8.2.4-三角恒等變換的應(yīng)用-導(dǎo)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)精選資源2/28.2.4三角恒等變換的應(yīng)用考點學(xué)習(xí)目標半角公式及其運用運用三角恒等變換公式進行簡單的三角恒等變換，理解半角公式的推導(dǎo)過程及簡單應(yīng)用積化和差和和差化積及其運用理解積化和差和和差化積的推導(dǎo)過程及其運用【學(xué)習(xí)重點】半角公式、積化和差和和差化積公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用【學(xué)習(xí)難點】半角公式、積化和差和和差化積公式的應(yīng)用問題1：半角公式及其應(yīng)用事實上，由可得，因此，即（1）類似的，因為所以有，即（2）（1），（2）兩個等式左邊、右邊分別相除，即可得（3）例1.求證：（1）；（2）知識點1半角公式sineq\f(α,2)＝，coseq\f(α,2)＝，taneq\f(α,2)＝，根號前的正負號，由角eq\f(α,2)所在象限確定．推廣公式：taneq\f(α,2)＝＝.練習(xí).求的值?！緦c快練】1．若cosα＝eq\f(1,3)，α∈(0，π)，則coseq\f(α,2)的值為()A．eq\f(\r(6),3) B．－eq\f(\r(6),3)C．±eq\f(\r(6),3) D．±eq\f(\r(3),3)2．已知cosα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，則sineq\f(α,2)等于()A．－eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(10),10)C．eq\f(3\r(3),10) D．－eq\f(3,5)例2.已知sinθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(5π,2)<θ<3π，求coseq\f(θ,2)和taneq\f(θ,2).【變式練習(xí)】本例中將條件改為“π<θ<eq\f(3,2)π，且sinθ＝－eq\f(4,5)”，如何求解？問題2：積化和差和和差化積公式因為所以兩式分別相加、相減之后整理可得（4）（5）類似地，由可得：（6）（7）（4）（5）（6）（7）地左邊是積地形式，右邊是和或者差地形式，因此被稱為積化和差公式。根據(jù)（4）式可知，，因此可知的最大值為1.一般地，如果，則，從而（4），（5）,（6），（7）可分別改寫為：這四個公式左邊是和或差的形式，右邊是積的形式，因此被稱為和差化積公式。知識點2積化和差與和差化積公式(1)積化和差公式：sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]，cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)].(2)和差化積公式：sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)，sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)，cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)，cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).【對點快練】1．sin15°cos165°的值是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,2)2．把cos3a＋cos5a化為積的形式，其結(jié)果為例2.求函數(shù)的周期與最大值。【變式練習(xí)1】求函數(shù)f(x)＝sinxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的值域．【變式練習(xí)2】函數(shù)f(x)＝sin2xcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的單調(diào)遞減區(qū)間是____________．例3.求函數(shù)的周期和最大值?！咀兪骄毩?xí)1】函數(shù)y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))－1的最小正周期為____________．【變式練習(xí)2】函數(shù)y＝cosx＋c