2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案含解析新人教A版選修1-1

PAGE8-2.2雙曲線2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入我海軍“馬鞍山”艦和“千島湖”艦組成第四批護航編隊遠赴亞丁灣，在索馬里海疆執(zhí)行護航任務(wù)．某日“馬鞍山”艦哨兵監(jiān)聽到旁邊海疆有快艇的馬達聲，與“馬鞍山”艦相距1600m的“千島湖”艦，3s后也監(jiān)聽到了該馬達聲(聲速為340m/s)．若把“馬鞍山”艦和“千島湖”艦看成兩個定點A、B，快艇看成動點M，M滿意什么條件？新知導(dǎo)學(xué)1．雙曲線的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的__肯定值__等于常數(shù)(__小于__|F1F2|)的點的軌跡．(2)符號表示：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|MF1|－|MF2|))＝2a(常數(shù))(0<2a<|F1F2|)．(3)焦點：兩個__定點F1、F2__.(4)焦距：__兩焦點間__的距離，表示為|F1F2|.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程__eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)____eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)__焦點坐標(biāo)__(－c,0)、(c,0)____(0，－c)、(0，c)__a，b，c關(guān)系c2＝__a2＋b2__預(yù)習(xí)自測1．平面內(nèi)，到兩定點F1(－3,0)、F2(3,0)的距離之差的肯定值等于6的點M的軌跡是(D)A．橢圓 B．線段C．雙曲線 D．兩條射線[解析]由題意可知||MF1|－|MF2||＝6，∵|F1F2|＝6，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|MF1|－|MF2|))＝|F1F2|，因此點M的軌跡是兩條射線．2．焦點分別為(－2,0)，(2,0)，且經(jīng)過點(2,3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A)A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)－y2＝1C．y2－eq\f(x2,3)＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1[解析]∵雙曲線的焦點在x軸上，∴設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由題知c＝2，∴a2＋b2＝4.①又∵點(2,3)在雙曲線上，∴eq\f(22,a2)－eq\f(32,b2)＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝3，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.3．雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點坐標(biāo)為(C)A．(eq\f(\r(2),2)，0) B．(eq\f(\r(5),2)，0)C．(eq\f(\r(6),2)，0) D．(eq\r(3)，0)[解析]雙曲線方程x2－2y2＝1化為x2－eq\f(y2,\f(1,2))＝1，∴a2＝1，b2＝eq\f(1,2)，∴c2＝a2＋b2＝eq\f(3,2)，∴c＝eq\f(\r(6),2)，∴雙曲線的右焦點坐標(biāo)為(eq\f(\r(6),2)，0)．4．經(jīng)過點P(－3,2eq\r(7))和Q(－6eq\r(2)，－7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是__eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1__.[解析]設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1,72m＋49n＝1))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75),n＝\f(1,25))).故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.5．已知雙曲線過點(eq\r(5)，0)，且與橢圓eq\f(x2,30)＋eq\f(y2,5)＝1有相同的焦點，求雙曲線的方程．[解析]∵橢圓eq\f(x2,30)＋eq\f(y2,5)＝1的焦點為(±5,0)，∴所求雙曲線的焦點為(±5,0)，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,25－a2)＝1，把(eq\r(5)，0)代入，得eq\f(5,a2)＝1，解得a2＝5.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?雙曲線定義的應(yīng)用典例1橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>n>0)與雙曲線eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1(a>0，b>0)有相同的焦點F1，F(xiàn)2，且P是這兩條曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|等于__m－a__.[思路分析]因為涉及與焦點的距離問題，可以首先考慮利用定義解決．[解析]由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(m)，①由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2eq\r(a)，②由①2減去②2的差再除以4得|PF1|·|PF2|＝m－a.『規(guī)律方法』在橢圓的探討中我們已經(jīng)體驗了定義在解決有關(guān)曲線上的點到焦點距離問題中的作用，同樣在雙曲線中也應(yīng)留意定義的應(yīng)用．已知雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形問題，往往利用正弦定理、余弦定理以及雙曲線的定義列出關(guān)系式．┃┃跟蹤練習(xí)1__■P是雙曲線eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1上一點，F(xiàn)1、F2是雙曲線的兩個焦點，且|PF1|＝17，則|PF2|的值為__33__.[解析]在雙曲線eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1中，a＝8，b＝6，故c＝10.由P是雙曲線上一點得，||PF1|－|PF2||＝16.∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.命題方向?待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程典例2(1)已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線經(jīng)過點(3，－4eq\r(2))和(eq\f(9,4)，5)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有公共焦點，且過點(3eq\r(2)，2)的雙曲線方程．[思路分析]可先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再構(gòu)造關(guān)于a、b的方程組，求得a、b，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．留意對平方關(guān)系c2＝a2＋b2的運用．[解析](1)由已知可設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(32,a2)－\f(9,b2)＝1,\f(25,a2)－\f(81,16b2)＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝16,b2＝9)).∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)解法一：設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由題意易求得c＝2eq\r(5).又雙曲線過點(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(3\r(2)2,a2)－eq\f(4,b2)＝1.又∵a2＋b2＝(2eq\r(5))2，∴a2＝12，b2＝8.故所求雙曲線的方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.解法二：設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,4＋k)＝1，將點(3eq\r(2)，2)代入得k＝4，∴所求雙曲線方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.『規(guī)律方法』1.利用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟如下：(1)定位置：依據(jù)條件判定雙曲線的焦點在x軸上還是在y軸上，還是兩坐標(biāo)軸都有可能；(2)設(shè)方程：依據(jù)焦點位置，設(shè)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦點不定時，亦可設(shè)為mx2＋ny2＝1(m·n<0)；(3)尋關(guān)系：依據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b(或m、n)的方程組；(4)得方程：解方程組，將a、b、c(或m、n)的值代入所設(shè)方程即為所求．2．在求過兩定點的橢圓方程時，我們曾經(jīng)將橢圓方程設(shè)為mx2＋my2＝1(m>0，n>0)以簡化運算，同理求經(jīng)過兩定點的雙曲線方程也可設(shè)為mx2＋ny2＝1，但這里應(yīng)有m·n<0.┃┃跟蹤練習(xí)2__■求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)雙曲線的一個焦點坐標(biāo)是(0，－6)，經(jīng)過點A(－5，6)；(2)與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1共焦點，且過點(－2，eq\r(10))．[解析](1)解法一：由已知得，c＝6，且焦點在y軸上，則另一焦點坐標(biāo)是(0,6)．因為點A(－5,6)在雙曲線上，所以點A與兩焦點的距離的差的肯定值是常數(shù)2a，即2a＝|eq\r(－52＋6＋62)－eq\r(－52＋6－62)|＝|13－5|＝8，得a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1.解法二：由焦點坐標(biāo)知c＝6，∴a2＋b2＝36，∴雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,36－a2)＝1.∵雙曲線過點A(－5,6)，∴eq\f(36,a2)－eq\f(25,36－a2)＝1，∴a2＝16，b2＝20.雙曲線方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1.(2)由eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1知焦點為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)．設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(10,a2)－\f(4,b2)＝1,a2＋b2＝9))，∴a2＝5，b2＝4.∴所求的雙曲線的方程為eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1.命題方向?雙曲線的焦點三角形問題典例3設(shè)雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1，F(xiàn)1、F2是其兩個焦點，點P在雙曲線右支上．(1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面積；(2)若∠F1PF2＝60°時，△F1PF2的面積是多少？若∠F1PF2＝120°時，△F1PF2的面積又是多少？[思路分析]由于三角形面積S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sinθ，所以只要求出|PF1|·|PF2|即可．因此可考慮用雙曲線定義及余弦定理求出|PF1|·|PF2|.[解析](1)由雙曲線方程知a＝2，b＝3，c＝eq\r(13)，設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，如圖所示．由雙曲線定義，有r1－r2＝2a＝4，兩邊平方得req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2＝16.∵∠F1PF2＝90°，∴req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＝4c2＝4×(eq\r(13))2＝52.∴2r1r2＝52－16＝36，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)r1r2＝9.(2)若∠F1PF2＝60°，在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2cos60°＝(r1－r2)2＋r1r2，而r1－r2＝4，|F1F2|＝2eq\r(13)，∴r1r2＝36.于是S△F1PF2＝eq\f(1,2)r1r2sin60°＝eq\f(1,2)×36×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3).同理可求得若∠F1PF2＝120°時，S△F1PF2＝3eq\r(3).『規(guī)律方法』雙曲線的焦點三角形是常見的命題著眼點，在焦點三角形中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義等是常常運用的學(xué)問點．另外，還常常結(jié)合|PF1|－|PF2|＝2a，運用平方的方法，建立它與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系，請同學(xué)們多加留意．┃┃跟蹤練習(xí)3__■若F1、F2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的兩個焦點，P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大?。甗解析]由雙曲線的對稱性，可設(shè)點P在第一象限，由雙曲線的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5.由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6.上式兩邊平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64＝100，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0.∴∠F1PF2＝90°.學(xué)科核心素養(yǎng)分類探討思想的應(yīng)用典例4已知方程kx2＋y2＝4，其中k為實數(shù)，對于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型．[思路分析]解答本題可依據(jù)所學(xué)的各種曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式的系數(shù)應(yīng)滿意的條件進行分類探討．[解析](1)當(dāng)k＝0時，y＝±2，表示兩條與x軸平行的直線；(2)當(dāng)k＝1時，方程為x2＋y2＝4，表示圓心在原點，半徑為2的圓；(3)當(dāng)k<0時，方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,－\f(4,k))＝1，表示焦點在y軸上的雙曲線；(4)當(dāng)0<k<1時，方程為eq\f(x2,\f(4,k))＋eq\f(y2,4)＝1，表示焦點在x軸上的橢圓；(5)當(dāng)k>1時，方程為eq\f(x2,\f(4,k))＋eq\f(y2,4)＝1，表示焦點在y軸上的橢圓．『規(guī)律方法』解決這類題的基本方法是分類探討，在分類探討的過程中應(yīng)做到不重不漏，選擇適當(dāng)?shù)姆纸琰c．在探討過程中應(yīng)說出該方程表示的是哪種曲線及其特征．┃┃跟蹤練習(xí)4__■探討方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,2－m)＝1(m<3)所表示的