相同的角所有與角a終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S={β|β=α+k360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和.溫馨提示：1.相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等，終邊相同的角有無數個，它們之間相差360°的整數倍；2.終邊在一條直線上的角之間相差180°的整數倍；3.終邊在互相垂直的兩條直線上的角之間相差90°的整數倍.三、象限角與軸線角1.象限角、軸線角的概念(1)象限角在平面直角坐標系中，如果角的頂點在原點，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么,角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.(2)軸線角如果角的終邊在坐標軸上，則這個角不屬于任何象限，稱這個角為軸線角，2.象限角的集合表示銳角為{α|0?<a<90°},小于90°的角不等同于銳角，銳角不等同于第一象限的角.3.軸線角的集合表示(1)終邊在x軸上的角{a|a=k·180°,k∈Z}.(2)終邊在y軸上的角{a|a=k·180°+90°,k∈Z).(3)終邊在坐標軸上的角{αlα=k·90°,k∈Z}.(4)終邊在x軸非負半軸上的角{ala=k·360°,k∈Z}.(5)終邊在x軸非正半軸上的角{a|a=k·360°+180°,k∈Z},(6)終邊在y軸非負半軸上的角{αla=k·360°+90°,k∈Z).(7)終邊在y軸非正半軸上的角{αla=k·360°+270°,k∈Z}.四、角度制與弧度制的概念1.角度制角可以用度為單位進行度量，1度的角等于周角的這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.2.弧度制(1)1弧度的角把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.(2)弧度制用+弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.用符號rad表示，讀作弧度.溫馨提示：無論是以弧度還是以度為單位的角的大小都是一個與半徑的大小無關的定值.(3)弧度數公式如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l,那么,角α的弧度數的絕對值是五、角度與弧度的換算角度與弧度的換算公式360?=2πrad,180°=πrad.六、弧長公式、扇形面積公式1.弧長公式角度制：為圓心角的角度數，R為扇形的半徑).弧度制：l=aR(a為圓心角的弧度，0<a<2π,R為扇形的半徑).2.扇形面積公式角度制：(n為圓心角的角度數，R為扇形的半徑).弧度制：(a為圓心角的弧度，0<a<2π,R為扇形的半徑，l為扇形的弧長).溫馨提示：涉及弧長和扇形面積的計算時，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結構簡單，易記好用，在使用前，應將圓心角用弧度表示.七、任意角的三角函數(1)定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．(2)推廣：三角函數坐標法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設點到原點的距離為，則，，三角函數的性質如下表：三角函數定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣:三角函數值在各象限的符號規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．(3)三角函數線當角α的終邊與x軸重合時，正弦線、正切線都變成一個點，此時角α的正弦值和正切值都為0;當角α的終邊與y軸重合時，余弦線變成一個點，正切線不存在，此時角α的余弦值為0,正切值不存在.八、同角三角函數基本關系(1)平方關系：．(2)商數關系：；九、三角函數誘導公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數式中的角統(tǒng)一寫作；無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設三角函數在該象限的正負；（3）當為奇數是，“奇變”，正變余，余變正；當為偶數時，“偶不變”函數名保持不變即可．溫馨提示：1．利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．2．1.任意角、弧度制的概念，角度與弧度的互化是解三角函數的問題基礎.2.利用同角三角函數的基本關系求解問題的關鍵是熟練掌握同角三角函數的基本關系的正用、逆用、變形．同角三角函數的基本關系本身是恒等式，也可以看作是方程，對于一些問題，可利用已知條件，結合同角三角函數的基本關系列方程組，通過解方程組達到解決問題的目的．3.若已知正切值，求一個關于正弦和余弦的齊次式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉化為一個關于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，這是同角三角函數關系中的一類基本題型．4.本專題在高考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；誘導公式在任意角三角函數的化簡中起到重要作用.一、角及其表示例1(1)(多選)下列命題正確的是()A．終邊落在x軸的非負半軸的角的集合為{α|α＝2kπ，k∈Z}B．終邊落在y軸上的角的集合為{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C．第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))D．在－720°～0°范圍內所有與45°角終邊相同的角為－675°和－315°答案AD解析B項，終邊落在y軸上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，角度與弧度不能混用，故錯誤；C項，第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ<α<\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))，故錯誤；D項，所有與45°角終邊相同的角可表示為β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，解得－eq\f(17,8)≤k≤－eq\f(1,8)(k∈Z)，從而當k＝－2時，β＝－675°；當k＝－1時，β＝－315°，故正確．(2)已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)是第______象限角，2α是________的角．答案二、四第一、二象限或y軸的非負半軸上解析∵α是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，∴kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z，4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.當k為偶數時，eq\f(α,2)為第二象限角；當k為奇數時，eq\f(α,2)為第四象限角，而2α的終邊落在第一、二象限或y軸的非負半軸上．方法歸納：(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k(k∈Z)賦值來求得所需的角．(2)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．二、弧度制及其應用例2一扇形的圓心角α＝eq\f(π,3)，半徑R＝10cm，求該扇形的面積．解由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴S扇形＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,3)·102＝eq\f(50π,3)(cm2)．延伸探究1．若本例條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積．解l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·R2·sineq\f(π,3)＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)．2．若將本例已知條件改為：“扇形周長為20cm”，則當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？解由已知得，l＋2R＝20，則l＝20－2R(0<R<10)．所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以當R＝5cm時，S取得最大值25cm2，此時l＝10cm，α＝2rad.方法歸納：應用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．三、三角函數的概念例3(1)若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，則角θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案D解析由eq\f(tanθ,sinθ)>0，得eq\f(1,cosθ)>0，所以cosθ>0.又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ為第四象限角．(2)已知α的終邊在直線y＝2x上，則sinα＝________.答案±eq\f(2\r(5),5)解析由題意可知，α終邊落在第一或第三象限，且tanα＝2，若在第一象限，可在α終邊上任取一點(1,2)，∴sinα＝eq\f(2,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5)，若在第三象限，可在α終邊上任取一點(－1，－2)，∴sinα＝eq\f(－2,\r(－12＋－22))＝－eq\f(2\r(5),5).(3)已知α的終邊過點(x,4)，且cosα＝－eq\f(3,5)，則tanα＝________.答案－eq\f(4,3)解析∵α的終邊過點(x,4)，且cosα＝－eq\f(3,5)，∴x<0.∵cosα＝eq\f(x,\r(x2＋16))＝－eq\f(3,5)，∴x＝－3，∴tanα＝－eq\f(4,3).方法歸納：(1)利用三角函數的定義，已知角α終邊上一點P的坐標可求α的三角函數值；已知角α的三角函數值，也可以求出角α終邊的位置．(2)判斷三角函數值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數值在各象限的符號確定所求三角函數值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．四、同角三角函數基本關系例4(1)已知cosα＝－eq\f(5,13)，則13sinα＋5tanα＝.答案0解析∵cosα＝－eq\f(5,13)<0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，則sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(12,13),－\f(5,13))＝－eq\f(12,5).此時13sinα＋5tanα＝13×eq\f(12,13)＋5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)))＝0.②若α是第三象限角，則sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝－eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(12,13),－\f(5,13))＝eq\f(12,5)，此時，13sinα＋5tanα＝13×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋5×eq\f(12,5)＝0.綜上，13sinα＋5tanα＝0.(2)已知tanα＝eq\f(1,2)，則eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝；sin2α＋sinαcosα＋2＝.答案－eq\f(5,3)eq\f(13,5)解析已知tanα＝eq\f(1,2)，所以eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝－eq\f(5,3).sin2α＋sinαcosα＋2＝eq\f(sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋2＝eq\f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＋2＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1)＋2＝eq\f(13,5).(3)已知sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，θ∈(0，π)，則tanθ＝.答案－eq\f(12,5)解析由sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，得sinθcosθ＝－eq\f(60,169)，因為θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以sinθ－cosθ＝eq\r(1－2sinθcosθ)＝eq\f(17,13)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(7,13)，,sinθ－cosθ＝\f(17,13)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(12,13)，,cosθ＝－\f(5,13)，))所以tanθ＝－eq\f(12,5).方法歸納：(1)應用公式時注意方程思想的應用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.五、誘導公式例5（1）已知，則.答案分析利用誘導公式化簡，然后弦化切可得.解析因為，所以，原式.故