第23講 定點問題（解析版）

一．選擇題（共1小題）2=4，點P為直線x+2y-9=0上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA、PB，A、B為切點，則直線AB經(jīng)過定點()【解答】解：因為P是直線x+2y-9=0的任一點，所以設(shè)P(9-2m,m)，因為圓x2+y2=4的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，則點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，即AB是圓O和圓C的公共弦，則圓心C的坐標是，)，且半徑的平方是所以圓C的方程是①②-①得，(2m-9)x-my+4=0，即公共弦AB所在的直線方程是：(2m-9)x-my+4=0，即m(2x-y)+(-9x+4)=0，所以直線AB恒過定點，故選：A.二．解答題（共18小題）2．已知圓C的圓心坐標為C(3,0)，且該圓經(jīng)過點A(0,4).（2）若點B也在圓C上，且弦AB長為8，求直線AB的方程；（3）直線l交圓C于M，N兩點，若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線l過一個定點，并求出該定點坐標.（2）解：①當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=0，此時弦AB長為8，符合題意；②當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+4，所以綜上所述，直線AB的方程為x=0或7x（3）證明：當直線l斜率不存在時，設(shè)M(a,b)，N(a,—b)，:直線AM，AN的斜率之積為2，A(0,4)，:點M(a,b)在圓上，2聯(lián)立2=25，無解，舍去，當直線l斜率存在時，設(shè)直線l:y=kx+t，M(x1，kx1+t)，N(x2，kx2+t)，2化簡得+2，:直線l的方程為x+t，所以過定點(-6,-12). 的右焦點.（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l與橢圓C交于M，N兩點，則在x軸上是否存在一點P，使得x軸平分上MPN？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.所以橢圓C的方程為（2）由題意可知直線l的斜率不為0，F(xiàn)(2,0).若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，假設(shè)在x軸上存在一點P(t,0)，使得x軸平分上MPN，則kPM+kPN=0，所以=0．所以y1，所以k(x1-2)(x2-t)+k(x2-2)(x1-t)=0，所以2x1x2-(t+2)(x1+x2)+4t=0，若直線l斜率不存在時，則M，N兩點關(guān)于x軸對稱，當點P坐標為(4,0)時，x軸平分綜上所述，在x軸上存在一點P(4,0)，使得x軸平分上MPN. C上異于點B的任意兩點，且BP丄BQ.（1）求橢圓C的方程；（2）試問直線PQ是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由.【解答】解1）由題意得+c2，解得，（2）由BP丄BQ知直線BP，BQ的斜率存在且不為0.用-代替k，得Qk2-21-2k2于是直線PQ的斜率kFQ=直線PQ的方程為整理得(k2-1)x-k(3y+1)=0，當x=0，y=-時，對任意的k，(k2-1)x-k(3y+1)=0恒成立，所以直線PQ過定點AG.GB=8．P為橢圓外一點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D（1）求橢圓E的標準方程；（2）證明：直線CD過定點.【解答】解1）由題意知G(0,1)，A(—a,0)，B(a,0)，2故橢圓E的標準方程為+y2=1.證明2）設(shè)直線CD的方程為x=ty+m，C(x1，y1)，D(x2，y2)，ty2(m3)[2my1(m+3)(y1+y2)](m3)(2my1my13y1my23y2)(m+3)[2my2(m3)(y1+y2)](m+3)(2my2my1+3y1my2+3y2)6．已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點F與雙曲線—x2=1的一個焦點重合，D為直線y=2上的動點，過點D作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）求拋物線C的方程；（2）證明直線AB過定點.即有拋物線的焦點F(0,2)，所以拋物線C的方程為：x2=8y；x28kx+16=0……①,24(8kx0由①知等根為x=4k，故設(shè)A，則k所以直線AB過定點(0,2). （1）求橢圓C的方程；（2）過點P(1,1)分別作斜率為k1、k2的橢圓的動弦AB、CD，設(shè)M、N分別為線段AB、CD的中點，若k1+k2=1，是否存在一個定點Q，使得其在直線MN上，若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由. 解：:橢圓C:過點離心率為.2，解得a:橢圓C的方程為同理yN=直線MN的方程為=0時，直線MN即為y軸，此時也過點.綜上，直線MN恒過定點，且定點坐標為(0,—). 8．已知左焦點為F(—1,0)的橢圓過點E(1,)．過點P(1,1)分別作斜率為k1，k2的橢圓的動弦AB，CD，設(shè)M，N分別為線段AB，CD的中點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若P為線段AB的中點，求k1；1，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標.:所求橢圓方程為（2）解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則≠0時，直線MN的斜率直線MN的方程為2此時直線過定點(0,-)23=0時，直線MN即為y軸，此時亦過點(0,-)綜上，直線MN恒過定點，且坐標為（1）求橢圓C的方程；（2）過點A1作兩條射線分別與橢圓交于M、N兩點（均異于點A1)，且A1M丄A1N，證明：直線MN恒過x軸上的一個定點.=4，:a=2， 整理得=，:c=，:橢圓C的方程為+y2=1；（2）證明：由已知直線MN與y軸不垂直，假設(shè)其過定點T(n,0)，設(shè)其方程為x=my+n，若n=2，則T與A重合，不合題意，整理得綜上，直線MN過定點T(—,0).10．已知橢圓E:+=1的左右頂點分別為A，B，點P為橢圓上異于A，B的任意一點. (Ⅱ)過點Q(,0)作與x軸不重合的任意直線交橢圓E于M，N兩點．證明：以MN為直徑的圓恒過點A.則有」MN與x軸不重合，:設(shè)直線lMN:x=由化簡得， 1y22將{y1+y2=代入上式并化簡得，-25:AM丄AN，即以MN為直徑的圓恒過點A.11．已知點A(-1,0)，B(1,-1)，拋物線C:y2=4x，過點A的動直線l交拋物線C于M，P兩點，直線MB交拋物線C于另一點Q，O為坐標原點.（2）證明：直線PQ恒過定點.【解答】解1）設(shè)點M(x1，y1)，P(x2，y2)，由題意，設(shè)直線l:x=my-1，22:△=16m2-16>0，:m2>1，又y1y2=4，1y2)2（2）證明：設(shè)Q(，y3)，直線BQ的斜率為kBQ，直線QM的斜率為kQM，直線PQ的斜率為kPQ，:M，B，Q三點共線，:kBQ=kQM，:=，即:(y3+1)(y1+y3)=y-444:y(y2+y3)—y2y3=4x，由(*)式可知，y2y3=4(y2+y3)+4代入上式，得(y+4)(y2+y3)=4(x1)，令解得:直線PQ恒過定點(1,—4).12．已知點A(1,0)，B(1,1)和拋物線C:y2=4x，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖（2）若ΔPOM的面積為2，求向量OM與OP的夾角；（3）證明直線PQ恒過一個定點.證明：設(shè)點M」P、M、A三點共線，:kAM=kPM，即α=5，:tanα=1.?（8分）又α∈(0,兀)，:α∈(0,兀)，:α=45O，————→———→:OM與OP的夾角為45O.?（————→———→證明：設(shè)點Q，」M、B、Q三點共線，:kBQ=kQM，:(y3+1)(y1+y3)=y32—4，即y1y3+y1+y3+4=0，即4(y2+y3)+y2y3+4=0，(*)…（12分）44:直線PQ的方程是y—y2=即(yy2)(y2+y3)=4xy22，即y(y2+y3)—y2y3=4x，由(*)式，y2y3=4(y2+y3)+4，代入上式，得(y+4)(y1+y2)=4(x—1)，:直線PQ過定點E(1,—4).13．已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點為F，P是拋物線Γ上一點，且在第一象限，滿足FP=足FP=(2，23)（1）求拋物線Γ的方程；（2）已知經(jīng)過點A(3,—2)的直線交拋物線Γ于M，N兩點，經(jīng)過定點B(3,—6)和M的直線與拋物線Γ交于另一點L，問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明理由. 23)，P在拋物線上，所以(2·)2=2p(2+p)，即p2+4p—12=0，p>0，解得p=2，所以拋物線的方程為：2（2）設(shè)M(x0，y0)，N(x1，y1)，L(x2，y2)，則y=4x1，y=4x2，直線MN的斜率kMN=4同理可得直線ML的方程整理可得所以14．已知直線y=x2與拋物線y2=2px相交于A，B兩點，滿足OA丄OB．定點C(4,2)，D(4,0)，M是拋物線上一動點，設(shè)直線CM，DM與拋物線的另一個交點分別是E，F(xiàn).（1）求拋物線的方程；（2）求證：當M點在拋物線上變動時（只要點E、F存在且不重合直線EF恒過一個定點；并求出這個定點的坐標.【解答】解1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以拋物線的方程為：y2=2x；證明：設(shè)M由C，M，E三點共線可得，即整理可得：y0y1=2(y0+y1)-8，所以同理可得D，M，F(xiàn)三點共線，y2=，所以直線EF的方程：y-y1=2-2整理可得：y1y2=y(y1+y2)-2x，將y1，y2的值代入直線方程可得：(2x-2y)y+4(4-x)+8(2y-8)=0，所以直線EF過定點(4,4).15．已知直線l:y=2x與拋物線C:y=x2交于A(xA，yA)、O(0,0)兩點，過點O與直線l垂直的直線交拋物線C于點B(xB，yB)．如圖所示.（1）求拋物線C的焦點坐標；（2）求經(jīng)過A、B兩點的直線與y軸交點M的坐標；（3）過拋物線y=x2的頂點任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點A、B的直線AB是否恒過定點，如果是，指出此定點，并證明你的結(jié)論；如果不是，請說明理由.【解答】解1）拋物線C:y=的方程化為x2=4y，:2p=4，p=2.?（2分）:拋物線C的焦點坐標為(0,1).?（4分）所以直線AB的方程為y-1=●令x=0，解得y=4.:點M的坐標為(0,4).?（9分）（3）結(jié)論：過拋物線的頂點任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點的直線AB恒過定點(0,4).?（10分）證明如下：設(shè)過拋物線2的頂點的一條直線為y=kx(k≠0)，則另一條為，令x=0，解得y=4.:直線AB恒過定點(0,4).…（14分）16．過拋物線E:y2=2px(p>0)上一點M(1,—2)作直線交拋物線E于另一點N.(Ⅰ)若直線MN的斜率為1，求線段|MN|的長；(Ⅱ)不過點M的動直線l交拋物線E于A，B兩點，且以AB為直徑的圓經(jīng)過點M，問動直線l是否恒過定點．如果有求定點坐標，如果沒有請說明理由.【解答】解：(Ⅰ)把M點的坐標代入拋物線E:y2=2px(p>0)可得p=2，所以拋物線的方程為：y2=4x， 22，B(x2，y2)，2y12(x1即x5=k(y2)，直線恒過點(5,2). 的距離為2.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)橢圓E的右頂點為A，不經(jīng)過點A的直線l與橢圓E交于M，N兩點，且以MN為直徑的圓過A，求證：直線l恒過定點，并求出此定點坐標.【解答】解1）橢圓的離心率為，即a=2c.?（2分）橢圓E的右焦點(c,0)到直線l:y=x+1的距離為·.:c=1.?（4分）解得a=2，又a2=b2+c2，:b=，故橢圓E的方程為=1.?（5分）（2）由題意可知，直線l的斜率為0時，不合題意，不妨設(shè)直線l的方程為x=my+t，212設(shè)，則y1+y2=，y1y2=以MN為直徑的圓過橢圓右頂點，:(x1—2)(x2—2)+y1y2=0，解得或t=2（舍)…（11分）故直線l恒過定點(,0).?（12分）18．已知橢圓E:x2+3y2=m2(m>0)的左頂點是A，左焦點為F，上頂點為B.（2）若直線l交橢圓E于M，N兩點（不同于A)，以線段MN為直徑的圓過A點，試探究直線l