2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.6函數(shù)的應(yīng)用二學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE1-4.6函數(shù)的應(yīng)用(二)4.7數(shù)學(xué)建模活動(dòng)：生長規(guī)律的描述(略)素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題．2．能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題．通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生相識(shí)函數(shù)模型的作用，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)．必備學(xué)問·探新知學(xué)問點(diǎn)指數(shù)函數(shù)型模型(1)表達(dá)形式：f(x)＝abx＋C．(2)條件：a，b，c為常數(shù)，a≠0，b＞0，b≠1．學(xué)問點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)型模型(1)表達(dá)形式：f(x)＝mlogax＋n．(2)條件：m，n，a為常數(shù)，m≠0，a＞0，a≠1．學(xué)問點(diǎn)冪函數(shù)型模型(1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1)(2)單調(diào)性：其增長狀況由xα中的α的取值而定．思索：指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型都是遞增的嗎？提示：不肯定，也可能是遞減的，依據(jù)底數(shù)的大小推斷．關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型指數(shù)函數(shù)模型┃┃典例剖析__■典例1某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，假如年自然增長率為1.2%，試解答下列問題：(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；(3)計(jì)算大約多少年后該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年)．(取1.01210＝1.127，log1.0121.20＝15)．[分析]詳細(xì)列出一年后、二年后、三年后的人口總數(shù)，利用歸納的方法，確定函數(shù)關(guān)系．[解析](1)1年后該城市人口總數(shù)為：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；2年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋1.2%)＋100×1.2%(1＋1.2%)＝100(1＋1.2%)2；3年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2·1.2%＝100(1＋1.2%)3；x年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋1.2%)x．(2)10年后該城市人口數(shù)為：100×(1＋1.2%)10＝112.7(萬)．(3)設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬，即100×(1＋1.2%)x＝120，∴1.012x＝1.20.∴x＝log1.0121.20＝15(年)．答：人口總數(shù)y與年份x間的函數(shù)關(guān)系是y＝100×(1＋1.2%)x，10年后的城市人口總數(shù)約為112.7萬，大約15年后該城市人口將達(dá)到120萬人．規(guī)律方法：有關(guān)增長(衰減)率問題在實(shí)際問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)平均增長率的問題，假如原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為P，則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值或總產(chǎn)量y，可以用公式y(tǒng)＝N(1＋P)x表示．解決平均增長率的問題，要用到這個(gè)函數(shù)式．當(dāng)增長率為負(fù)數(shù)即為降低率，此公式仍舊適用，這里P＜0(或y＝N(1－P)x，P＞0)．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■1．某公司預(yù)投資100萬元，有兩種投資方案可供選擇：方案一：年利率10%，按單利計(jì)算，5年后收回本金和利息；方案二：年利率9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后收回本金和利息．哪一種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元？(結(jié)果精確到0.01萬元)[解析]本金100萬元，年利率10%，按單利計(jì)算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(萬元)．本金100萬元，年利率9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(萬元)．由此可見，方案二更有利，5年后多得利息約3.86萬元．題型對(duì)數(shù)函數(shù)模型┃┃典例剖析__■典例2候鳥每年都要隨季節(jié)的改變而進(jìn)行大規(guī)模地遷徙，探討某種鳥類的專家發(fā)覺，該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a、b是實(shí)數(shù))．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥類在靜止的時(shí)候其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，其飛行速度為1m/s．(1)求出a、b的值；(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要多少個(gè)單位？[分析](1)依據(jù)已知列出方程組，解方程組求a、b的值；(2)由(1)列出不等式，解不等式求Q的最小值．[解析](1)由題意可知，當(dāng)這種鳥類靜止時(shí)，它的速度為0m/s，此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0①；當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，速度為1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1②．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0,a＋2b＝1))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝1))．(2)由(1)知，v＝a＋blog3eq\f(Q,10)＝－1＋log3eq\f(Q,10).所以要使飛行速度不低于2m/s，則有v≥2，即－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得eq\f(Q,10)≥27，即Q≥270．所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要270個(gè)單位．規(guī)律方法：對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(x＞0，a＞1)經(jīng)復(fù)合可以得到對(duì)數(shù)型函數(shù)，其函數(shù)值改變比較緩慢．干脆以對(duì)數(shù)型函數(shù)作為模型的應(yīng)用問題不是許多，但我們知道，對(duì)數(shù)運(yùn)算事實(shí)上是求指數(shù)的運(yùn)算，因此在指數(shù)函數(shù)模型中，也常用對(duì)數(shù)計(jì)算．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■2．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，安排逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2024年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過200萬元的年份是(C)(參考數(shù)據(jù)：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30)A．2024年 B．2024年C．2024年 D．2024年[解析]設(shè)經(jīng)過n年該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過200萬元，由題意，得130(1＋12%)n＞200，∴1.12n＞eq\f(20,13)＝eq\f(2,1.3)，兩邊取對(duì)數(shù)，得n＞log1.12eq\f(2,1.3)＝eq\f(lg\f(2,1.3),lg1.12)＝eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)＝eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，∵n∈N＋，∴n的最小值為4．故2024年起先該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過200萬元．題型函數(shù)模型的選擇問題┃┃典例剖析__■典例3某化工廠開發(fā)研制了一種新產(chǎn)品，在前三個(gè)月的月生產(chǎn)量依次為100t,120t,130t．為了預(yù)料今后各個(gè)月的生產(chǎn)量，須要以這三個(gè)月的月產(chǎn)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)來模擬月產(chǎn)量y與月序數(shù)x之間的關(guān)系．對(duì)此模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均為待定系數(shù)，x∈N*)或函數(shù)y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均為待定系數(shù)，x∈N*)．現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品在第四個(gè)月的月產(chǎn)量為137t，則選用這兩個(gè)函數(shù)中的哪一個(gè)作為模擬函數(shù)較好？[解析]依據(jù)題意可列方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝a＋b＋c＝100，,f2＝4a＋2b＋c＝120，,f3＝9a＋3b＋c＝130.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝35，,c＝70.))所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①同理y＝g(x)＝－180×0.5x＋140.②再將x＝4分別代入①式與②式得f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．與f(4)相比，g(4)在數(shù)值上更為接近第四個(gè)月的實(shí)際月產(chǎn)量，所以②式作為模擬函數(shù)比①式更好，故選用函數(shù)y＝g(x)＝pqx＋r作為模擬函數(shù)較好．規(guī)律方法：建立擬合函數(shù)與預(yù)料的基本步驟┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■3．某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，近年來，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長．記2024年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x)(萬件)之間的關(guān)系如下表所示： x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))x＋A．找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取2024年和2024年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式．[解析]最適合的函數(shù)模型是f(x)＝ax＋b，理由如下．若模型為f(x)＝2x＋a，則由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此時(shí)f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與已知相差太大，不符合．若模型為f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))x＋a，則f(x)是減函數(shù)，與已知不符合．故最適合的函數(shù)模型是f(x)＝ax＋B．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝\f(5,2).))所以f(x)＝eq\f(3,2)x＋eq\f(5,2)，x∈N．易錯(cuò)警示┃┃典例剖析__■典例4某工廠在兩年內(nèi)生產(chǎn)產(chǎn)值的月增長率都是a，則其次年某月的生產(chǎn)產(chǎn)值與第一年相應(yīng)月相比增長了第一年相應(yīng)月的__(1＋a)12－1__．[錯(cuò)解]b(1＋a)11[辨析]若某月的生產(chǎn)產(chǎn)值為b，月增長率為a，則x個(gè)月后的生