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考點01實數(shù)一、實數(shù)的相關概念實數(shù)的相關概念正數(shù)大于0的數(shù)叫做正數(shù)意義:表示具有相反意義的量負數(shù)在正數(shù)前面加上“-”號的數(shù)叫做負數(shù)數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù),叫做互為相反數(shù)(1)若a,b互為相反數(shù),則a+b=0;(2)0的相反數(shù)是0;(3)在數(shù)軸上,互為相反數(shù)的兩個數(shù)對應的點到原點的距離相等.絕對值數(shù)軸上點a與原點的距離叫做a的絕對值,記作SKIPIF1<0絕對值具有非負性:SKIPIF1<0倒數(shù)乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)(1)ab=1?a,b互為倒數(shù);(2)0沒有倒數(shù);(3)倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和-1.科學計數(shù)法把一個數(shù)寫成a×10n(其中1≤|a|<10,n為整數(shù))的形式無理數(shù)無限不循環(huán)的小數(shù)叫做無理數(shù)平方根①如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根,記作SKIPIF1<0;②性質(zhì):正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù);0的平方根是0;負數(shù)沒有平方根.算術平方根①如果一個正數(shù)的平方等于a,即x2=a,那么這個數(shù)x叫做a的算術平方根,記作SKIPIF1<0.②非負性:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0立方根①如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根,記作SKIPIF1<0.②性質(zhì):正數(shù)只有一個正的立方根;0的立方根是0;負數(shù)只有一個負的立方根.③SKIPIF1<0,SKIPIF1<0零指數(shù),負指數(shù)冪SKIPIF1<0;SKIPIF1<0非負數(shù)1.常見的三種非負數(shù):|a|≥0,a2≥0,eq\r(a)≥0(a≥0).2.非負數(shù)的性質(zhì):①非負數(shù)有最小值是零;②任意幾個非負數(shù)的和仍為非負數(shù);③幾個非負數(shù)的和為0,則每個非負數(shù)都等于0.二、實數(shù)的分類實數(shù)的分類按定義分有理數(shù)整數(shù)分數(shù)無理數(shù)正無理數(shù)負無理數(shù)按正負分正實數(shù)0負實數(shù)三、實數(shù)的運算實數(shù)的運算加法同號兩數(shù)相加,取原來的符號。并把它們的絕對值相加。異號兩數(shù)相加,取絕對儲較大的加數(shù)的符號,并用較大數(shù)的絕對值減失較小數(shù)的絕對值。減法減去一個效等于加上這個數(shù)的相反數(shù)乘法兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負,并把它們的絕對值相乘幾個非零實數(shù)相乘。積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定,當負因數(shù)有偶數(shù)個時,積為正;當負因數(shù)有奇數(shù)個時,積為負n個數(shù)相乘,有一個因數(shù)為0,積為0.除法兩數(shù)相除,同號得正,異號得負,并把它們的絕對值相除0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0乘方幾個相同因數(shù)的積的運算,叫做乘方,記作an(a≠0,n為正整數(shù))開方與乘方互為逆運算運算順序分級:加減是一級運算。除是二級運算,乘方和開方是三級運算,三級運算的題序是三二一、(如果有括號,先算括號內(nèi)的;如果沒有括號,在同一級運算中,要從左至右進行運算,無論何種運算,都要注意先定符號后運算)【考點1】實數(shù)的概念與分類【例1】下列實數(shù)中是無理數(shù)的是()A.3.14 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【分析】根據(jù)算術平方根、無理數(shù)的定義即可得.【解答】A、SKIPIF1<0是有限小數(shù),屬于有理數(shù),此項不符題意;B、SKIPIF1<0,是有理數(shù),此項不符題意;C、SKIPIF1<0是無理數(shù),此項符合題意;D、SKIPIF1<0是分數(shù),屬于有理數(shù),此項不符題意;故選:C.無理數(shù)常見的四種類型”:(1)開不盡的數(shù),如SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(2)含有π的絕大部分數(shù),如π,SKIPIF1<0(3)具有特定結(jié)構的數(shù),如0.10100000(兩個1之間依次增加1個0)(4)三角函數(shù)數(shù)中的一些數(shù),如SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.1.(2022·安徽)下列為負數(shù)的是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)正負數(shù)的意義分析即可;【詳解】解:A、SKIPIF1<0=2是正數(shù),故該選項不符合題意;B、SKIPIF1<0是正數(shù),故該選項不符合題意;C、0不是負數(shù),故該選項不符合題意;D、-5<0是負數(shù),故該選項符合題意.故選D.2.(2022·浙江金華)在SKIPIF1<0中,是無理數(shù)的是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.2【答案】C【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可;【詳解】解:∵-2,SKIPIF1<0,2是有理數(shù),SKIPIF1<0是無理數(shù),故選:C.3.(2022·江蘇連云港)寫出一個在1到3之間的無理數(shù):_________.【答案】SKIPIF1<0(答案不唯一)【分析】由于12=1,32=9,所以只需寫出被開方數(shù)在1和9之間的,且不是完全平方數(shù)的數(shù)即可求解.【詳解】解:1和3之間的無理數(shù)如SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0(答案不唯一).【考點2】正負數(shù)的意義【例2】若盈余2萬元記作SKIPIF1<0萬元,則SKIPIF1<0萬元表示()A.盈余2萬元 B.虧損2萬元 C.虧損SKIPIF1<0萬元 D.不盈余也不虧損【分析】根據(jù)正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量解答.【解答】解:∵盈余2萬元記作+2萬元,∴-2萬元表示虧損2萬元,故選:B.正負數(shù)的意義:表示具有相反意義的量1.(2022·廣西桂林)在東西向的馬路上,把出發(fā)點記為0,向東與向西意義相反.若把向東走2km記做“+2km”,那么向西走1km應記做(
)A.﹣2km B.﹣1km C.1km D.+2km【答案】B【分析】在一對具有相反意義的量中,先規(guī)定其中一個為正,則另一個就用負表示.【詳解】解:若把向東走2km記做“+2km”,那么向西走1km應記做﹣1km.故選:B.2.(2022·云南)中國是最早采用正負數(shù)表示相反意義的量,并進行負數(shù)運算的國家.若零上10℃記作+10℃,則零下10℃可記作(
)A.10℃ B.0℃ C.-10℃ D.-20℃【答案】C【分析】零上溫度記為正,則零下溫度就記為負,則可得出結(jié)論.【詳解】解:若零上SKIPIF1<0記作SKIPIF1<0,則零下SKIPIF1<0可記作:SKIPIF1<0.故選:C.3.(2022·廣西)負數(shù)的概念最早出現(xiàn)在中國古代著名的數(shù)學專著《九章算術》中,負數(shù)與對應的正數(shù)“數(shù)量相等,意義相反”,如果向東走了5米,記作+5米,那么向西走5米,可記作______米.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)用正負數(shù)表示兩種具有相反意義的量,如果向東走了5米,記作+5米,那么向西走5米,可記作SKIPIF1<0米.【詳解】解:∵向東走了5米,記作+5米,∴向西走5米,可記作SKIPIF1<0米,故答案為:SKIPIF1<0.【考點3】數(shù)軸的運用【例3】若SKIPIF1<0,則實數(shù)SKIPIF1<0在數(shù)軸上對應的點的位置是().A. B.C. D.【分析】首先根據(jù)a的值確定a的范圍,再根據(jù)a的范圍確定a在數(shù)軸上的位置.【解答】解:∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴點A在數(shù)軸上的可能位置是:,故選:A.【例4】(2022·貴州黔東南)在解決數(shù)學實際問題時,常常用到數(shù)形結(jié)合思想,比如:SKIPIF1<0的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)SKIPIF1<0的點與表示數(shù)SKIPIF1<0的點的距離,SKIPIF1<0的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)SKIPIF1<0的點與表示數(shù)2的點的距離.當SKIPIF1<0取得最小值時,SKIPIF1<0的取值范圍是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意畫出數(shù)軸,然后根據(jù)數(shù)軸上的兩點距離可進行求解.【詳解】解:如圖,由SKIPIF1<0可得:點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別表示數(shù)SKIPIF1<0、2、SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的幾何意義是線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的長度之和,SKIPIF1<0當點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時,SKIPIF1<0,當點SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的左側(cè)或點SKIPIF1<0的右側(cè)時,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0取得最小值時,SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0;故選B.1.(2022·陜西)實數(shù)a,b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示,則a______SKIPIF1<0.(填“>”“=”或“<”)【答案】<【分析】根據(jù)在數(shù)軸上右邊的數(shù)據(jù)大于左邊的數(shù)據(jù)即可得出答案.【詳解】解:如圖所示:-4<b<-3,1<a<2,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.故答案為:<.2.(2022·廣西)如圖,數(shù)軸上的點A表示的數(shù)是SKIPIF1<0,則點A關于原點對稱的點表示的數(shù)是(
)A.SKIPIF1<0 B.0 C.1 D.2【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示一對相反數(shù)的點關于原點對稱即可求得答案.【詳解】∵數(shù)軸上的點A表示的數(shù)是?1,∴點A關于原點對稱的點表示的數(shù)為1,故選:C.3.(2022·黑龍江大慶)實數(shù)c,d在數(shù)軸上的對應點如圖所示,則下列式子正確的是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點表示的數(shù)右邊的總比左邊的大,有理數(shù)的運算,絕對值的意義,可得答案.【詳解】解:由數(shù)軸上的點表示的數(shù)右邊的總比左邊的大,得c<0<d,A、SKIPIF1<0,原結(jié)論錯誤,故此選項不符合題意;B、SKIPIF1<0,原結(jié)論錯誤,故此選項不符合題意;C、∵c<0<d,且SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,原結(jié)論正確,故此選項符合題意;D、∵c<0<d,且SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,原結(jié)論錯誤,故此選項不符合題意;故選:C.【考點4】絕對值、相反數(shù)與倒數(shù)【例5】SKIPIF1<0的絕對值是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【分析】利用絕對值的定義直接得出結(jié)果即可【解答】解:SKIPIF1<0的絕對值是:9故選:A【例6】﹣SKIPIF1<0的相反數(shù),倒數(shù).【分析】根據(jù)相反數(shù)與倒數(shù)的概念解答即可.【解答】解:∵﹣SKIPIF1<0的相反數(shù)是SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0倒數(shù)是SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0,SKIPIF1<01.(2022·四川成都)SKIPIF1<0的相反數(shù)是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】直接根據(jù)相反數(shù)的求法求解即可.【詳解】解:任意一個實數(shù)a的相反數(shù)為-a由?SKIPIF1<0的相反數(shù)是SKIPIF1<0;故選A.2.(2022·廣西梧州)SKIPIF1<0的倒數(shù)是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義:如果兩個數(shù)的乘積為1,那么這兩個數(shù)互為倒數(shù),進行求解即可【詳解】解:∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0的倒數(shù)是SKIPIF1<0,故選:A.3.(2022·江蘇泰州)若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的值為__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0,由絕對值的意義即可求解.【詳解】解:由題意可知:當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,故答案為:SKIPIF1<0.【考點5】科學計數(shù)法【例7】(2022·湖南邵陽)5月29日騰訊新聞報道,2022年第一季度,湖南全省地區(qū)生產(chǎn)總值約為11000億元,11000億用科學記數(shù)法可表示為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的值是(
)A.0.11 B.1.1 C.11 D.11000【答案】B【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,整數(shù)位數(shù)減1即可.當原數(shù)絕對值>10時,n是正數(shù);當原數(shù)的絕對值<1時,n是負數(shù).【詳解】解:因為1億=108,所以11000億用科學記數(shù)法表示為1.1×104×108=1.1×1012.故選:B.科學記數(shù)法的表示方法:一般形式:a×10n.1.a(chǎn)值的確定:1≤|a|<10.2.n值的確定:①當原數(shù)的絕對值大于或等于10時,n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1;②當原數(shù)的絕對值小于1時,n是負整數(shù),它的絕對值等于原數(shù)左起第一個非零數(shù)字前所有零的個數(shù)(含小數(shù)點前的零).注意:若含有計數(shù)單位,則先把計數(shù)單位轉(zhuǎn)化為數(shù)字,再用科學記數(shù)法表示.1.(2022·浙江杭州)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布我國2021年年末總?cè)丝诩s1412600000人,數(shù)據(jù)1412600000用科學記數(shù)法可以表示為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值≥10時,n是正整數(shù),當原數(shù)絕對值<1時,n是負整數(shù).【詳解】解:1412600000=SKIPIF1<0.故選:B.2.(2022·內(nèi)蒙古呼和浩特)據(jù)2022年5月26日央視新聞報道,今年我國農(nóng)發(fā)行安排夏糧收購準備金1100億元.數(shù)據(jù)“1100億”用科學記數(shù)法表示為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值≥10時,n是正整數(shù);當原數(shù)的絕對值<1時,n是負整數(shù).【詳解】解:1100億=110000000000=SKIPIF1<0,故選:B.3.(2022·湖北武漢)科學家在實驗室中檢測出某種病毒的直徑的為0.000000103米,該直徑用科學記數(shù)法表示為___________米.【答案】1.03×10-7【分析】根據(jù)絕對值小于1的數(shù)可以用科學記數(shù)法表示,一般形式為a×10-n,與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪,指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定,即可求解.【詳解】解:0.000000103=1.03×10-7.故答案為:1.03×10-7【考點6】實數(shù)的大小比較【例8】比較大小:SKIPIF1<0__________SKIPIF1<0(填寫“>”或“<”或“=”).【分析】直接用SKIPIF1<0,結(jié)果大于0,則SKIPIF1<0大;結(jié)果小于0,則SKIPIF1<0大.【解答】解:SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,故答案為:>.比較實數(shù)大小的五種方法(1)絕對值比較法:兩個負數(shù)比較大小,絕大值大的反而?。?)數(shù)軸比較法:在數(shù)軸上表示的兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大(3)平方比較法:先將要平方的兩個數(shù)分別平方,再根據(jù)a>0,b>0時,可由a2>b2得到a>b來比較大小。(4)取近以值法:首先對要比較的兩個數(shù)取近以值通過比較其近似值來比較兩個數(shù)的大小,(5)差值比較法1.(2022·四川雅安)在﹣SKIPIF1<0,1,SKIPIF1<0,3中,比0小的數(shù)是()A.﹣SKIPIF1<0 B.1 C.SKIPIF1<0 D.3【答案】A【分析】根據(jù)實數(shù)的大小比較法則(正數(shù)大于0,0大于負數(shù),正數(shù)大于一切負數(shù))及無理數(shù)的估算進行分析求解.【詳解】解:∵﹣SKIPIF1<0<0<SKIPIF1<0<1<3∴在﹣SKIPIF1<0,1,SKIPIF1<0,3中,比0小的數(shù)是﹣SKIPIF1<0.故選:A.2.(2022·江蘇蘇州)下列實數(shù)中,比3大的數(shù)是(
)A.5 B.1 C.0 D.-2【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則比較即可.【詳解】解:因為-2<0<1<3<5,所以比3大的數(shù)是5,故選:A.3.(2022·四川南充)比較大小:SKIPIF1<0_______________SKIPIF1<0.(選填>,=,<)【答案】<【分析】先計算SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,然后比較大小即可.【詳解】解:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0故答案為:<.【考點7】平方根、算術平方根與立方根【例9】數(shù)4的算術平方根是()A.2 B.﹣2 C.±2 D.2【分析】算術平方根的定義:一個非負數(shù)的正的平方根,即為這個數(shù)的算術平方根,由此即可求出結(jié)果.【解析】∵2的平方為4,∴4的算術平方根為2.故選:A.【例10】實數(shù)8的立方根是.【分析】根據(jù)立方根的性質(zhì)和求法,求出實數(shù)8的立方根是多少即可.【解析】實數(shù)8的立方根是:38故答案為:2.1.(2022·四川瀘州)SKIPIF1<0(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.2【答案】A【分析】根據(jù)算術平方根的定義可求.【詳解】解:SKIPIF1<0-2,故選A.2.(2022·四川涼山)化簡:SKIPIF1<0=(
)A.±2 B.-2 C.4 D.2【答案】D【分析】先計算(-2)2=4,再求算術平方根即可.【詳解】解:SKIPIF1<0,故選:D.3.(2022·浙江杭州)計算:SKIPIF1<0_________;SKIPIF1<0_________.【答案】
2
4【分析】根據(jù)算術平方根的性質(zhì),乘方的運算法則,即可求解.【詳解】解:SKIPIF1<0;SKIPIF1<0.故答案為:2,4【考點8】實數(shù)的估算與運算【例11】實數(shù)SKIPIF1<0在數(shù)軸上的對應點可能是()A.SKIPIF1<0點 B.SKIPIF1<0點 C.SKIPIF1<0點 D.SKIPIF1<0點【分析】先求出SKIPIF1<0的近似值,再判定它位于哪兩個整數(shù)之間即可找出其對應點.【解答】解:∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴它表示的點應位于2和3之間,所以對應點是點D,故選:D.【例12】(2022·湖北鄂州)生物學中,描述、解釋和預測種群數(shù)量的變化,常常需要建立數(shù)學模型.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下,某種細胞可通過分裂來繁殖后代,我們就用數(shù)學模型2n來表示.即:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,……,請你推算22022的個位數(shù)字是(
)A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【分析】利用已知得出數(shù)字個位數(shù)的變化規(guī)律進而得出答案.【詳解】解:∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…,∴尾數(shù)每4個一循環(huán),∵2022÷4=505……2,∴22022的個位數(shù)字應該是:4.故選:C.【例13】計算:.【分析】先分別計算出有理數(shù)的乘方及括號內(nèi)的有理數(shù)加減,再計算乘除,即可求得結(jié)果.【解答】解:.關于實數(shù)的運算,要掌握好與實數(shù)的有關概念、性質(zhì),靈活地運用各種運算律,關鍵是把好符號關;在較復雜的運算中,不注意運算順序或者不合理使用運算律,從而使運算出現(xiàn)錯誤。1.(2022·江蘇宿遷)滿足SKIPIF1<0的最大整數(shù)SKIPIF1<0是_______.【答案】3【分析】先判斷SKIPIF1<0從而可得答案.【詳解】解:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0的最大整數(shù)SKIPIF1<0是3.故答案為:3.2.(2022·四川瀘州)與SKIPIF1<0最接近的整數(shù)是(
)A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【分析】估算無理數(shù)的大小即可得出答案.【詳解】解:∵12.25<15<16,∴3.5<SKIPIF1<0<4,∴5.5<2+SKIPIF1<0<6,∴最接近的整數(shù)是6,故選:C.3.(2022·黑龍江大慶)函數(shù)SKIPIF1<0叫做高斯函數(shù),其中x為任意實數(shù),SKIPIF1<0表示不超過x的最大整數(shù).定義SKIPIF1<0,則下列說法正確的個數(shù)為(
)①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③高斯函數(shù)SKIPIF1<0中,當SKIPIF1<0時,x的取值范圍是SKIPIF1<0;④函數(shù)SKIPIF1<0中,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【分析】根據(jù)SKIPIF1<0表示不超過x的最大整數(shù),即可解答.【詳解】解:①SKIPIF1<0,故原說法錯誤;②SKIPIF1<0,正確,符合題意;③高斯函數(shù)SKIPIF1<0中,當SKIPIF1<0
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