第21講 向量的轉換與計算（解析版）

一．選擇題（共1小題）1．F是拋物線C:y2=4x的焦點，過F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1，l2，l1交【解答】解：拋物線C:y2=4x的焦點F(1,0)，設l1的方程：y=k(x-1)，l2的方程A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)，由，消去y得：k2x2-x+k2=0，由，消去y得：x2-x+1=0，:x3+x4=4k2+2，x3x4=1，?（9分）:AGHB=(AF+FG)(HF+FB)=|AF||FB|+|FG|=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)當且僅當=4k2，即k=±1時，●有最小值16，?（12分）故選：C.二．解答題（共14小題）2．已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準線為l，焦點為F，M的同心在x軸的正半軸上，且與y軸相切，過原點作傾斜角為的直線n，交l于點A，交M于另一點B，且(Ⅱ)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的相交線l1、l2，設l1與拋物線C相交于點P、Q，l2與拋物線C相交于點G、H，求●的最小值.解：準線l交y軸于N，在RtΔOAN中，拋物線方程是y2=4x，:OM=OB=2，由y2設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個實根，丄l2，:l2的斜率為，:PGHQ=(PF+FG:PGHQ=(PF+FG)(HF+FQ)=PFHF+PFFQ+FG=PFHF+PFFQ+FGHF+FGFQx22x4（1）求拋物線C的標準方程，并求其準線方程；（2）是否存在平行于OA(O為坐標原點）的直線l，使得直線OA與l的距離等于？若存在，求直線l的方程，若不存在，說明理由.（3）過拋物線C的焦點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設l1與拋物線C相交于點M，N，l2與拋物線C相交于點D，E，求M.的最小值.故所求拋物線C的方程為y2=4x，（2）假設存在符合題意的直線l，」直線l與拋物線C有公共點， 55:符合題意的直線l存在，其方程（3）由題意可知：設M(x1，y1)，N(x2，y2)，設直線l1的斜率為k≠0，則l1的方程為y=k(x1)，聯(lián)立丄l2，:直線l2的斜率為，方程為，設D(x3，y3)，B(x4，y4).x2(2MD.NE=(MF+FD).(NF+FE)=MF.NF+MF.FE+FD.NF+FD.FE3x23x422:當k=±1時，MD.NE的最小值4．已知點M(1,m)在拋物線C:y2=2px(p>0)上，點M到拋物線C的焦點F的距離為2，過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1、l2，設l1與拋物線相交于點A、B，l2與拋物線相交于點D、E.（1）求拋物線C的方程；（2）求AD【解答】解1）」點M(1,m)在拋物線C:y2=2px(p>0)上，點M到拋物線C的焦點F的距離為2，:拋物線C的方程為y2=4x；（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)由題意知，直線l1的斜率存在且不為零，設為k，則l1的方程為y=k(x一1).丄lADEB=(AF+FD)(EF+FB)=ADEB=(AF+FD)(EF+FB)=2x23x45．如圖，已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于M，N兩點，點P的坐標為(1,·)，OP丄MN交MN于點P，OM丄ON，拋物線的焦點為F.（1）求p的值2）記條件（1）所求拋物線為曲線C，過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設l1與曲線C相交于點A，B，l2與曲線C相交于點D，E，求A●E的最小值.【解答】解1）設M(x1，y1)，N(x2，y2)，由OM丄ON，得x1x2+y1y2=02 ·3p,y1y2=8p③ 所以p=2；（2）由（1）知拋物線方程為y2=4x由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設為k設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個實根，于是16，:y1，y2=4，丄l2，:l2的斜率為.ADEB=(AF+FD)(EF+FB)=AFFB+FDEF———→ADEB=(AF+FD)(EF+FB)=AFFB+FDEF)(x21)y1y2+(x31)(1x4)y3y42)x1x21y1y2+(x3+x4)x3x41y3y426．已知平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(Ⅱ)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設l1與軌跡C相交于點A，B，l2———→——與軌跡C相交于點D，E，求AD.EB———→——所以動點P的軌跡C的方程為y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).丄l2，:直線l2的斜率為.設D(x3，y3)，E(x4，y4)故AD.EB=(AF+FD).(EF+FB)=AF.EF+AF.FB+FD.EF+FD.FB故AD.EB=(AF+FD).(EF+FB)=AF.EF+AF.FB+FD.EF+FD.FB1234x23x422當且僅當k2=k2，即k=±1時，AD.EB的最小值為16(2,0)為左焦點，點M()在橢圓上.（1）求橢圓C的方程；（2）過點F1作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設L3與橢圓C相交于點A，B．l2與橢圓C相交于點D．E，求●的最小值.【解答】解1）」橢圓C的左焦點F1(—2,0):c=2，右焦點F2(2,0)」點M(2,3)在橢圓上22:橢圓C的方程+=1丄l3y4DFDF1B●(-2-x4，-y4)2y2)-(x3x4+2x3+2x4+4+y2=(ny1-2)(ny2-2)+2ny1-4+2ny22)y1y23y4)=y3y4:ADEB=-[(1+n:ADEB=-[(1+n2)y1y2+n2y3y4]———→——1即n=±1時AD———→——38．設定點F(1,0)，動圓P過點F且與直線x=-1相切.（1）求動圓圓心P的軌跡C的方程；（2）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設l1與軌跡C相交于點A，B，l2與———→——軌跡C相交于點D，E，求AD———→——【解答】解1）」定點F(1,0)，動圓P過點F且與直線x=-1相切，:依題意知，點P的軌跡C是以F(1,0)為焦點，以直線經(jīng)為準線的拋物線，:動圓圓心P的軌跡C的方程為y2=4x.（2）由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設為k，則l1的方程為y=k(x-1).x2丄l2，:l2的斜率為-.設D(x3，y3)，E(x4，y4)，則同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1.故ADEB=(AF+故ADEB=(AF+FD)(EF+FB)=AFEF+AFFB+FDEF+FDFB=AFEF+AFFB+FDEF+FDFB=|AF||FB|+|FD=|AF||FB|+|FD=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1當且僅當，即k=±1時，AD●EB取得最小值169．已知橢圓C的兩個焦點是(0,一)和(0,)，并且經(jīng)過點拋物線的頂點E在坐標原點，焦點恰好是橢圓C的右頂點F.(Ⅱ)過點F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1、l2，l1交拋物線E于點A、B，l2交【解答】解：(I)設橢圓的標準方程為焦距為2c，:橢圓C的標準方程為+x2=1.…（4分）:右頂點F的坐標為(1,0).設拋物線E的標準方程為y2=2px(p>0)，:拋物線E的標準方程為y2=4x.?（6分）(Ⅱ)設l1的方程：y=k(x-1)，l2的方程，G(x3，y3)，H(x4，y4)，由消去y得：k2x2-x+k2=0，由消去y得：x2-x+1=0，:x3+x4=4k2+2，x3x4=1，?（9分）:AGHB=(AF+FG:AGHB=(AF+FG)(HF+FB)=AFHF+AFFB+FGHF+FGFB=AFHF+AFFB+FGHF+FGFB=|AF||FB|+|FG|=|AF||FB|+|FG||H=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)|構成等差數(shù)列.(Ⅱ)設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點，與橢圓相交于A，B兩點的直線，OP|，是否存在上述直線l使APPB【解答】解：(Ⅰ)依題意，設橢圓C的F2|構成等差數(shù)列，|F可得橢圓C的方程為假設存在直線l使APPB當x=1時，同理可得APPB≠1，(ⅱ)當l與x軸不垂直時，設l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點且|OP|=1，得m2=1+k2，OAOB=(OP+PA)(OP+PB)=0，可得x1x2+y1y2=0，將y=kx+m代入橢圓方程，得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0，由根與系數(shù)的關系得x1+x2=-，x1x2=x1x2+y1y2=0，即為x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，即-5(1+k2)=0，矛盾，故此時的直線l也不存在.綜上可知，使APPB=111．如圖，已知點S(—2,0)和圓O:x2+y2=4，ST是圓O的直徑，從左到右M、O和N依直線PS與TE交于C，|CM|+（1）求點C的軌跡曲線Γ的方程及λ的值；（2）設n是過原點的直線，直線l與n垂直相交于Q點，l與軌跡Γ相交于A，B兩點，且請說明理由.【解答】解1）由題意，T(2,0)，M(—1,0)，N(1,0)，①且，②2①②相乘得又點P是圓O上的動點，故14分）此時即λ=時，點C的軌跡曲線E的方程為———→———→———（2）設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，假設使AQQB=1成立的直線l存在，(ⅰ)當l不垂直于x軸時，設l的方程為y=kx+m，——●———→———→————————:OAOB=(OQ+QA)(OQ+QB)=0即x1x2+y1y2=0，將y=kx+m代入橢圓方程，得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2—12)=00=x1x2+y1y2=x1x2+(將m2=1+k2代入⑥并化簡得—5(k2+1)=0，矛盾，即此時直線l不存在；(ⅱ)當l垂直于x軸時，滿足||=1的直線l的方程為x=1或x=1，———→———:AQQB=4≠:AQQB=4≠1———→———當x=1時，同理可得AQQB≠1———→——————→———綜上可知，使AQQB———→———12．橢圓的一個頂點為M(0,)，焦點在x軸上，若右焦點到直線x一y+1=0的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）設n是過原點的直線，直線l與n垂直相交于點P且與橢圓相交于A、B兩點，OP|=1———→——是否存在上述直線l使APPB=1成立？若存在，求出直線l———→——【解答】解1）設橢圓方程為22則橢圓的方程為（2）設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2).———→——假設使APPB=1———→——①當l不垂直于x軸時，設l的方程為y=kx+m，2:OAOB=(OP+PA)(OP+:OAOB=(OP+PA)(OP+PB)」l與C有兩個交點，x:x1x2+y1y2=x1x222:m≠0②當l垂直于x軸時，:APPB=413．如圖，已知點S(—2,0)和圓O:x2+y2=4，ST是圓O的直徑，從左到右M和N依次是直線PS與TE交于C，|CM|+|CN|為定值.（1）求λ的值及點C的軌跡曲線E的方程；（2）設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于Q點、與軌跡E相交于A，B兩點的直線，|OQ|=1，是否存在上述直線l，使AQQB=直線PS與TE交于C，故x≠±22①②相乘得要使|CM|+|CN|為定值，則4—=1，解得λ=———→———即λ=時，點C的軌跡曲線———→———（2）設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，假設使AQQB=1成立的直線l存在，(ⅰ)當l不垂直于x軸時，設l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于Q點且|OQ|=1，得=1，即m2=2即x1x2+y1y2=0，將y=kx+m代入橢圓方程，得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2—12)=0由求根公式可得x1+x2=，④x1x2=0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2將m2=1+k2代入⑥并化簡得—5(k2+1)=0，矛盾，即此時直線l不存在，(ⅱ)當l垂直于x軸時，滿足|OQ|當x=1時，同理可得●≠1，矛盾，即此時直線l也不存在———→———綜上可知，使AQQB=1———→———14．已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的周長為4(·2+1)(Ⅱ)設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A，B兩點的直線，OP|=1，是否存在上述直線l使AP.PB=1成立？若存在，求出直線【解答】解：(Ⅰ)設橢圓的半焦距為c，所以a=2·,c=2，又a2=b2+c2，因此b故橢圓的標準方程為=1（6分）———→——假設使AP.PB=1成立的直線———→——由l與n垂直相交于P點且|OP|=1得=1，即m2