期末復習之與軸對稱圖形有關的熱考幾何模型（解析版）

與軸對稱圖形有關的熱考幾何模型（考題猜想，熱考+壓軸必刷40題10種題型）折疊模型雙垂直平分線導角見等腰，構造三線合一平行平分出等腰等腰三角形雙腰上的高求定值等邊三角形類弦圖模型手拉手模型將軍飲馬問題三動點問題逆等線問題一．折疊模型（共4小題）1．（22-23八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，∠AOB=α，點M是射線OA上的一個定點，點N是射線OB上的一個動點，連結MN，把∠AOB沿MN折疊，點O落在∠AOB所在平面內(nèi)的點(1)如圖1，點C在∠AOB的內(nèi)部，若∠CMA=20°，∠CNB=60°，則α=___°．(2)如圖2，若α=45°，ON=2，折疊后點C在直線OB上方，CM與OB交于點E，且MN=ME，求∠OMN的度數(shù)及折痕MN(3)如圖3，若折疊后，直線MC⊥OB，垂足為點E，且OM=5，ME=3，直接寫出此時ON的長．【答案】(1)40；(2)30°，(3)ON=52或【分析】（1）由對折的性質(zhì)得：∠OMN=∠CMN，∠ONM=∠CNM，由∠CMA=20°及∠CNB=60°，則可求得（2）設∠OMN=α，由折疊知，∠NME=∠OMN=α；由三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)得：∠MEN=∠MNE=∠O+∠OMN=45°+α，由三角形內(nèi)角和即可求得α的度數(shù)；過N點作ND⊥OM于D，則易得OD=ND=1；再由含30度直角三角形的性質(zhì)得MN=2ND=2；（3）由勾股定理OE=4；分兩種情況：①當點N在線段OE上時；②當點N在線段OE延長線上時；設ON=x，利用勾股定理建立方程求出x即可．【詳解】（1）解：由對折的性質(zhì)得：∠OMN=∠CMN，∵∠OMN+∠CMN+∠ACM=180°，∠ONM+∠CNM+∠CNB=180°，且∠CMA=20°，∠CNB=60°，∴∠OMN=1∴a=180°-∠OMN-∠ONM=180°-80°-60°=40°，故答案為：40；（2）解：設∠OMN=a，由折疊知，∠NME=∠OMN=a；∵MN=ME，∠MNE=∠O+∠OMN，∴∠MEN=∠MNE=45°+a，∵∠MNE+∠MEN+∠NME=180°，∴2(45°+a)+a=180°，解得：a=30°，即∠OMN=30°；如圖，過N點作ND⊥OM于D，則∠OND=∠O=45°，∴OD=ND，由勾股定理得：2OD∴OD=ND=1；∵ND⊥OM，∴MN=2ND=2；（3）解：∵MC⊥OB，∴OE=O①當點N在線段OE上時，如圖，設ON=x，由折疊性質(zhì)得：CN=ON=x，CM=OM=5，∴NE=OE-ON=4-x，CE=CM-ME=5-3=2；∵MC⊥OB，∴NE即(4-x)2解得：x=5即ON=5②當點N在線段OE延長線上時，如圖，設ON=x，由折疊性質(zhì)得：CN=ON=x，CM=OM=5，∴NE=ON-OE=x-4，CE=CM+ME=5+3=8；∵MC⊥OB，∴NE即(x-4)2解得：x=10；即ON=10；綜上，ON=52或【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．2．（23-24八年級上·江蘇泰州·期末）八上數(shù)學課本69頁，數(shù)學活動《折紙與證明》中告訴我們：折紙常常能為證明一個命題提供思路和方法，請用所學知識解決下列問題．（1）如圖1，一個三角形的紙片中，MC>MB，證明：∠MBC>∠MCB．小龍同學通過折疊紙片，將MB折疊到MC上，點B與點D重合，展開后得到折痕ME，如圖2，折痕ME交BC于點E，連接DE．幫助小龍同學寫出證明過程．（2）如圖3，在平面直角坐標系中，點B-107,237，點C2,5①求點E坐標；②直線l過點C，交y軸于點M，且∠ECM=45°，直線l沿y軸翻折恰好經(jīng)過點B，只用圓規(guī)在直線BM上求作點G，使EG與直線BM所夾的銳角等于∠ECM．（不寫作法，保留作圖痕跡）③直接寫出（2）中點G的坐標．【答案】（1）見解析；（2）①E0,4；②見解析；③-2,5，-1,2【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得到∠MDE=∠MBC，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證明；（2）①先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，令x=0，求出y的值，即可得到點E的坐標；②以點E為圓心，EC為半徑畫弧，交直線BM于點G，點G'，點G，點G'為所求；③先利用對稱的性質(zhì)求出點G的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線BM的解析式為y=-3x-1，根據(jù)【詳解】（1）證明：由折疊的性質(zhì)得：∠MDE=∠MBC，∵∠MDE=∠MCB+∠CED，∴∠MDE>∠MCB，∴∠MBC>∠MCB；（2）解：①設直線BC的解析式為y=kx+bk≠0將B-107,237，解得：k=1∴直線BC的解析式為y=1令x=0，則y=4，∴E0,4②如圖所示，以點E為圓心，EC為半徑畫弧，交直線BM于點G，點G'，點G，點G∵直線l沿y軸翻折恰好經(jīng)過點B，∴直線l與直線BM關于y軸對稱，∵點C與點G關于y軸對稱，∴∠EGB=∠ECM=45°，∵EG=EG∴∠EG③由②知點C與點G關于y軸對稱，且C2,5，由①知E∴G-2,5∵B-設直線BM的解析式為y=k將B-107,237，解得：k'∴直線BM的解析式為y=-3x-1，設G'∵EG=EG∴0--2∴10m2+30m+25=5解得：m=-1，或m=-2，∵G-2,5∴G綜上，點G的坐標為-2,5，-1,2．【點睛】本題考查了對稱作圖，對稱的性質(zhì)，一次函數(shù)綜合問題，等腰三角形的性質(zhì)，兩點的距離，掌握對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．3．（23-24八年級上·浙江寧波·期中）如圖是兩個全等的直角三角形紙片，且AC:BC:AB=3:4:5，按如圖的兩種方法分別將其折疊，使折痕（圖中虛線）過其中的一個頂點，且使該頂點所在角的兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為S1

(1)若AC=3，求S1(2)若AE=2，求S2【答案】(1)3(2)8【分析】（1）由題意可得BC=4，AB=5，設DM=CM=x，則BM=4-x，依據(jù)S△ABM=12AB×DM=（2）設AC=3x，BC=4x，AB=5x，由折疊可得，BC=BE=4x，EN=CN，可得AE=AB-BE=x=2，可知AB=10，BC=8，AN=3x-EN=6-EN，由S△ABN=12AB×EN=【詳解】（1）解：∵AC:BC:AB=3:4:5，AC=3，∴BC=4，AB=5，由折疊可得，DM=CM，∠ADM=∠C=90°，AD=AC=3，設DM=CM=x，則BM=4-x，∵S△ABM∴AB×DM=BM×AC，即5x=34-x解得x=3∴DM=3∴BD=AB-AD=2，∴S1（2）由AC:BC:AB=3:4:5，可設AC=3x，BC=4x，AB=5x，由折疊可得，BC=BE=4x，EN=CN，∴AE=AB-BE=x=2，則AB=5x=10，BC=4x=8，AN=3x-EN=6-EN，∵S△ABN∴AB×EN=AN×BC，即10×EN=6-EN解得EN=8∴S2【點睛】本題主要考查了翻折變換（折疊問題），折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．解決問題的關鍵是利用面積法求得某些線段的長度．4．（23-24八年級上·江蘇泰州·期末）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．點E為AD上的動點，點M為AB上的動點，連接ME，將△AME沿ME翻折．(1)圖1沿ME折疊，點A與點C重合，連接MD，若MD=CD，①求證CM⊥AB；②∠B的度數(shù)為_________度；(2)如圖2，若點M和點B重合，連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△PBE，且BE=BC，設PB與AC相交于點F．求∠BFC度數(shù)．【答案】(1)①證明見解析；②67.5(2)60°【分析】（1）①證明BD=CD，可得BD=MD=CD，可得∠DBM=∠DMB，∠DMC=∠DCM，結合三角形的內(nèi)角和可得∠BMD+∠DMC=90°=∠BMC，可得CM⊥AB；②由對折可得：AM=CM，AE=CE，可得∠ACM=∠MAC=45°，結合等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=1（2）如圖，連接EC，先證明△BCE是等邊三角形，得出∠BED=30°，再利用三角形的外角的性質(zhì)得出∠BFC=2∠BED即可；【詳解】（1）證明：①如圖，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，AD⊥BC，∵MD=CD，∴BD=MD=CD，∴∠DBM=∠DMB，∠DMC=∠DCM，∵∠DBM+∠BMC+∠BCM=180°，∴∠BMD+∠DMC=90°=∠BMC，∴CM⊥AB；②由對折可得：AM=CM，AE=CE，而CM⊥AB，∴∠ACM=∠MAC=45°，∵AB=AC，∴∠B=1（2）如圖，連接EC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD，∴EB=EC，又∵EB=BC，∴BE=EC=BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠BEC=60°，∴∠BED=30°，由翻折的性質(zhì)可知：∠ABE=∠PBE=1∴∠ABF=2∠ABE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAF=2∠BAE，∴∠BFC=∠BAF+∠ABF=2∠BAE+∠ABE∴∠BFC的度數(shù)為60°；【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，內(nèi)角和定理的應用等知識，掌握軸對稱的性質(zhì)是解本題的關鍵．二．雙垂直平分線導角（共3小題）5．（22-23八年級上·廣西貴港·期末）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分邊AC和邊BC，交邊AB于M、N兩點，DM與EN相交于點F．(1)若AB=3cm，求△CMN(2)若∠MFN=80°，求∠MCN的度數(shù)．【答案】(1)3(2)20°【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應用，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AM=CM，BN=CN，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠MNF+∠NMF，進而求出∠A+∠B，結合圖形計算即可．【詳解】（1）解：∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=3(cm故△CMN的周長為3cm（2）∵∠MFN=80°，∴∠MNF+∠NMF=180°-80°=100°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=100°，∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-100°=80°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×80°=20°，故∠MCN的度數(shù)為20°．6．（22-23八年級上·江蘇揚州·期末）如圖，△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若∠BAC=110°，則【答案】40°【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，掌握垂直平分線的性質(zhì)成為解題的關鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠B+∠C=70°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=BE，AF=FC，然后根據(jù)等邊對等角可得【詳解】解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、∴AE=BE，∴∠BAE=∠B,∠CAF=∠C，∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=70°，∴∠EAF=110°-70°=40°．7．（23-24八年級上·安徽蕪湖·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB,AC的垂直平分線交于點P，兩垂直平分線交△ABC的邊于點G，D，E，H，連接AD,AE,AP．

(1)求∠DAE的度數(shù)；(2)求證：AP平分∠DAE．【答案】(1)∠DAE=60°(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AD=DB,AE=EC，根據(jù)等角對等邊得出∠B=∠DAB,∠C=∠CAE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，即可求解；（2）過點P作AD,AE,BC的垂線，垂足分別為點M,F,N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)與判定即可得證；【詳解】（1）∵GD,HE分別為AB,AC的垂直平分線，∴AD=DB,AE=EC，∴∠B=∠DAB,∠C=∠CAE，∴∠ADE=2∠B,∠AED=2∠C，∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=60°，∴∠ADE+∠AED=2∠B+∠C∴∠DAE=60°；（2）證明：過點P作AD,AE,BC的垂線，垂足分別為點M,F,N，

∵AD=BD,PG⊥AG，∴∠ADG=∠BDG，又∵∠ADG=∠PDM,∠BDG=∠PDN，∴∠PDM=∠ADG=∠BDG=∠PDN，∵PM⊥AD,PN⊥BC，∴PM=PN，同理PF=PN，∴PM=PF∴AP平分∠DAE．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)以及角平分的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．三．見等腰，構造三線合一（共3小題）8．（23-24八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在△ABC的外部，∠ABD=∠C,∠D=90°．求證BC=2BD．【答案】證明見解析【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，先證明BE=CE，∠ABC=∠ACB，∠AEB=∠AEC=90°，再證明△ABD≌△ABE，即可得到結論，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關鍵．【詳解】解：如圖，過A作AE⊥BC于E，而AB=AC，∴BE=CE，∠ABC=∠ACB，∠AEB=∠AEC=90°，∵∠ABD=∠C,∠D=90°，∴∠D=∠AEB=90°，∠ABD=∠ABE，∵AB=AB，∴△ABD≌△ABE，∴BD=BE，∴BC=2BD．9．（24-25八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線EF分別交邊BC,AB于點E，F(xiàn)，過點A作AD⊥BC于點D，且D為線段CE的中點．(1)求證：BE=AC；(2)若∠B=35°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】(1)證明過程見解析(2)75°【分析】本題考查中垂線的判定和性質(zhì)，三線合一，三角形的內(nèi)角和定理：（1）連接AE，由題意可判定AD垂直平分CE，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AC=AE=BE，即可證明結論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE=35°，由直角三角形的性質(zhì)可得∠BAD的度數(shù)，即可求得∠EAD,∠CAD的度數(shù)，進而可求解．【詳解】（1）證明：連接AE，∵AD⊥BC于點D，且D為線段CE的中點，∴AD垂直平分CE，∴AC=AE，∵EF垂直平分AB，∴AE=BE，∴BE=AC；（2）解：∵AE=BE,∠B=35°，∴∠BAE=∠B=35°，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-35°=55°，∴∠EAD=55°-35°=20°，∵AC=AE，AD⊥BC∴∠CAD=∠EAD=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=55°+20°=75°．10．（23-24八年級上·黑龍江大慶·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，過BC的中點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．(1)求證：DE=DF；(2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)110度【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形“三線合一”，“等邊對等角”，角平分線上的點到兩端距離相等，以及三角形的內(nèi)角和是180度，是解題的關鍵．（1）連接AD，根據(jù)“三線合一”得出AD平分∠BAC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求證；（2）先根據(jù)直角三角形兩個銳角互余得出∠B=35°，再根據(jù)“等邊對等角”得出∠C=∠B=35°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】（1）證明：連接AD，∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．（2）解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∵∠BDE=55°，∴∠B=35°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=35°，∴∠BAC=110°．11．（23-24八年級下·河南平頂山·期末）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF．(1)求證：△ABC是等邊三角形．(2)延長ED交BC的延長線于點G，求證：BE=FG．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證Rt△AED≌Rt△CFDHL得∠A=∠C，又AB=AC得（2）連接BD，先證明∠G=∠DBF得DB=DG，進而利用三線合一得FG=BF，由（1）知Rt△AED≌Rt△CFD得AE=CF【詳解】（1）證明：∵D為AC的中點，DE⊥AB，DF⊥BC∴AD=CD，∠AED=∠CFD=在Rt△AED和RtDE=DF∴Rt∴∠A=∠C∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠A=∠B=∠C∴△ABC是等邊三角形（2）證明：連接BD∵△ABC是等邊三角形，D為AC的中點∴∠DBF=12∵EG⊥AB，∴∠G=90°-∠ABC=90°-60°=30°∴∠G=∠DBF∴DB=DG∵DF⊥BC∴FG=BF由（1）知Rt∴AE=CF∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF∴BE=FG【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三線合一，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三線合一，全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關鍵．四．平行平分出等腰（共2小題）12．如圖，在△ABC中∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．若過點O作直線EF和邊BC平行，與AB交于點E，與AC交于點F，則線段EF和EB，F(xiàn)C之間有怎樣的數(shù)量關系并證明？【答案】EF=EB+FC．理由見解析【分析】此題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，利用了等量代換的思想，熟練掌握性質(zhì)與判定是解本題的關鍵．由BD為角平分線，利用角平分線的性質(zhì)得到一對角相等，再由EF與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，等量代換可得出∠EBD=∠EDB，利用等角對等邊得到EB=ED，同理得到FC=FD，再由EF=ED+DF，等量代換可得證．【詳解】解：EF=EB+FC．理由：∵BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB．又∵EF∥∴∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，∴∠BOE=∠EBO，∠COF=∠FCO，即EB=EO，F(xiàn)C=FO，∴EF=EO+FO=EB+FC．13．（23-24八年級上·山東濟南·期末）用尺規(guī)作平行線的方法：已知：直線AB及直線AB外一點P．求作：經(jīng)過點P的直線CD，使得CD∥AB．尺規(guī)作圖步驟：如圖，①過點P作直線AB的相交線，與直線AB交于點H；②以點H為圓心，任意長為半徑畫弧，交直線HP于點E，交直線AB于點F；③以點P為圓心，以線段HF長為半徑畫弧，交射線HP于點M；④以點M為圓心，線段長為EF半徑畫弧交前弧于點N；④過點P，N作直線CD．(1)在上述作圖步驟中通過______（填寫合適的選項）可判定△PMN≌△HEF，從而可得到∠MPN=∠EHF．A．“SSS”B．“SAS”C．“ASA”D．“AAS”(2)在上述作圖步驟中用到的判定CD∥AB的依據(jù)是________________．(3)如圖3，在△ABC中，AB=AC，小明通過剛才的方法，作出了∠EAD=∠B，可以得到AD是△ABC底邊BC的平行線，那么AD是△ABC外角∠EAC的平分線嗎？請說明理由．【答案】(1)A(2)同位角相等，兩直線平行(3)是，理由見解析【分析】（1）由作圖可知，PM=HE，MN=EF，（2）根據(jù)平行線的判定定理作答即可；（3）由平行線的性質(zhì)，等邊對等角可得∠EAD=∠DAC，進而可證AD是△ABC外角∠EAC的平分線．【詳解】（1）解：由作圖可知，PM=HE，∴△PMN≌△HEFSSS故選：A；（2）解：由題意知，∠MPN=∠EHF，∴CD∥AB，∴判定CD∥AB的依據(jù)是同位角相等，兩直線平行，故答案為：同位角相等，兩直線平行；（3）解：AD是△ABC外角∠EAC的平分線，理由如下；∵∠EAD=∠B，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAD=∠DAC，∴AD是△ABC外角∠EAC的平分線．【點睛】本題考查了作一個角等于已知角，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線等知識．熟練掌握作一個角等于已知角，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線是解題的關鍵．五．等腰三角形雙腰上的高求定值（共小題）14．（22-23八年級上·云南昆明·期末）如圖（1），已知在△ABC中，AB=AC，且∠B=60°，過A作AP⊥BC于點P，點M是直線BC上一動點，設點M到△ABC兩邊AB、AC的距離分別為m，n，△ABC的高為

(1)當點M運動到什么位置時，m=n，并說明理由．(2)如圖（2），試判斷m、n、h之間的關系，并證明你的結論．(3)如圖（3），當點M運動到BC的延長線上時，求證：m【答案】(1)證明見解析(2)m+n=h，證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）當點P與點M重合時，過點M作MD⊥AB于點D，ME⊥AC于點E，由等邊三角形的性質(zhì)得出BM=CM，則S△ABM（2）連接AM，根據(jù)S△ABC（3）連接AM，根據(jù)S△AMC+S【詳解】（1）解：當點P與點M重合時，m=n，理由：過點M作MD⊥AB于點D，ME⊥AC于點E，如圖，則MD=m，ME=n，

∵AB=AC，且∴△ABC是等邊三角形，∵AP⊥BC即AM⊥BC，∴BM=CM，∴S△ABM∴12∴MD=ME，∴m=n；（2）解：m+n=h．理由如下：如圖②，連接AM，則S△ABC

∴12AB?MD+1又∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=AC，∴m+n=h；（3）解：如圖，連接AM，則S△AMC

∴12AC?ME+12又∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=AB，∴n+h=m，∴m-n2∴m2兩邊同時除以2022得，m2∴m2+n【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，完全平方公式的應用，運用等積法建立關系式是解題的關鍵．15．（23-24七年級下·全國·期末）在△ABC中，AB=AC=a，AB邊上的高CD=h，點P是直線BC上任意一點，過P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，且(1)如圖①，若點P在邊BC上時，h，(2)如圖②，③，若點P在BC或CB的延長線上時，h，(3)若點P是直線BC上的點，h1=5，【答案】(1)h=h(2)在圖②中，h=h1-h(3)h2的值為3或【分析】（1）連接AP，根據(jù)面積法可得12AB×CD=12AB×PE+（2）點P在BC或CB的延長線上時，連接AP，根據(jù)面積法可得h，h1，h（3）當h1=5，h=8時，根據(jù)上述結論中h，h1，h本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積，運用面積法得出線段之間的數(shù)量關系，解決問題的關鍵是作輔助線，運用分類思想解決問題．【詳解】（1）解：如圖，連接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，∴S△ABC=12又∵∴12∵AB=AC，∴CD=PE+PF，即h=h（2）解：如圖，點P在BC的延長線上時，連接AP，∵S∴12∵AB=AC，∴CD=PE-PF，即h=h如圖，點P在CB的延長線上時，連接AP，∵S∴12∵AB=AC，∴CD=PF-PE，即h=h（3）解：當點P在邊BC上時，由（1）可知，h=h那么8=5+h故h2當點P在BC的延長線上時，由（2）可知，h=h那么8=5-h故h2當點P在CB的延長線上時，由（2）可知，h=h那么8=h故h2綜上所述，h2的值為3或1316．（21-22八年級上·山東臨沂·期中）閱讀下列材料：陽陽同學遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中AB=AC，BD是△ABC的高，P是BC邊上一點，PM、PN分別與直線AB，AC垂直，垂足分別為點M、求證：BD=PM+PN．陽陽發(fā)現(xiàn)，連接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP他又畫出了當點P在CB的延長線上，且上面問題中其他條件不變時的圖形，如圖2所示，他猜想此時BD、PM、PN之間的數(shù)量關系是：BD=PN-PM．請回答：(1)請補全陽陽同學證明猜想的過程：證明：連接AP，∵S△ABC=∴12AC?BD=12∵AB=AC，∴BD=PN-PM．(2)參考陽陽同學思考問題的方法，解決下列問題：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一點，PM、PN、PQ分別與直線AB、AC、BC垂直，垂足分別為點M、①如圖3，若點P在△ABC的內(nèi)部，猜想BD、PM、PN、PQ之間的數(shù)量關系并寫出推理過程．②若點P在如圖4所示的位置，利用圖4探究得此時BD、PM、PN、PQ之間的數(shù)量關系并寫出推理過程．【答案】(1)S△APB，PN，PM(2)①BD=PM+PN+PQ，理由見解析；②BD=PM+PQ-PN，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)圖2，結合閱讀材料填寫即可；（2）①連接AP、BP、CP，根據(jù)②連接AP、BP、CP，根據(jù)本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積等，作出輔助線運用類比方法構建三個三角形是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：連接AP，∵S△ABC∴12∵AB=AC,∴BD=PN-PM，故答案為：S△APB，PN，PM（2）解：①BD=PM+PN+PQ．理由如下：如圖3，連接AP、∵S△ABC∴12∵AB=AC=BC，∴BD=PM+PN+PQ．②BD=PM+PQ-PN．理由如下：如圖4，連接AP、∵S△ABC∴12∵AB=AC=BC，∴BD=PM+PQ-PN．17．（21-22八年級上·河南南陽·期末）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ARP+S(1)類比與推理如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內(nèi)任一點”，即：已知等邊△ABC內(nèi)任意一點P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，等邊△ABC的高為h(2)理解與應用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC內(nèi)部是否存在一點O，點O到各邊的距離相等？若存在，求出這個距離r的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)存在，2【分析】（1）連接PA，PB，PC，仿照面積的割補法，得出∵S（2）作∠ACB與∠ABC的角平分線相交于O，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得點O到各邊的距離相等，連接AO，根據(jù)S△OBC+S【詳解】（1）解：連接PA，PB，PC，∵S∴12∵BC=AC=AB，∴r1+r（2）解：存在，作∠ACB與∠ABC的角平分線相交于O，過點O作OD⊥BC于D，作OE⊥AC于E，作OF⊥AB于F，∵AO平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，∴OD=OE，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OF⊥AB，∴OD=OF，∴OD=OE=OF，∴△ABC內(nèi)部是否存在一點O，點O到各邊的距離相等．連接AO，設OD=OE=OF=r∵∴1∴1∴r=2．【點睛】本題考查三角形的面積，角平分線的性質(zhì)，解題關鍵是利用面積分割法，求線段之間的關系．18．（23-24八年級上·安徽六安·階段練習）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC,P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP=(1)深入探究將“在△ABC中，AB=AC,P為BC上一點”改成“P為等邊三角形ABC內(nèi)一點”，作PE⊥AB，PF⊥AC,PM-⊥BC,BG⊥AC，垂足分別為E、F(2)理解與應用當點P在△ABC外，（1）結論是否成立?若成立，請予以證明；若不成立，PE、PF、【答案】(1)PE+PF+PM=BG，理由見解析(2)PE+PF-PM=BG，理由見解析【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積；（1）連接PA、PB、PC，利用S△ABP（2）連接PA、PB、PC，利用S△ABP【詳解】（1）PE+PF+PM=BG，理由如下：連接PA、PB、PC，則S∵等邊三角形ABC，∴AB=AC=BC，∵PE⊥AB，PF⊥AC,PM∴12∴12∴PE+PF+PM=BG；（2）PE+PF-PM=BG，理由如下：連接PA、PB、PC，則S∵等邊三角形ABC，∴AB=AC=BC，∵PE⊥AB，PF⊥AC,PM∴12∴12∴PE+PF-PM=BG．六．等邊三角形類弦圖模型（共3小題）19．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）【課本鞏固】如圖①，在等邊△ABC中，D為邊AB上一點，E為BC上一點，且AD=BE，連接AE與CD相交于點F．（1）AE與CD的數(shù)量關系為______，AE與CD構成的銳角夾角∠CFE的度數(shù)是______；【探究發(fā)現(xiàn)】（2）在（1）的基礎上，延長AE至點G，使FG=FC，連接BG，CG，如圖②所示，求證：GA平分∠BGC．【拓展延伸】（3）如圖③，在等邊△ABC中，D為邊AB上一點，E為BC上一點，且AD=BE，CF=3AF，CE=3BE，求AFEF【答案】（1）AE=CD，60°；（2）見解析；（3）4【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積公式；（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可得到結論；（2）由（1）可知，∠CFE=60°，求得∠AFC=120°，推出△CFG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CF=CG，∠FCG=∠CGF=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AFC=∠BGC=120°，根據(jù)角平分線的定義即可得到結論；（3）連接BF，設S△ADF=S，S△BEF=y，得出S△FBD【詳解】（1）解：如圖①，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，在△ABE和△CAD中AB=CA∴△ABE≌△CAD(SAS)∴AE=CD，∠BAE=∠ACD，∵∠CFE=∠ACD+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，故答案為：AE=CD，60°；（2）證明：由（1）可知，∠CFE=60°，∴∠AFC=120°，∵FG=FC，∴△CFG是等邊三角形，∴CF=CG，∠FCG=∠CGF=60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠ACB=60°，∴∠ABC=∠FCG，∴∠ACB-∠FCB=∠FCG-∠FCB，即∠ACF=∠BCG，∴△ACF≌△BCG(SAS∴∠AFC=∠BGC=120°，∴∠BGF=∠BGC-∠BGF=120°-60°=60°，∴∠BGF=∠CGF，∴GA平分∠BGC；（3）如圖所示，連接BF，設S△ADF在等邊△ABC中，AB=BC，又∵AD=BE，∴BD=CE=AB-AD，∴BD=CE=3BE=3AD，∴S△FAD又∵S△FAD=S，則同理可得，S△FBE:S∴S△FEC∵S△BFDS△AFD∴S△AFC∴AFEF20．（23-24八年級上·廣東汕頭·期末）在等邊△ABC的頂點A，C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以相同的速度由A向B和由C向A爬行，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D，E處，請問：

(1)如圖1，爬行過程中，CD和BE的數(shù)量關系是________；(2)如圖2，當蝸牛們分別爬行到線段AB，CA的延長線上的D，E處時，若EB的延長線與CD交于點Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小將會保持不變，請你證明：∠CQE=60°；(3)如圖3，如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著線段BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，求證：DF=EF．【答案】(1)CD=BE(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理是解題的關鍵．（1）證明△ADC≌△CEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)△ADC≌△CEB，得到∠ADC=∠E，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案；（3）過點D作DH∥BC交AC于H，證明△DFH≌△EFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明．【詳解】（1）解：CD=BE，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC，由題意得：AD=CE，在△ADC和△CEB中，AD=CE∠A=∠ACB∴△ADC≌△CEBSAS∴CD=BE；（2）證明如下：由（1）可知△ADC≌△CEBSAS∴∠ADC=∠E，∵∠E+∠ABE=∠BAC=60°，∠DBQ=∠ABE，∴∠CQE=∠ADC+∠DBQ=60°；（3）證明：過點D作DH∥BC交AC于H，∴∠HDF=∠CEF，∵△ABC為等邊三角形，∴△ADH為等邊三角形，∴HD=AD，∵AD=CE，∴DH=CE，在△DFH和△EFC中，∠HDF=∠CEF∠DFH=∠EFC∴△DFH≌△EFCAAS∴DF=EF．21．（23-24七年級下·山東濟南·期末）【閱讀材料】小明同學發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形，底角頂點連起來，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，小明把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手模型”．

【材料理解】（1）如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有△ABD≌；線段BD和CE的數(shù)量關系是．【深入研究】（2）如圖2，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，請判斷線段BD和CE的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；【深化模型】（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求證：AD+CD=BD【答案】（1）△ACE，BD=CE；（2）BD=CE，BD⊥CE，證明見解析；（3）見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，理解題中“手拉手模型”，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，利用類比方法證明是解答的關鍵．（1）先得到∠BAD=∠CAE，再證明△ABD≌（2）同理先得到∠CAE=∠BAD，再證明△ABD≌△ACESAS，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE（3）作∠DBH=∠ABC=60°，BD=BH，連接DH，證明△BDH是等邊三角形，得到DH=BD，∠BDH=60°，進而得到D、C、H三點共線，則BD=DH=CH+CD，然后證明△ABD≌△CBHSAS得到AD=CH【詳解】解：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌∴BD=CE，故答案為：△ACE；BD=CE；（2）BD=CE，BD⊥CE，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠BAD，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE，∴∠BPC=∠BAC=90°，∴BD⊥CE．（3）證明如圖，作∠DBH=∠ABC=60°，BD=BH，連接DH，

∴△BDH是等邊三角形，∴DH=BD，∠BDH=60°，∵∠BDC=60°，∴D、C、H三點共線，∴BD=DH=CH+CD，∵∠ABC-∠DBC=∠DBH-∠DBC，∴∠ABD=∠CBH，又AB=BC，BD=BH，∴△ABD≌△CBHSAS∴AD=CH，∴AD+CD=BD．七．手拉手模型（共6小題）22．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）如圖1，已知△ABC，△CDE均為等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，連接AE，(1)判斷線段AE，BD的數(shù)量關系，并說明理由．(2)求線段AE與線段BD的夾角∠AFB的度數(shù)．(3)如圖2，若點B，C，E不在同一條直線上，則（1）（2）中的結論_____________（填“成立”或“不成立”）．【答案】(1)見解析(2)60°(3)成立【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是熟悉等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△ACE≌△BCD，即可得出AE=BD；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠EAC=∠DBC，結合三角形內(nèi)角和定理即可求出∠AFB；（3）用和（1）（2）同樣的方法，即可解答．【詳解】（1）解：AE=BD；理由如下：∵△ABC，∴AC=BC，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠ACD+∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD；（2）解：∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠DBC，∴∠AFB=180°-∠EAC-∠CAB-∠ABD=180°-∠DBC-∠CAB-∠ABD=180°-∠CAB-=180°-∠CAB-∠ABC=60°；（3）解：∵△ABC，∴AC=BC，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠ACD+∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，∴∠AFB=180°-∠EAC-∠CAB-∠ABD=180°-∠DBC-∠CAB-∠ABD=180°-∠CAB-=180°-∠CAB-∠ABC=60°．故答案為：成立．23．（23-24八年級下·廣西南寧·開學考試）【問題情境】如圖1，△ABD與△AEC都是等邊三角形，連接BE，CD，點M，N分別是BE，CD的中點，連接AM，AN，MN．

【猜想證明】請證明：（1）求證：BE=CD；（2）求證：△AMN是等邊三角形．【類比探究】如圖2，△ABD與△AEC都是等腰直角三角形，連接BE，CD，點M，N分別是BE，CD的中點，連接AM，AN.請?zhí)骄浚海?）若點N恰好也是AE的中點，且AE=2，求△ABE的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）△ABE的面積為2【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）由等邊三角形的的性質(zhì)得AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=60°，可推導出∠BAE=∠DAC，進而證明△BAE≌△DAC，得出BE=CD；（2）由BM=12BE，DN=12CD，且BE=CD，證明BM=DN，而AB=AD，∠ABM=∠AND，可證明（3）由等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=90°，可推導出∠BAE=∠DAC，進而證明△BAE≌△DAC，得BE=CD，∠ABE=∠ADC，而BM=12BE，DN=12CD，所以BM=CD，可證明△BAM≌△DAN，得∠BAM=∠DAN，AM=AN，推導出∠MAN=∠BAD=90°，因為【詳解】解：（1）∵△ABD與△AEC都是等邊三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，∴∠BAE=∠DAC=60°+∠DAE，在△BAE和△DAC中，AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DACSAS∴BE=CD．（2）證明：∵點M，N分別是BE，CD的中點，∴BM=12BE∵BE=CD，∴BM=DN，∵△BAE≌△DAC，∴∠ABE=∠ADC，在△BAM和△DAN中，AB=AD∠ABM=∠ADN∴△BAM≌△DAN(SAS∴∠BAM=∠DAN，AM=AN，∴∠MAN=∠DAN+∠DAM=∠BAM+∠DAM=∠BAD=60°，∴△AMN是等邊三角形．（3）∵△ABD與△AEC都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=90°，∴∠BAE=∠DAC=90°+∠DAE，在△BAE和△DAC中，AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DACSAS∴BE=CD，∠ABE=∠ADC，∵點M，N分別是BE，CD的中點，∴BM=12BE∴BM=DN，在△BAM和△DAN中，AB=AD∠ABM=∠ADN∴△BAM≌△DAN(SAS∴∠BAM=∠DAN，AM=AN，∴∠MAN=∠DAN+∠DAM=∠BAM+∠DAM=∠BAD=90°，∵AE=2，且點N也是AE的中點，∴AM=AN=EN=1∴S∵AE=2AN，BE=2EM，∴S∴S∴△ABE的面積為2．24．（23-24七年級下·四川成都·期末）已知△ABC是等邊三角形．(1)如圖1，點D、E分別為AB，AC邊上的點，CE=AD，連接BE，CD相交于點F．求∠BFD的度數(shù)；(2)如圖2，AE∥BC，點D在AB邊上，點F在射線AE上，AC與DF相交于點Q，且①求證：DC=DF；②作FH⊥AC于點H，當點D在AB邊上移動時，請同學們探究線段AD，AC，CH之間的數(shù)量關系，并對結論加以證明．【答案】(1)60°(2)①證明見解析；②AC+AD=2CH【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明△ADC≌△CEB，可得∠ACD=∠CBE，再結合三角形的外角的平分線可得結論；（2）①如圖，過D作DT∥BC，證明△ADT為等邊三角形，可得∠ADT=60°=∠CDF，DA=DT，再證明△ADF≌△TDC，可得②延長BA過點F作FG⊥BA于點G，連接CF，過點D作DN⊥EN于點N，過點D作DM⊥AC于點M，證明Rt△FAH≌Rt△FAGHL得出AH=AG，證明Rt△NDF≌Rt△MDCHL得出∠NDF=∠MDC，證明【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形．∴AB=AC=BC，∠A=∠ACB=60°，∵CE=AD，∴△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴∠BFD=∠CBE+∠DCB=∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°；（2）證明：①如圖，過D作DT∥BC交AC于∴∠ATD=∠ACB=60°，而∠BAC=60°，∴△ADT為等邊三角形，∴∠ADT=60°=∠CDF，DA=DT，∴∠ADF=∠CDT，∵AE∥∴∠FAC=∠ACB=60°，∴∠FAC=∠CDF=60°，∵∠AQF=∠DQC，∴∠AFD=∠ACD，∴△ADF≌△TDC，∴DF=DC；②AC+AD=2CH；理由如下；延長BA，過點F作FG⊥BA于點G，連接CF，過點D作DN⊥EA于點N，過點D作DM⊥AC于點M，如圖所示：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=∠BAC=60°，∵AE∥∴∠EAC=∠ACB=60°，∴∠FAG=180°-60°-60°=60°，∴∠FAG=∠EAC，∵FG⊥AB，F(xiàn)H⊥AC，∴FH=FG，∵AF=AF，∴Rt△FAH≌∴AH=AG，∵∠NAD=∠GAF=60°，∴∠NAD=∠DAM=60°，∵DN⊥AN，DM⊥AM，∴DN=DM，∵DF=DC，∴Rt△NDF≌∴∠NDF=∠MDC，∴∠NDF-∠MDF=∠MDC-∠MDF，∴∠NDM=∠FDC=60°，∵DF=DC，∴△DCF為等邊三角形，∴CF=CD=DF，∵FH=FG，F(xiàn)D=FC，∴Rt△FHC≌∴CH=DG，∴CH=DG=AD+AG=AD+AH，∴AH=CH-AD，∴AC=CH+AH=CH+CH-AD=2CH-AD，即AC+AD=2CH．【點睛】本題主要考查了三角形全等判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形．25．（22-23八年級上·浙江寧波·期末）規(guī)定：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．

(1)如圖①，在△ABC與△ADE中，AB=AC，當∠BAC、∠BAD、∠BAE、滿足條件____時，△ABC與△ADE互為(2)如圖②，在△ABC與△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，BE、CD相交于點M，連AM，求證：MA(3)如圖③，在四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AD=AB，AC=BC+DC，求∠BAD的度數(shù)．【答案】(1)∠BAE=∠BAC+∠BAD(2)見解析(3)∠BAD=60°【分析】（1）頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．據(jù)此推導出∠BAC、∠BAD、∠BAE的關系便可；（2）過點A作AM⊥BE于點M，作AN⊥CD于點N，再證明△ABE≌△ACD得AM=AN，再根據(jù)角平分線的判定定理得結論；（3）延長CD至E，使得DE=BC，連接AE，證明△ABC≌△ADE，進而得△ACE是等邊三角形，便可得∠BAD=∠CAE=60°．【詳解】（1）解：∵在△ABC與△ADE中，AB=AC，AD=AE，∴當∠BAC=∠DAE時，△ABC與△ADE互為“兄弟三角形”，∵∠BAE=∠DAE+∠BAD，∴∠BAE=∠BAC+∠BAD，故當∠BAE=∠BAC+∠BAD時，△ABC與△ADE互為“兄弟三角形”，故答案為∠BAE=∠BAC+∠BAD；（2）解：∵在△ABC與△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD(SAS)∴AB=AC，∠ABE=∠ACD．過點A作AH⊥BE于點H，作AN⊥CD于點N，如圖②，

∴∠AHB=∠ANC=90°，∴△ABH≌△ACN(AAS∴AH=AN（全等三角形的對應高相等），∴HA平分∠BMD；（3）解：延長CD至E，使得DE=BC，連接AE，如圖③，

∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，∵AB=AD，∴△ABC≌△ADE(SAS)∴AC=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵AC=BC+DC=DE+DC=CE，∴AC=CE=AE，∴∠CAE=60°，∴∠BAD=60°．【點睛】此題考查了新定義，等腰三角形的定義，等邊三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，構造等邊三角形和全等三角形是解本題的關鍵．26．（22-23八年級上·遼寧撫順·期末）如圖，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分別以AB、AC為腰在AB左側、AC右側作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，連接CD、BE．

(1)如圖1，當∠BAD=∠CAE=60°時，①△ABD、△ACE的形狀是____________；②求證：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如圖2，當AB=AD，AC=AE時，②如圖3，當AB=DB，AC=EC時，【答案】(1)①等邊三角形；②證明見解析(2)①成立，理由見解析；②不成立，理由見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．（1）①根據(jù)有一個內(nèi)角是60度的等腰三角形是等邊三角形即可求解；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，證明△BAE≌（2）①證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結論；②根據(jù)已知可得△BAE與【詳解】（1）解：①∵△ABD是等腰三角形，△ACE是等腰三角形，∠BAD=∠CAE=60°∴△ABD、△ACE是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．②證明：∵△ABD、△ACE是等邊三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△BAE與△DAC中，∵AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌∴BE=DC．（2）解：①當AB=AD，AE=AC時，成立．理由：如圖，∵AB=AD，∠BAD=∠EAC，AE=AC，∴∠BAE=∠DAC

∴△BAE≌∴BE=DC；②當AB=DB，AC=EC時，不成立．理由：如圖，∵∠BAD=∠CAE≠60°，

∴AB=DB≠AD，AC=EC≠AE，∴△BAE與△DAC不全等，∴BE≠DC．八．將軍飲馬問題（共6小題）27．（23-24八年級下·廣東深圳·期末）【綜合實踐活動】【問題背景】如圖1，A，B表示兩個村莊，要在A，B一側的河岸邊建造一個抽水站P，使得它到兩個村莊的距離和最短，抽水站P應該修建在什么位置？【數(shù)學建?！啃±ぐl(fā)現(xiàn)這個問題可以用軸對稱知識解決，他先將實際問題抽象成如下數(shù)學問題：如圖2，A，B是直線l同側的兩個點，點P在直線l上．P在何處時，PA+PB的值最?。媹D：如圖3，作B關于直線l的對稱點B'，連結AB'與直線l交于點P證明：∵B和B'關于直線l∴直線l垂直平分B∴PB=________，∴PA+PB=PA+P根據(jù)“________”（填寫序號：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短；③兩點確定一列條直線．）可得PA+PB'最小值為________（填線段名稱），此時P點是線段AB【問題拓展】如圖4，村莊B的某物流公司在河的對岸有一個倉庫C（河流兩側河岸平行，即GD∥EF），為了方便渡河，需要在河上修建一座橋MN（橋的長度固定不變，等于河流的寬度且與河岸方向垂直），請問橋MN修建在何處才能使得B到C的路線最短？請你畫出此時橋MN的位置（保留畫圖痕跡，否則不給分）．【遷移應用】光明區(qū)某濕地公園如圖5所示，四邊形AEDC為花海景區(qū)，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，長方形CFGH為人工湖景區(qū)，為了方便市民觀景，公園決定修建一條步行觀光路線（折線AM-MN-BN），A為起點，終點B在ED上，BD=30米，MN為湖邊觀景臺，長度固定不變(MN=40米），且需要修建在湖邊所在直線CF上，步行觀光路線的長度會隨著觀景臺位置的變化而變化，請直接寫出步行觀光路線的最短長度．【答案】【數(shù)學建模】PB'，①，AB【分析】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉(zhuǎn)化，以后還會學習一些線段轉(zhuǎn)化的方法．【數(shù)學建模】由垂直平分線的性質(zhì)得PB=PB'，由兩點之間線段最短得【問題拓展】解過B作BB'垂直于河岸，使得BB'=NM，連接CB'交另一河岸于N，過N【遷移應用】過B作BB'∥FC，使得BB'=NM，作B'關于直線FC對稱點B″【詳解】PB'，①，解：【問題拓展】橋MN修建在如圖所示的位置才能使得B到C的路線最短；解：【遷移應用】如圖所示，過B作BB'∥FC，使得BB'=NM，作B'關于直線FC對稱點B″，延長B″B'交∵BB'∥∴四邊形BB∴BN=B∵B'關于直線FC對稱點B″∴B'M=B″M∴AM+BN=AM+B在Rt△ABAB∴AM+BN+MN=405故步行觀光路線的最短長度為40528．（23-24七年級下·河南焦作·期末）唐朝著名詩人李頎的代表作品《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含著一個有趣的數(shù)學問題．如圖1，詩中將士在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營．請問在何處飲馬才能使總路程最短？我們可以用軸對稱的方法解決這個問題．(1)如圖2，作點B關于直線l的對稱點B'，連接AB'與直線l交于點C理由：如圖3，在直線l上另取不同于點C的任一點C'，連接因為點B、B'關于直線l對稱，點C、C'在直線所以CB=，C'B=所以AC+CB=AC+CB'在△AC'B可得A所以AC+CB<A即AC+CB最小．(2)遷移應用：如圖4，△ABC是等邊三角形，N是AB的中點，AD是BC邊上的中線，AD=6，M是AD上的一個動點，連接BM、MN，則BM+MN的最小值是．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到CB=CB'，（2）連接MC，NC，根據(jù)題意得到當點N，M，C三點共線時，BM+MN有最小值，即NC的長度，然后根等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：理由：如圖3，在直線l上另取不同于點C的任一點C'，連接因為點B、B'關于直線l對稱，點C、C'在直線所以CB=CB'，所以AC+CB=AC+CB在△AC可得A所以AC+CB<A即AC+CB最?。蚀鸢笧椋篊B'，（2）解：如圖所示，連接MC，NC，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴AD垂直平分BC，∴BM=CM，∴BM+MN=CM+MN≥NC，∴當點N，M，C三點共線時，BM+MN有最小值，即NC的長度，∵AD=6，N是AB的中點，△ABC是等邊三角形，∴NC=AD=6，∴BM+MN的最小值為6．【點睛】本題主要考查的是軸對稱圖形的性質(zhì)以及兩點之間線段最短，三角形三邊關系，等邊三角形的性質(zhì)等知識，正確掌握兩點之間，線段最短是解題的關鍵．29．（22-23八年級上·吉林長春·期末）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第94頁的部分內(nèi)容．請根據(jù)所給教材內(nèi)容，結合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．定理應用：△ABC(1)如圖②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，垂足分別為M，(2)如圖③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分別是【答案】(1)20(2)10【分析】教材呈現(xiàn)：根據(jù)“SAS”證明△PCA≌△PCB即可；定理應用：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理證明AD=BD，AE=EC，那么△ADE的周長就轉(zhuǎn)化為（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，可知AD是BC的垂直平分線，所以想到過點C作CE⊥AB，垂足為點E，交AD于點P，此時EP+BP=CE，【詳解】（1）教材呈現(xiàn)：證明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∵AC=BC，∴△PCA≌△PCB(∴PA＝定理應用：∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、∴AD=BD，∵△ADE的周長=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=20，故答案為：20．（2）過點C作CE⊥AB，垂足為點E，交AD于點P，∵AB=AC，∴BD=DC=1∴AD是BC的垂直平分線，∴BP=PC，∴BP+EP=CP+EP=CE，此時BP+EP的值最小，∴△ABC的面積=1∴CE=10，則BP+EP的最小值為10．故答案為：10．【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形分析是解題的關鍵．30．（22-23八年級上·陜西渭南·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面積為12，AB的垂直平分線EF交AC于點F，若D為BC邊的中點，M為線段EF上的一動點，求△BDM周長的最小值．【答案】8【分析】連接AD、AM，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點B關于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為BM+MD的最小值，從而可得△BDM周長的最小值．【詳解】解：連接AD、AM∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC,∴S解得AD=6，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點B關于直線EF的對稱點為點A,AM=BM,∴AD的長為BM+MD的最小值,∴△BDM的周長最小值=BM+MD+BD=AD+【點睛】此題考查了軸對稱-最短路線問題，同時涉及等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．31．（23-24八年級上·河南周口·階段練習）已知點P在∠MON內(nèi)．

(1)如圖①，點P關于射線OM、ON的對稱點分別是G、H，連接①若∠MON=30°，則△OGH是什么特殊三角形？為什么？②若∠MON=90°，試判斷GH與OP的數(shù)量關系，并說明理由；(2)如圖②，若∠MON=30°，A、B分別是射線OM、ON上的點，AB⊥ON于點B，點P、Q分別為OA、AB上的兩個定點，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一動點【答案】(1)①△OGH是等邊三角形，理由見解析；②GH=2OP，理由見解析(2)PE+QE的最小值為5．【分析】（1）①由軸對稱的性質(zhì)可得OP=OG=OH，∠POM=∠GOM，∠PON=∠HON．根據(jù)“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”即可得出△OGH是等邊三角形；②當∠MON=90°時，∠GOH=180°，G、O、H在同一直線上，由此可得GH與OP的數(shù)量關系；（2）過Q作ON的對稱點Q'，連接PQ'，交ON于點E，連接QE，則PE+QE的最小值為PQ'，由已知條件可得∠OAB=60°，易得AP=5，AQ'【詳解】（1）解：①△OGH是等邊三角形，∵點P關于OM對稱的點為G，∴OP=OG，∠POM=∠GOM，同理OP=OH，∠PON=∠HON，∴OG=OH，∵∠MON=30°，∴∠GOH=60°，∴△OGH是等邊三角形．②GH=2OP，當∠MON=90°時，∠GOH=180°，∴G、O、H在同一直線上，OP=OG=OH．∵GH=OG+OH=2OC，∴GH=2OP；（2）解：過Q作ON的對稱點Q'，連接PQ'，交ON于點E

∴PE+QE最小值為PQ∵∠MON=30°，∠ABO=90°，∴∠OAB=60°．∵AQ=OP=2，QB=1.5，∴AB=3.5，∴OA=2AB=7，∴AP=5．∵點Q與Q'關于ON∴QB=Q∴AQ∴△APQ∴PQ即PE+QE的最小值為5．【點睛】本題主要考查了軸對稱--最短路線問題，軸對稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握軸對稱的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟悉“將軍飲馬”模型是解題的關鍵．32．（21-22八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，鐵路上A、B兩站相距8km，C、D為兩個村莊，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A、B，已知AC=2km，BD=4km，現(xiàn)在要在鐵路AB上修建一個中轉(zhuǎn)站P，使得P到C、D兩村的距離和最短．請在圖中畫出P【答案】圖見解析，PC+PD的最小值為10km【分析】本題考查了作圖-應用與設計作圖，勾股定理的應用，軸對稱-最短路線問題．作C點關于AB的對稱點C'，連接C'D與AB的交點就是P點，點P【詳解】解：如圖，作C點關于AB的對稱點C'，連接C'D與AB點P即為中轉(zhuǎn)站的位置；過C'作C'E⊥DB則BE=AC'=AC=2∴DE=BD+BE=6km在Rt△DEC'∴C∴PC+PD的最小值為10km九．三動點問題（共3小題）33．（21-22八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，銳角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面積是6，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的動點，則△DEF【答案】247/【分析】根據(jù)對稱性質(zhì)，將△DEF周長轉(zhuǎn)換為一條直線，如圖所示（見詳解），作點E關于AB的對稱點M，作點E關于AC的對稱點N，連接AM，AE，AN，三角形AMN是等邊三角形，△DEF周長DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AE的值最小，△ABC的面積是6，BC=7【詳解】解：如圖所示，作點E關于AB的對稱點M，作點E關于AC的對稱點N，連接AM，AD，AN，∴AM=AE=AN，即AB是EM的垂直平分線，AC是EN的垂直平分線，且∠MAB=∠BAE，∠CAE=∠CAN∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°，∴∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAC+∠CAN，即∠MAN=2(∠BAE+∠EAC)=2×30°=60°，∴三角形AMN是等邊三角形，∴AM=AN=MN=AE，∴當點M,D,F,N在一條直線上時，△DEF周長DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AD的值最小，根據(jù)點到直線垂線段最短，可知當AE⊥BC時，AE最小，即△DEF周長最小，∵△ABC的面積是6，BC=6，即S△ABC∴AD=247，即△DEF周長最小故答案為：247【點睛】本題主要考查點的對稱性找最短路徑，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，理解和掌握垂直平分線的性質(zhì)，對稱軸的性質(zhì)找最短路徑的方法是解題的關鍵．34．（21-22七年級下·重慶沙坪壩·期末）如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E、F在AD上，連接BE，CE，CF，延長CF交BE于點G．(1)若AE：ED＝2：3，S△ABC＝20，則S△ABE＝；(2)若GE＝GF，∠BAE+∠ECF＝∠GEF．求證：AE＝EF；(3)如圖2，在（2）條件下，點P、M、N分別是△GEF三邊上的動點，且∠BAF＝60°，∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，當△PMN的周長最小時，直接寫出FPAP【答案】(1)4(2)見解析(3)PF【分析】（1）由AD是BC邊上的中線，可得S△ABD＝S△ADC＝12S△ABC，由題意知S△ABE：S△BED＝2：3（2）延長ED至Q，使DQ＝ED，則可證△BDE≌△CDQ（SAS），再證明△ABE≌△ECF（AAS），即可求解．（3）作P點關于GE的對稱點K，連接GK，KP，作P點關于GF的對稱點L，連接GL，PL，連接KL交GE于M，交GF于N，連接MP，NP，則△PMN的周長＝PM+MN+PN＝KM+MN+NL≥KL，設∠GBC+∠GCB＝α，在△GEC中，α+12a+60°+90°﹣12a＝180°，可得α＝30°，從而得到△GLK是等邊三角形，當GP【詳解】（1）∵AD是BC邊上的中線，∴S△ABD＝S△ADC＝12S△ABC∵S△ABC＝20，∴S△ABD＝10，∵AE：ED＝2：3，∴S△ABE：S△BED＝2：3，∴S△ABE＝25S△ABD＝4故答案為：4；（2）如圖1，延長ED至Q，使DQ＝ED，∵D是BC的中點，∴BD＝CD，∵∠BDE＝∠CDQ，∴△BDE≌△CDQ（SAS），∴CQ＝BE，∵GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠GFE＝∠QFC，∴CF＝CQ，∴BE＝CF，∵∠BAE+∠ECF＝∠GEF，∠GFE＝∠ECF+∠FEC，∴∠BAE＝∠FEC，∵∠GEF＝∠BAE+∠ABE，∠GFE＝∠FEC+∠ECF，∴∠ABE＝∠ECF，∴△ABE≌△ECF（AAS），∴AE＝EF；（3）如圖2，作P點關于GE的對稱點K，連接GK，KP，作P點關于GF的對稱點L，連接GL，PL，連接KL交GE于M，交GF于N，連接MP，NP，∴MP＝KM，PL＝NL，∴△PMN的周長＝PM+MN+PN＝KM+MN+NL≥KL，設∠GBC+∠GCB＝α，∴∠EGF＝α，∵GE＝GF，∴∠GEF＝90°﹣12由（2）知，∠CEF＝∠BAF，∠ABE＝∠ECF，∵∠BAF＝60°，∴∠CEF＝60°，∵∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，∴∠ECF＝12在△GEC中，α+12a+60°+90°﹣12∴α＝30°，∴∠EGF＝30°，∴∠KGL＝60°，∴△GLK是等邊三角形，∴當GP最小時，LK就最小，∴GP⊥EF，∴GE＝GF，∴P點是EF的中點，∵EF＝AE，∴PFAP【點睛】本題主要考查了三角形的綜合題，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱求最短距離，垂線段最短是解此題的關鍵．35．動手操作：請按要求作圖．（規(guī)范作圖，保留作圖痕跡即可，不要求尺規(guī)作圖）（1）如圖（1），P是∠ABC內(nèi)一定點，F(xiàn)為射線BC邊上一定點，請在射線BA上找一點E，使得PE+EF最?。?）如圖（2），P是∠ABC內(nèi)一定點，點E、F分別為射線BA、BC邊上兩個動點，請作出使得PE+EF最小的E點和F點．（3）如圖（3），P是∠ABC內(nèi)一定點，點E、F分別為射線BA、BC邊上兩個動點，請作出使得PE+PF+EF最小的E點和F點．拓展應用：（4）如圖（4），△ABC為銳角三角形，∠ABC=30°，AC=6，△ABC的面積為33，點E、F、P分別為△ABC三邊AB、BC、AC上的三個動點，請在圖中作出滿足條件的周長最小的△EFP，并求出△EFP周長的最小值．【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）作圖見解析；（4）作圖見解析，△PEF的周長有最小值為11.【詳解】試題分析：（1）作點P關于直線AB的對稱點P^'，連接P^'F交AB于E，則此時PE+EF最小；（2）作點P關于直線AB的對稱點M，連接MP交AB于點N，過點M作MF⊥BC于F交AB于E，則此時PE+EF最??；（3）作點P關于直線AB的對稱點M，關于直線BC的對稱點N，連接MN交AB于E，交BC于F，則此時PE+EF+PE最??；（4）作點P關于線段AB的對稱點M，關于直線BC的對稱點N，連接MN交AB于E，交BC于點F，則此時△PEF的周長為MN的長度．試題解析：解：（1）如圖①，作點P關于直線AB的對稱點P^'，連接P^'F交AB于E，則此時PE+EF最??；（2）如圖②，作點P關于直線AB的對稱點M，連接MP交AB于點N，過點M作MF⊥BC于F交AB于E，則此時PE+EF最??；（3）如圖③，作點P關于直線AB的對稱點M，關于直線BC的對稱點N，連接MN交AB于E，交BC于F，則此時PE+EF+PE最??；（4）如圖④，作點P關于線段AB的對稱點M，關于直線BC的對稱點N，連接MN交AB于E，交BC于點F，則此時△PEF的周長為MN的長度．∵∠ABC=30°，∴∠MBN=60°且BM=BP=BN，∴△MBN為等邊三角形，∴當BP⊥AC時，MN有最小值，即△PEF的周長有最小值，C△PEF點睛：本題考查軸對稱-最短問題、等腰三角形的性質(zhì)等知識，