正弦定理及其應(yīng)用

章:解三角形2021/6/271

1.問題的引入:

.某游客在爬上山頂后，在休息時看到對面的山頂想：這離對面有多遠的距離呢？請同學(xué)們幫幫這位游客。（工具是測角儀和皮尺）2021/6/272思考：在直角三角形中，“邊”與“角”的關(guān)系Rt中思考：對于一般三角形，上述結(jié)論是否成立2021/6/273在銳角三角形中，2021/6/274在鈍角三角形中，2021/6/275由以上三種情況的討論可得：正弦定理：思考：用“向量”的方法如何證明“正弦定理”

在一個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等，即2021/6/276思考：用“三角形面積公式”如何證明“正弦定理”

2021/6/277∵BACDabc而∴同理∴ha2021/6/278

正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即變形：2021/6/279小結(jié)：知道三角形的兩個內(nèi)角和任何一邊，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。定理的應(yīng)用舉例例12021/6/2710例2、在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°邊長精確到1cm）

已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角2021/6/2711

在例2中，將已知條件改為以下幾種情況，結(jié)果如何？（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3;（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3;（3）b＝20，A＝60°，a＝15.60°ABCb2021/6/2712（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3sinB＝＝，bsinA

a12B＝30°或150°，∵150°＋60°>180°，∴B＝150°應(yīng)舍去.60°2020√3ABC2021/6/2713（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3sinB＝＝1，bsinA

aB＝90°.B60°AC202021/6/2714（3）b＝20，A＝60°，a＝15.sinB＝＝，bsinA

a2√332√33

∵

>1，∴無解.60°20AC

2021/6/2715已知邊a,b和角Ａ，求其他邊和角．Ａ為銳角a<bsinA無解a=bsinA一解bsinA<a<b兩解一解a≥bＡ為直角或鈍角a>b一解a≤b無解ＡＢＣbaＡＣbaＡＣabＡＢＣabＡＢ１Ｂ２ＣabＡＢＣab2021/6/2716（2R為△ABC外接圓直徑）2021/6/2717證明：OC/cbaCBA2021/6/2718

正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即含三角形的三邊及三內(nèi)角,由己知二角一邊或二邊一角可表示其它的邊和角定理結(jié)構(gòu)特征:1.1.1正弦定理2021/6/2719剖析定理、加深理解1、A+B+C=π2、大角對大邊，大邊對大角2021/6/2720剖析定理、加深理解3、正弦定理可以解決三角形中的問題：①已知兩角和一邊，求其他角和邊②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角2021/6/2721剖析定理、加深理解4、一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫解三角形2021/6/2722剖析定理、加深理解5、正弦定理的變形形式6、正弦定理，可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化2021/6/2723ACaba<bsinA無解ACaba=bsinA一解ACabbsinA<a<b兩解BB1B2BACba一解a2021/6/2724ABabCABabCABabCa<b

無解a=b

無解a>b

一解2021/6/2725，求B；

判斷