上?？萍及妫瓢妫┏踔袛?shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)全冊(cè)教案

第16章二次根式

16.1二次根式

教學(xué)目標(biāo)教學(xué)反思

1.經(jīng)歷二次根式概念的形成過(guò)程，了解二次根式是開(kāi)平方運(yùn)算引出的結(jié)果，

理解二次根式中被開(kāi)方數(shù)。的實(shí)際意義，即。是非負(fù)數(shù)，以及傷的非負(fù)性.

2.經(jīng)歷二次根式性質(zhì)的觀察、歸納、對(duì)比等探索過(guò)程，理解二次根式的性

質(zhì)1、性質(zhì)2,了解其區(qū)別與聯(lián)系,并能運(yùn)用性質(zhì)1,2解決一些問(wèn)題.

3.在二次根式概念、性質(zhì)的形成和探索中,鼓勵(lì)學(xué)生積極探究,樂(lè)于合作與

交流，發(fā)展學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)意識(shí)、分類(lèi)討論的意識(shí)，了解由特殊到一般再到具體的

處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：經(jīng)歷二次根式的概念、性質(zhì)的探索和形成過(guò)程.

難點(diǎn)：正確理解IaI

-a（a<0）.

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

問(wèn)題1什么叫做平方根？

一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于小那么這個(gè)數(shù)叫做。的平方根.

問(wèn)題2什么叫做算術(shù)平方根？

如果產(chǎn)=。（120）,那么x稱(chēng)為。的算術(shù)平方根，用仿（〃20）表示.

問(wèn)題3什么數(shù)有算術(shù)平方根？

我們知道，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開(kāi)平方時(shí)，被開(kāi)方數(shù)只能

是正數(shù)或0.

思考：用帶根號(hào)的式子填空，這些結(jié)果有什么特點(diǎn)？

（1）若一個(gè)正方形的面積為3,則其邊長(zhǎng)為m；一個(gè)面積為S的正方形，

其邊長(zhǎng)為m.

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形的圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m2,則它的寬為m.

（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間，（單位：s）與開(kāi)始落

下的高度。（單位：m）滿足關(guān)系力=5凡如果用含有〃的式子表示b那么，

答案：（1）6VS（2）V65（3）電

探究新知

探究一二次根式的定義

一般地，形如孤（"20）的式子叫做二次根式，其中。是被開(kāi)方數(shù).

判斷一個(gè)數(shù)（或式）是不是二次根式必須同時(shí)滿足：①根指數(shù)為2;②被開(kāi)

方數(shù)為非負(fù)數(shù).

【學(xué)生活動(dòng)】觀察“思考”中得出的問(wèn)題答案，分析它們的結(jié)構(gòu)形式，總

結(jié)它們的特征.

【教師活動(dòng)】根據(jù)學(xué)生提供的結(jié)論，得出二次根式的定義.

探究二二次根式的性質(zhì)

問(wèn)題1二次根式（聲）2的被開(kāi)方數(shù)。的取值范圍是什么？它本身的值又

是什么？

22

當(dāng)a>0,g表示。的算術(shù)平方根的平方，因此(氣)=4；教學(xué)反思

當(dāng)a=0,(Va)2表示0的算術(shù)平方根的平方，因此(G)2=0；

這就是說(shuō)，當(dāng)。20時(shí)，(VH)2=a.

類(lèi)似地，計(jì)算

o

L2B7L2

(V5)=_5_?(Jg)=—'VO)=0.

【學(xué)生活動(dòng)】根據(jù)所探究的內(nèi)容先填空，再在小組內(nèi)交流，總結(jié)(逅)2

在4的值一定時(shí)，(VH)2的值與0的關(guān)系.

【師生總結(jié)】①(傷)2的被開(kāi)方數(shù)。的取值范圍是。20；

2

②(Va)=a(心0).

問(wèn)題2二次根式后的被開(kāi)方數(shù)。的取值范圍是什么？它本身的值又是

什么？

當(dāng)a>0,后表示a2的算術(shù)平方根，因此病=/

當(dāng)用0,而表示0的算術(shù)平方根，因此必二0；

當(dāng)aVO,后表示a2的算術(shù)平方根，因此m=-&

這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)a〈0時(shí)，y/a^=-a.

類(lèi)似地，計(jì)算

J(^2=1,Vo?52=0.5,VQ2=_o,

7._______

產(chǎn)=-，V(-0.5)2=0.5

5

【學(xué)生活動(dòng)】根據(jù)所探究的內(nèi)容先填空，再在小組內(nèi)交流，總結(jié)房的值

與a的取值關(guān)系.

【師生總結(jié)】GI小卜

-a(a<0).

例題講解

【例1】說(shuō)一說(shuō)下列各式哪些是二次根式.

(1)V32;(2)6；(3)7^12；

(4)y/-m(wWO)；(5)y/xy；(6)Va24-1;(7)V5.

【解】(1)(4)(6)是二次根式.

(2)沒(méi)有開(kāi)方運(yùn)算；

(3)被開(kāi)方數(shù)是負(fù)數(shù)；

(5)q可能是負(fù)數(shù)；

(6)根指數(shù)不是2.

【學(xué)生活動(dòng)】指出每一個(gè)式子的特點(diǎn)，初步判斷，不是二次根式的說(shuō)出理由.

【師生總結(jié)】判定一個(gè)式子是不是二次根式有兩個(gè)條件：一是不是含有二

次根號(hào)；二被開(kāi)方數(shù)是不是非負(fù)數(shù).

跟蹤練習(xí)1.下列各式是否為二次根式？說(shuō)明理由.

(1)75；

(2)7^6；

(3)V7：

(4)(a<0).

解：(1)遙是二次根式；

(2)口，被開(kāi)方數(shù)小于零，不是二次根式；

(是三次根式；

3)V7?教學(xué)反思

(4)產(chǎn)1(a<0)是二次根式.

【例2】工為何值時(shí)，下列式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

(l)Vx+3;

⑵足.

【解】⑴要使有意義泌須x+320.

解這個(gè)不等式,得了2-3.

即當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

(2)因?yàn)閤為任何實(shí)數(shù)時(shí)都有爐20,

所以當(dāng)x為一切實(shí)數(shù)時(shí)，足在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義.

【學(xué)生活動(dòng)】根據(jù)二次根式的定義，確定被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)列不等式求

解，寫(xiě)出解題過(guò)程，小組內(nèi)交流.

【師生總結(jié)】二次根式有意義的條件是：被開(kāi)方式是非負(fù)數(shù).

跟蹤訓(xùn)練2.當(dāng)a是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

(1)VGI—1;(2)y/2a+3:(3)y［—a;(4)

【解】(1)。-120,/.心1；

3

(2)V2。+320，???；

2

(3)???-啟0,，aWO；

(4)V5-。>0,/.a<5.

【例3】計(jì)算：

(1)Ves)7：

(2)J(1-V2)2.

【解［(1)J(-5)2:屈=5或、/(-5)2=|-5|=5；

(2)J(l-V2)2=|l-V2I=-(l-V2)=V2-1.

【例4】先化簡(jiǎn)再求值N%2一27rx+目2,其中尸4.

［解］y/x2-2TTX4-n2=7(^-TT)2=Ix-nI,

當(dāng)x=4時(shí),Ix-nI=I4一兀|=4-71.

:.當(dāng)x=4時(shí)，yjx2-2TIX+n2=4~n.

【教師活動(dòng)】教師分析先化簡(jiǎn)再求值的題目，一般情況下，根號(hào)下是完全

平方式時(shí)，根據(jù)必=IaI求出結(jié)果再代入求值.

【學(xué)生活動(dòng)】先分析，在老師的指導(dǎo)下自主完成，小組內(nèi)交流，對(duì)出現(xiàn)的

錯(cuò)誤及時(shí)糾正.

跟蹤訓(xùn)練3.先化簡(jiǎn)，再求值.

已知a=VL求27a2-4a+4+(a+1)(a-l)的值.

解：2-y/a2-4a+4+(a+1)(a-l)

=2-y/(a-2)2+a2-l

=2~|a-2|+a2-l,

當(dāng)々=應(yīng)時(shí)，原式=2-(2-V2)+(V2)2-1=2-2+72+2-1=V2+1.

課堂練習(xí)

1.在非,小，行中，二次根式有.

2.當(dāng)分別取什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義？

(1)V12-3a.⑵忌(3)Va2+1

9

3.計(jì)算:

教學(xué)反思

(1)(Vib)2：(2)(-VO25)2；

(3)f(Iy；(4)-7(2X3)2.

4.化簡(jiǎn)ylx2-2x+\+V(x-2)2.

(1)當(dāng)xvl時(shí)，(2)當(dāng)1VXV2時(shí)，(3)當(dāng)x>2時(shí).

5.⑴已知4為實(shí)數(shù)，求代數(shù)拼族不I+V_4_2a+V淳的值.

(2)已知。為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式的值.

參考答案

1.V5,Va^

2.解：(1):12一3。20,aW4；

(2)Va+2>0,Ja>~2；

(3)Va2+l^0,Aa取任意實(shí)數(shù).

3.解：(1)10(2)0.25(3)-(4)-6

_________4__________________

4.解:yJx2-2x+1+J(x-2)Lj(x—1)2+J(x—2)2.

(1)當(dāng)xv1時(shí)VO,尸2<0,?二原式=1-4+2-x=3-2x;

(2)當(dāng)lvxv2時(shí)，x_l>0,x_2<0,/.原式K~1+2-X=1;

(3)當(dāng)x>2時(shí),尸1>0,尸2>0,；?原式=xT+x-2=2r~3.

5.解：(1)由題意，得。+220,-4-2。20,

a=-2.

/.-a+2+，-4-2a+V^=J(-2)2=2.

(2)由題意,得-小》(),,.?。220,...。2=0,.?.a-Q

>Ja+4+V9—a+V—a2=\/4+V9=2+3=5.

課堂小結(jié)

1.判斷一個(gè)數(shù)式是不是二次根式必須同時(shí)滿足：①根指數(shù)都為2;②被開(kāi)方

數(shù)為非負(fù)數(shù).

2.二次根式的性質(zhì)：

_2

(Va)=a(a20)：

Ja(aeO)，

y/a2=IaI=，

-a(a<0).

3.利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).

布置作業(yè)

教材第4頁(yè)練習(xí)

板書(shū)設(shè)計(jì)

16.1二次根式

1.二次根式的定義及其判斷依據(jù).

2.二次根式的性質(zhì)：

(Va)=a(a20)；

Ja(a'O)，

va2=IAI=-

-a(a<0).

第16章二次根式

16.2二次根式的運(yùn)算

第1課時(shí)二次根式的乘法與積的算術(shù)平方根

教學(xué)目標(biāo)教學(xué)反思

1.理解二次根式的乘法法則.

2.理解積的算術(shù)平方根的性質(zhì).

3.會(huì)運(yùn)用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解二次根式的乘法法則與積的算術(shù)平方根的性質(zhì).

難點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行笥單運(yùn)算.

教學(xué)過(guò)程

復(fù)習(xí)鞏固

1.二次根式的概念：??般地，我們把形如傘的式子叫做二次根式.

“廠”叫做二次根號(hào)，〃叫做被開(kāi)方數(shù).

2.二次根式的性質(zhì)：

(DVa的性質(zhì)：

即二次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；迎20,即二次根式的值非負(fù).

(2)簡(jiǎn)的性質(zhì)：值=|4|=卜3?°)，

[—a(a<0).

導(dǎo)入新課

問(wèn)題1運(yùn)用運(yùn)教火箭發(fā)射航天飛行器時(shí)，火箭必須達(dá)到一定的速度(第

一宇宙速度)，才能克服地球的引力，從而將飛船送入環(huán)地球運(yùn)行的軌道.第一

宇宙速度P與地球半徑〃之間存在如下關(guān)系：U|2=gR,其中g(shù)是重力加速度.請(qǐng)

用含g，R的代數(shù)式表示出第一宇宙速度也.

問(wèn)題2飛行器脫離地心引力，進(jìn)入圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道所需要的速度稱(chēng)

為第二宇宙速度.第二宇宙速度為F2=V2F.,請(qǐng)結(jié)合問(wèn)題1用含g,左的代數(shù)式表

示出第二宇宙速度外.

【答案】(1)第一宇宙速度叱屈.

(2)第二宇宙速度年〃病.

探究新知

探究點(diǎn)一二次根式的乘法

活動(dòng)1(自學(xué)提綱，生成問(wèn)題)閱讀教材P6的內(nèi)容，完成下面的練習(xí).

問(wèn)題1分別計(jì)算下列各題你有什么發(fā)現(xiàn)？

(1)V4X眄與"3T5；

(2)V9XV5I與'9X81；

(3)V025X與JO.25x100.

【解】⑴V4X79=2X3=6,

?\/4x9=V36=6.

(2)V9X781=3X9=27,

V9x81=7729=27.

(3)x/025XV100=0.5X10=5,

V0.25X100=x/25=5.

教學(xué)反思

發(fā)現(xiàn)：V4XV9=V43T9；V9XV81=V9x81；V025XV100=

V0.25x100.

思考：(學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng))

你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

學(xué)生回答：y/a,Vb=Vab(a>0,b>0).

【師生總結(jié)】

二次根式的乘法法則:如果力20,那么有-yfb=y[ab.

即兩個(gè)算術(shù)平方根的積，等于它們被開(kāi)方數(shù)的積的算術(shù)平方根.

【教師活動(dòng)】你能對(duì)這條性質(zhì)進(jìn)行證明嗎？

【學(xué)生活動(dòng)】小組交流，在老師的指導(dǎo)下，寫(xiě)出證明過(guò)程.

_222

因?yàn)楫?dāng)力20時(shí)，=(Va)(乃)=ab,

又(VHS)2=48,4〃的算術(shù)平方根只有一個(gè)，所以=

【教師活動(dòng)】若是三個(gè)或三個(gè)以上的二次根式相乘，該法則是否適合？

拓展：

二次根式乘法法則同樣適合三個(gè)及三個(gè)以上的二次根式相乘,即

\[a?4b....yfk=(々20,620,220).

【教師活動(dòng)】利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意什么問(wèn)題？

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生根據(jù)二次根式有意義的條件，進(jìn)行小組總結(jié).即利用二次

根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，注意被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

【教師活動(dòng)】根據(jù)等式的基本性質(zhì)，二次根式的乘法法則如何寫(xiě)？

【學(xué)生活動(dòng)】可以寫(xiě)成瘋=、0-V5.即積的算術(shù)平方根，等于積中各因式

的算術(shù)平方根的積.

【教師活動(dòng)】(引發(fā)學(xué)生思考:利用二次根式積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化

簡(jiǎn)時(shí)，需要注意什么？

【學(xué)生活動(dòng)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))積的算術(shù)平方根是二次根式乘法法則

的逆用，注意被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

【師生總結(jié)】

通過(guò)上面的計(jì)算可得出下面的結(jié)論：

積的算術(shù)平方根，等于各因式算術(shù)平方根的積.

用式子表示為屬=迎?A/5(。20,620).

例題講解

【例1】計(jì)算：

(1)V3xV5；(2)V27；(3)V2xV3xV5.

【解】⑴>/3xV5=V15；

(2)/xV27=RX27=眄=3；

(3)V2xV3xV5=A/2T3XV5=V6XV5=V30.

【教師活動(dòng)】指導(dǎo)學(xué)生第三小題使用先使用乘法結(jié)合律，再運(yùn)用乘法法則

進(jìn)行計(jì)算.

【學(xué)生活動(dòng)】利用二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，總結(jié)規(guī)律.

歸納：(3)只需其中兩個(gè)結(jié)合就可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化進(jìn)行計(jì)算，說(shuō)明二次根式乘法法

則同樣適合三個(gè)及三個(gè)以上的二次根式相乘.

跟蹤訓(xùn)練1.計(jì)算：

⑴石X幣;⑵出X79；

(3)>/9XV36；(4)金義瓜

【教師活動(dòng)】(引導(dǎo)學(xué)生思考;要利用二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算.

教學(xué)反思

解：⑴小義幣=后3=屈.

(2)AX內(nèi)=gx9=75?

(3)MXV36=V9x36=7324=18.

⑷&義?=爐=百，

【例2】計(jì)算：(1)275x3夕；(2)4>/27xf-l>/3j.

【解】⑴2V5x3夕=(2x3)(V3xV7)=6V21.

⑵4后X(_g石)=4x(-3)(V27X73)=-iX9=-1.

【教師活動(dòng)】(引發(fā)學(xué)生思考)利用二次根式積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化

簡(jiǎn)時(shí)，需要注意什么？

【學(xué)生活動(dòng)】根據(jù)老師的指導(dǎo)獨(dú)立完成計(jì)算過(guò)程，再在小組內(nèi)交流總結(jié)二

次根式乘法的計(jì)算方法.

【師生總結(jié)】當(dāng)二次根式根號(hào)外的因數(shù)不為1時(shí)，可類(lèi)比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式

的法則計(jì)算，即〃2遍?八歷(a，0,〃》0).

跟蹤訓(xùn)練2.計(jì)算：

(1)V6xV27;(2)(-3V5)X2V10.

解：(1)V6xV27=-6x27R2x3x33/VIx收=9技

(2)(-3V5)x2V10=(-3)XV5X2XV10=-6V5x10=-6V52V2

=-30V2.

【例3】化簡(jiǎn)：

(1)716^81；(2)V4a^Q20,620)；(3)V532-282.

【解】(1)J16x81=屈義廝=469=36.

(2)/4a2b3=V4?y[a^?=2a>/b-b2=2atrjb.

(3)V532-282=V(53-28)(53+28)

R53-28XV53+28=V25X廁=45.

【教師活動(dòng)】(引發(fā)學(xué)生思考)利用二次根式積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)

時(shí)，需要注意什么？

【學(xué)生活動(dòng)】根據(jù)積的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的積進(jìn)行運(yùn)算，交流在做

題中的注意事項(xiàng)，對(duì)此類(lèi)題的解題方法進(jìn)行總結(jié).

【題后總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行二次根式的運(yùn)算過(guò)程中，

可以把被開(kāi)方數(shù)中的“完全平方因式(因數(shù))”，用它的算術(shù)平方根代替，由根號(hào)

內(nèi)移到根號(hào)外，從而對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn).

跟蹤訓(xùn)練3.化簡(jiǎn)：

(1)7(-144)X(-169)；(2)-36X256;(3)V132-122.

解：⑴J(-144)X(-169)=V144X169=71^5xVI^=12X3=156.

(2)V36x256=V36XV256=6X16=96.

(3)V132-122=7(13-12)(134-12)=V13-12XV13+12=1XV25=5.

【總結(jié)】

化簡(jiǎn)二次根式的步驟：

1.把被開(kāi)方數(shù)分解因式(或因數(shù)).

2.把各因式(或因數(shù))積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式(或因數(shù))的算術(shù)平方根

的積.

3.如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應(yīng)用必把這個(gè)因式(或因數(shù))開(kāi)

出來(lái)，將二次根式化簡(jiǎn).

課堂練習(xí)^______教學(xué)反思

1.若-6)=V^?\/x—6,貝ij()

A-r26BJC^O

C.0WxW6Dj為一切實(shí)數(shù)

2.下列運(yùn)算正確的是()

A.2V18x3V5=6V80

B.V52-32=V52-V32=5-3=2

C.J(-4)x(-16)=Vz4xVz16=(-2)x(-4)=8

D.V52x32=V§2XV32=5X3=15

3.計(jì)算：

(1)V3xVi5=；(2)vwn=；

(3)V3X2V2=.

4.化簡(jiǎn)：

(l)x/20;(2)718；

(3)x/24；(4)Jl2a2b2(心0力20).

5.計(jì)算：⑴2A/3x5^1；

⑵3氐(彎｝

(3)3V2x2V10xV5；

(4)、-而?(心0力20).

6.設(shè)長(zhǎng)方形的面積為S,相鄰兩邊分別為〃，b.己知a=V§,b=g,求S.

參考答案

1.A

2.D

3.(1)3V5(2)6V2(3)276

4魂軸(1)720=275；(2)M=3及；

(3)姨=2"；(4)y)\2a2b2=2ab+.

5.解：(1)2百x5vH=2x5X，3x21=l(h/^V7=30斤.

(2)373x(-孚)=3x(一；)xV3xV18=-1x732x6

=--x3x>/6=-->/6.

44

(3)3A/2x2\410xV5=6V2x10x5=6x10=60.

=42a，b?=V?Vg2a=.

6.解:S=ab=M義瓜i

=J8x12="2x2x3=4卡.

課堂小結(jié)

1.二次根式的乘法法則.

2.兩個(gè)算術(shù)平方根的積，等于它們被開(kāi)方數(shù)的積的算術(shù)平方根.用式子

?VF=VHF(a20,b20)；4a,VK.........%=Ja/g?,gfc(心0,

b20,k20).

3.積的算術(shù)平方根，等于各因式算術(shù)平方根的積用式子表示為弼=依?

\[b（。20,力，0）.

布置作業(yè)教學(xué)反思

教材第7頁(yè)練習(xí)

板書(shū)設(shè)計(jì)

第1課時(shí)二次根式的乘法與積的算術(shù)平方根

一、二次根式的乘法法則

4a?4b=\la?b力20）.

兩個(gè)算術(shù)平方根的積，等于它們被開(kāi)方數(shù)的積的算術(shù)平方根.

二、積的算術(shù)平方根

y/ab=\/a?4b（心0,后0）.

積的算術(shù)平方根，等于各因式算術(shù)平方根的積.

第16章二次根式

16.2二次根式的運(yùn)算

第2課時(shí)二次根式的除法與商的算術(shù)平方根

教學(xué)目標(biāo)教學(xué)反思

1.理解二次根式的除法法則；理解商的算術(shù)平方根的性質(zhì).

2.會(huì)運(yùn)用二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算.

3.理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，會(huì)運(yùn)用分母有理化將二次根式化簡(jiǎn).

4.了解比較兩個(gè)不含字母的二次根式的大小.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解二次根式的除法法則與商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，理解最簡(jiǎn)二次

根式.

難點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單

運(yùn)算.

教學(xué)過(guò)程

復(fù)習(xí)鞏固

1.二次根式的乘法法則

\[a9\[b=y[ab(。20420).

兩個(gè)算術(shù)平方根的積，等于它們被開(kāi)方數(shù)的積的算術(shù)平方根.

2.積的算術(shù)平方根

積的算術(shù)平方根，等于各因式算術(shù)平方根的積.

用式子表示為(々20,b》o).

3.二次根式的性質(zhì)

(1)G的性質(zhì)：

即二次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)：傷20,即二次根式的值非負(fù).

(2)必的性質(zhì)：

/心20),

Va2=\a\=<

-a(a<0).

導(dǎo)入新課

活動(dòng)1閱讀教材P7的內(nèi)容，完成下面的練習(xí).

計(jì)算：(1)篇=------------------；居----------------

⑵親=------------------；啟=---------------

通過(guò)上面的計(jì)算，你有什么發(fā)現(xiàn)？

【教師活動(dòng)】提問(wèn)：你能用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

【學(xué)生活動(dòng)】計(jì)算每個(gè)式子的結(jié)果，進(jìn)行比較試著用字母表示規(guī)隼

探究新知

教學(xué)反思

探究點(diǎn)一二次根式的除法

問(wèn)題1在前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律乎=#中，a,b的取值范圍有沒(méi)有限制呢？

\lb\b

學(xué)生思考并回答：a20,b>0.

【教師活動(dòng)】通過(guò)上面的探究我們得到兩個(gè)二次根式相除的運(yùn)算法則：

宗=（（心。"?

即：兩個(gè)算術(shù)平方根的商，等于它們被開(kāi)方數(shù)的商的算術(shù)平方根.

探究點(diǎn)二商的算術(shù)平方根

【教師活動(dòng)】我們知道，把二次根式的乘法法則反過(guò)來(lái)就得到積的算術(shù)平

方根的性質(zhì).

類(lèi)似地，把二次根式的除法法則黑=13204>0）反過(guò)來(lái)，就得到

二次根式的商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：

展親心0"）.

商的算術(shù)平方根，等于兩個(gè)算術(shù)平方根的商.

探究三最簡(jiǎn)二次根式

計(jì)算：（1）回+6；（2）4+

【解】⑴依+依=嚼=嚕嚶=*我=2或；

V5V5XV55

（2）"E=口1=f712=74^=4.

寸3y］12y/312\3

［教師活動(dòng)］（引發(fā)學(xué)生思考:要利用二次根式的除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

【學(xué)生活動(dòng)】先根據(jù)老師的提示進(jìn)行計(jì)算，把最后的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)的形

式分析計(jì)算結(jié)果，總結(jié)規(guī)律.

【教師活動(dòng)】根據(jù)上面（1）的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)我們把分子、分母同乘以一個(gè)

相同的二次根式，這樣分母中的根號(hào)就去掉了，這種方法就是分母有理化.

二次根式的除法運(yùn)算,通常采用分子、分母同乘以一個(gè)式子化去分母中的

根號(hào)的方法來(lái)進(jìn)行,把分母中的根號(hào)化去,就是分母有理化.

對(duì)于二次根式運(yùn)算的結(jié)果,我‘門(mén)通常還需把它化成最簡(jiǎn).

滿足下列兩個(gè)條件的二次根式就是最簡(jiǎn)二次根式.

（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式；

（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

化簡(jiǎn)時(shí)注意：

（1）有時(shí)需將被開(kāi)方數(shù)分解因式；

（2）當(dāng)一個(gè)式子的分母中含有二次根式時(shí)，一般應(yīng)把分母有理化.

例題講解

【例1】計(jì)算：

⑴暮:⑵；⑶票;（4）2旦需

【解】（1）=瓜=2五.

(3)教學(xué)反思

(4)

=(2x2)xJ|-s-1=4x

=4x3=12.

【教師活動(dòng)】（引導(dǎo)學(xué)生思考）類(lèi)似（4）中被開(kāi)方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將

帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再運(yùn)用二次根式除法法則進(jìn)行運(yùn)算；巡視學(xué)生做題情況，

及時(shí)糾正錯(cuò)誤.

【學(xué)生活動(dòng)】在老師的指導(dǎo)下，利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算.

跟蹤訓(xùn)練1.計(jì)算：

⑴丁⑵卜⑶石

【探索思路】（引導(dǎo)學(xué)生思考）利用二次根式的除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，需要注

意什么？

解:（1）=y/4=2.

出卜期保=爐="=2.

⑷年喟=囪=2技

【題后總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）利用二次根式的除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)

算時(shí)，注意被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

【例2】化簡(jiǎn)：⑴屆；⑵唇⑶層

【解】⑴忌=%=需

[75_

（2）方法1：/F73_7?_5

V27-V3^33

方法2：

叵=尸_再_9

V25x2,5x）2而示5/

【教師活動(dòng)】（引發(fā)學(xué)生思考:利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，分別

用兩種不同的方法計(jì)算.

【學(xué)生活動(dòng)】小組內(nèi)同學(xué)分兩部分，分別用不同的方法，計(jì)算結(jié)束后交流

做題結(jié)果，總結(jié)做題過(guò)程中注意的問(wèn)題.

【師生總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）商的平方根是二次根式除法法則的逆

用，注意被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

跟蹤訓(xùn)練2.化簡(jiǎn)：

⑴島⑵辰

(3)VL25.

教學(xué)反思

【例3］比較2百和3企的大小.

［解］2V3=V4xV3=V4X~3=>/T2,

3>/2=V9xV2=V9xl=V18.

V12<18,/.V12<718；

A2V3<3V2.

你還有其他的證明方法嗎？

方法1：2y/3-3V2=V2xV3(V2-V3)<0,A273<3V2.

方法??

2：.3V2=(，V巴3)V［2=V.3<1，.2V3<3V2.

【教師活動(dòng)】(引發(fā)學(xué)生思考:比較兩個(gè)有理數(shù)的大小方法有哪些？我們是

不是可以類(lèi)比有理數(shù)的大小比較來(lái)比較二次根式的大小.

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生根據(jù)自己想到的方法對(duì)二次根式進(jìn)行比較，小組內(nèi)進(jìn)行

交流,小絹間進(jìn)行交流,總結(jié)二次根式的大小比較.進(jìn)行總結(jié).

【歸納】比較兩個(gè)二次根式大小的方法：可轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)被開(kāi)方數(shù)的大

小，即將根號(hào)外的正數(shù)平方后移到根號(hào)內(nèi)，計(jì)算出被開(kāi)方數(shù)后，再比較被開(kāi)方

數(shù)的大小，被開(kāi)方數(shù)大的，其算術(shù)平方根也大.也可以采用作差法、作商法、

平方法等.

跟蹤訓(xùn)練3.比較大?。?/p>

(1)2Vs與3V3；

(2)-2VT5與-3Vs.

解：(1),:2?回K產(chǎn)而,3V3=V32T3=V27,

且20V27,:.V20<V27,即2遙V3J5.

(2)V-2V13=-V22x13=-V52>

-3V6=-V32V6=-A/54,

且52V54,???V52<V54,

:.-V52>->/54,即一2尺>一3遍.

課堂練習(xí)

1.化簡(jiǎn)VT5+近的結(jié)果是()

A.9B.3C.3V2D.2V3

2.下列各式的計(jì)算中，結(jié)果為2遍的是()

A.V104-V2B.V2xV5

D.V8xV5

3.若使式子^半W成立,則實(shí)數(shù)2取值范圍是(

)

Vk-l

A.^lBQ2

C.1VZ2D.1WZ2

4.下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是()

A.V18B.V24C.V30D.V36

5.把下列根式化成最簡(jiǎn)二次根式：

(1)存(2)V9；(3)V12.

6.化簡(jiǎn)：

教學(xué)反思

(1)隼；(2)705；(3)七；(4)^^.

V3V3-1V6+V5

7.計(jì)算：2位X@+3>/L

4

參考答案

LB2.C3.B4.C

5.解:⑴卡=冬(2)a=3；(3)\/l2=2V3.

6.解：(1)普==V16=4；

⑵歷=店=舄=嚕；

⑶看=昌靛=中3-

(4)半邙=繇黑喀隼=(遙一花)2=1卜2回.

V6+x/5(V6+V5)(V6-V5i1)

7.解：2712x^^372

4

=(2x；+3)x，12x3+2

=-V18=-x3A/2=—.

662

課堂小結(jié)

(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))

法則赍.

(a2(U〉O)

拓展法則：，小/a+n\/b=(fn+n)da+b(a20,b>0)

艮:口=再\心0,b>0)

二次根式的除法<商的算術(shù)平方木

U4b

⑴二次根式被開(kāi)方數(shù)不含分母；

最簡(jiǎn)二次根式?(2)被開(kāi)方數(shù)中所有因數(shù)(或因式)的暴

的指數(shù)都小于2

布置作業(yè)

教材第9頁(yè)練習(xí)第1,2題.

板書(shū)設(shè)計(jì)

第2課時(shí)二次根式的除法與商的算術(shù)平方根

一、二次根式的除法法則

,。20力>0.

兩個(gè)算術(shù)平方根的商，等于它們被開(kāi)方數(shù)的商的算術(shù)平方根.

二、商的算術(shù)平方根

辱知妾0…）.教學(xué)反思

商的算術(shù)平方根，等于兩個(gè)算術(shù)平方根的商.

三、最簡(jiǎn)二次根式

（1）二次根式被開(kāi)方數(shù)不含分母；

（2）被開(kāi)方數(shù)中所有因數(shù)（或因式）的累的指數(shù)都小于2.

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

第16章二次根式

16.2二次根式的運(yùn)算

第3課時(shí)二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)教學(xué)反思

1.理解同類(lèi)二次根式的概念.

2.掌握二次根式的加、減法運(yùn)算法則.

3.會(huì)運(yùn)用二次根式的加、減法運(yùn)算法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握二次根式的加、減法運(yùn)算法則.

難點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用二次根式的加、減法運(yùn)算法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.

教學(xué)過(guò)程

復(fù)習(xí)鞏固

1.合并同類(lèi)項(xiàng)法則：

把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

2.整式加減的一般步驟：

先去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng).

3.最簡(jiǎn)二次根式：

（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

4.化簡(jiǎn)二次根式的步驟：

（1）把被開(kāi)方數(shù)分解因式（或因數(shù)）；

（2）把各因式（或因數(shù)）積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式（或因數(shù)］的算術(shù)

平方根的積；

（3）如果因式中有平方式（或平方數(shù)），應(yīng)用值=同把這個(gè)因式（或因數(shù)）

開(kāi)出來(lái)，將二次根式化簡(jiǎn).

導(dǎo)入新課

活動(dòng)1（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）

化簡(jiǎn)下列兩組二次根式，每組化簡(jiǎn)后有什么共同特點(diǎn)？

（1）V8,V18,后；

（2）780,V45,V20.

【教師活動(dòng)】（引發(fā)學(xué)生思考）要利用二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn).

（1）V§=2V2,V18=3V2,VO5=—；

（2）V80=4V5,V45=3V5,廊=2瓜

【學(xué)生活動(dòng)】化簡(jiǎn)二次根式，交流化簡(jiǎn)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)每一小題化簡(jiǎn)后被開(kāi)方

數(shù)分別相同.

探究新知

探究點(diǎn)一同類(lèi)二次根式

活動(dòng)2（合作探究，歸納總結(jié)）

根據(jù)活動(dòng)1可得（1）中各式化簡(jiǎn)后得到2VL3近，巴

2

（2）中各式化簡(jiǎn)后得到4西，3A，2V5.教學(xué)反思

【教師活動(dòng)】觀察上述（1）（2）的結(jié)果，總結(jié)同類(lèi)二次根式的定義.

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，像這樣的二次根

式稱(chēng)為同類(lèi)二次根式.

探究點(diǎn)二二次根式的加減

活動(dòng)3閱讀教材P10的內(nèi)容，完成下面的練習(xí)學(xué)生互學(xué)）

V18+V32-V50=3V2+4>/2-5>/2=（3+4-5）y［2=2yf2.

【教師活動(dòng)】在運(yùn)算過(guò)程中，每一個(gè)二次根式先化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式，仿

照實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.

【學(xué)生活動(dòng)】仿照實(shí)數(shù)的合并同類(lèi)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算.

【師生總結(jié)】二次根式加減法運(yùn)算步驟：

一般地，二次根式加減時(shí)，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同

類(lèi)二次根式合并.

例題講解

【例1］若最簡(jiǎn)根式—V3m-根與V5可以合并，求標(biāo)的值.

^_4

【解】由題意，得［2n+1=2,解得?

（3m-2n=3,1

所以J+；=4.

【教師活動(dòng)】指出3m-2n的指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)分別是什么?若兩個(gè)二

次根式能夠合并，則這兩個(gè)二次根式是同類(lèi)二次根式.

【學(xué)生活動(dòng)】根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義列方程組求解.

【師生總結(jié)】確定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被開(kāi)方數(shù)

相同，根指數(shù)都為2,列關(guān)于待定字母的方程求解即可.

跟蹤訓(xùn)練1.如果最簡(jiǎn)二次根式43a-8與V17-2a是同類(lèi)二次根式,

那么要使式子華3有意義,求x的取值范圍.

【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）要利用同類(lèi)二次根式的定義進(jìn)行計(jì)算.

解：由題意，得34-8=17-20，

/?4=5,

?Jx-aJx-5

???20—2x20,x-5>0,

???5VxW10.

2.下列二次根式中，與也是同類(lèi)二次根式的有哪些?

3\/2,y/s?f—\/2,-J1A.

解：與正是同類(lèi)二次根式的有3&,我,-72.

【例2】W：(1)780-^(45：(2)V9a+V25a：

(

⑶應(yīng)+4)3712-K.

【解】⑴廊-屈=4石-3石=石；

⑵瓦+X/5^=3G+5G=86；

(3)yjs+.1—=2\/2H—=2\/2+--=—\/2；

V5055/21010

(4)3向6=6而赤=6方-￡=教學(xué)反思

【教師活動(dòng)】(引發(fā)學(xué)生思考)利用二次根式加減法運(yùn)算步驟進(jìn)行計(jì)算.

【學(xué)生活動(dòng)】先化簡(jiǎn)每一個(gè)二次根式，再合并同類(lèi)二次根式.小組內(nèi)交流

判斷幾個(gè)二次根式是否可以合并，一定都要化為最簡(jiǎn)二次根式再判斷.

【師生總結(jié)】通過(guò)上面的計(jì)算可得出合并同類(lèi)二次根式的方法：

(1)化為最簡(jiǎn)二次根式；

(2)系數(shù)相加減；

(3)二次根式不變.如：myla+ny/a=(rn+n)Va.

跟蹤訓(xùn)練2.計(jì)算：⑴3V5-2V5；(2)3傘+4瘋

【探索思路】(引發(fā)學(xué)生思考)類(lèi)比利用合并同類(lèi)項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要

注意什么？

解：(1)36-2怖=(3-2)V3=V3；

(2)3>fa4-4yfa=(3+4)4a=ly[a.

【題后總結(jié)】注意把同類(lèi)二次根式的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，相

同的二次根式不變.

【例3】計(jì)算：

<1)2V126gI3V48;(2)(V12IV20)+(V3V5).

【解】⑴2712-6+3V48=4V3-2V3+12V3=14>/3；

(2)(V12+V20)+(V5-回=V12+A^O+A/3-V5

=2V3+2V5+V3-V5=3V3+底

【教師活動(dòng)】分析兩個(gè)小題的特征，第一個(gè)先把每一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)

的二次根式再加減，第二個(gè)先去括號(hào)，再化簡(jiǎn)每個(gè)二次根式，最后再加減.

【學(xué)生活動(dòng)】?jī)擅麑W(xué)生到黑板上板書(shū)，其他學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流,

再糾正整理.

跟蹤訓(xùn)練(學(xué)生獨(dú)學(xué))3.計(jì)算：⑴歷+R+g;

⑵3&+腐-而+有；

(3)27124-3V48-4^75.

解:⑴歷+'+V12=3>/3+—+2A/3=-^73.

V333

Q)30+弧-瓜+亞=30+4百-2垃+氏=丘+56.

(3)2x/12+3V48-4V75=473+126-2073=-475.

課堂練習(xí)

1.下列根式中，與V5是同類(lèi)二次根式的是()

A.及B.75

C.V8D.V12

2.下列計(jì)算正確的是()

A.V2+V2=2B.3+V2=3V2

C.V12-V3=V3D.V3+V2=>/5

3.與最簡(jiǎn)二次根式Vm+1能合并,則m=.

4.下列二次根式，不能與g合并的是(填序號(hào)).

①質(zhì)②-③y:?V18.

5.已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為畫(huà)，寬為VTL則其周長(zhǎng)為.

6.三角形的三邊長(zhǎng)分別為兩，V40,V45,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為.

教學(xué)反思

7.計(jì)算：(1)5V2+718=；

(2)4V18-9V2-；

(3)10V2+(3>/8-7V2)=；

(4)5V12-(3V8+2V27)=.

8.計(jì)算：

(1)5V8-2X/27+V18；(2)2\/18-V50+^745；

(3)V44-(3V11+11V2)；(4)(V48-4Q一(3木-4V05).

參考答案

l.D2.C3.1

4.②④

5.12百

6.5V5+2710

7.(1)8及(2)3V2(3)9魚(yú)(4)4百-6立

8.解：(1)5V8-2V27+V18=1'3V2-6V3+3V2=13V2-6V3；

(2)2718-V50+1V45=6V2-5V2+V5=V2+V5；

(3)V44-(3V11+11V2)=2V11-(3V11+11V2)

=2Vn-3g-11V2=-vli-11V2；

(4)(V48-4J)-(34-4V0^)=V48-4

=4遍-4x--3x34x—=473一企一V5+2a=3百+V2.

432

課堂小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

布置作業(yè)

教材第12頁(yè)練習(xí)第3,4題.

板書(shū)設(shè)計(jì)

第3課時(shí)二次根式的加減

一、同類(lèi)二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，像這樣的二次根

式稱(chēng)為同類(lèi)二次根式.

二、二次根式的加減

一般地，二次根式加減時(shí)，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式,再把同

類(lèi)二次根式合并.

第16章二次根式

16.2二次根式的運(yùn)算

第4課時(shí)二次根式的混合運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)教學(xué)反思

1.掌握二次根式的混合運(yùn)算的運(yùn)算法則.

2.會(huì)運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握二次根式的混合運(yùn)算的運(yùn)算法則.

難點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算.

教學(xué)過(guò)程

復(fù)習(xí)鞏固

1.二次根式的化簡(jiǎn)包括的兩個(gè)主要方面

(1)如果被開(kāi)方數(shù)中含有完全平方的因數(shù)(或因式)，可利用積的算術(shù)平方根

的性質(zhì)，將它們“開(kāi)方”出來(lái)；

(2)如果被開(kāi)方數(shù)中含有分母，通常可利用分?jǐn)?shù)(或分式)的基本性質(zhì)

將分母“配”成完全平方，再將它們“開(kāi)方”出來(lái).

(3)化簡(jiǎn)的關(guān)鍵是把被開(kāi)方數(shù)中的完全平方因數(shù)(或因式)開(kāi)出來(lái).

2.同類(lèi)二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次

根式稱(chēng)為同類(lèi)二次根式.

3.二次根式的運(yùn)算

\[a,\[b=yfab（a》0,b20）；比＞0）.

二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相

同的二次根式進(jìn)行合并.

導(dǎo)入新課

問(wèn)題1單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則分別是什么?

rn(a+b+c)=汁〃ic；

(m+n)(a+b)=nui+mb+na+nb.

問(wèn)題2多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法法則是什么？

(ma+mb+mc)a+b+c.

問(wèn)題3實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：

先算乘方，開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)內(nèi)的.

講授新知

探究點(diǎn)二次根式