全國高中數(shù)學競賽試題及答案匯集

全國高中數(shù)學競賽試題及答案匯集

全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題(A卷)

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分。把答案填在橫線上.

1.設集合A=｛q,a2M3MJ，若A中所有三元子集的三個元素之和組成的集合為

B=｛-1,3,5,8｝,則集合A=.

2.函數(shù)〃x)二如±1的值域為.

x-l

3.設人為正實數(shù)，—+—<2>/2,(a-b)2=4(ab)3,則log“b=.

4.如果cos5e-sin59<7(sin?〃-cos3。)，夕€。2萬)，那么。的取值范圍是.

5.現(xiàn)安排7名同學去參加5個運動項目，要求甲、乙兩同學不能參加同一個項目，每

個項目都有人參加，每人只參加一個項目，則滿足上述要求的不同安排方案數(shù)

為.(用數(shù)字作答)

6.在四面體中，已知乙位)6=N5DC=NCD4=6(r,AD=BD=3,CD=2,則

四面體ABC。的外接球的半徑為.

7.直線x-2y-l=0與拋物線/=4x交于A,8兩點，C為拋物線上的一點，ZACB=9(r,

則點C的坐標為.

8.已知巴=C所.閨(n=12…,95),則數(shù)列｛%｝中整數(shù)項的個數(shù)為,

二、解答題：本大題共3小題，共56分.解答應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.

9.(本小題滿分16分)設函數(shù)/(x)=jlg(x+l)|,實數(shù)a,伙a<8)滿足/(〃)=/(-如L,

〃+2

/(10a+6^+21)=41g2,求a,L的值.

10.(本小題滿分20分)已知數(shù)列｛4｝滿足,ax=2/-3(/GRH.Z^±1),

+"n

(2r"-3)an+2(/-l)r-1/…、

…——…).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若，>0,試比較a“+］與％的大小.

11.(本小題滿分20分)作斜率為，的直線/與橢圓C：片+片=1交于AB兩點(如

3364

圖所示)，且尸(30\啦)在直線/的左上方.

(1)證明：△PA8的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上;

(2)若N4PB=6(r,求△PA8的面積.

2011年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題（A卷）

一、（本題滿分40分）如圖，P,Q分別是圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC,瓦）的中

點.若NW乂=/。必，證明：ZAQB=NCQB.

二、（本題滿分40分）證明：對任意整數(shù)〃之4,存在一個〃次多項式

f（x）=xn+…++%

具有如下性質(zhì)：

（1）劭,4,…,%T均為正整數(shù)；

（2）對任意正整數(shù)機，及任意&飲之2）個互不相同的正整數(shù)不公…,〃，均有

/（m）*/（7j）f（r2）??f（rk）.

三、（本題滿分50分）設％,電,…,4〃（〃24）是給定的正實數(shù)，<a2<???<??.對任意

正實數(shù)「，滿足之二&=r（1Ki<j<心〃）的三元數(shù)組（/,j,k）的個數(shù)記為。⑺.

4f

證明：（（「）<4?

四、（本題滿分50分）設A是一個3x9的方格表，在每一個小方格內(nèi)各填一個正整數(shù).稱

A中的一個機x〃（lWmW3,1W〃W9）方格表為"好矩形"，若它的所有數(shù)的和為10的倍數(shù).稱

A中的一個1x1的小方格為“壞格”，若它不包含于任何一個“好矩形”.求A中“壞格”個

數(shù)的最大值.

2011年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試

試題參考答案及評分標準(A卷)

說明：

1.評閱試卷時,請嚴格按照本評分標準.填空題只設8分和0分兩檔：解答題的評閱.

請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確.在評卷時可參考本

評分標準適當劃分檔次評分.解答題第9題4分為一個檔次，第10,11題5分為一個檔次.

不要再增加其他中間檔次.

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.把答案填在橫線上.

1.設集合A={《,若A中所有三元子集的三個元素之和組成的集合為

?=(-!.3,5,8),則集合4=.

解顯然,在人的所有三元了?集中,每個元素均出現(xiàn)了3次,所以

3(?)+a2+?,+4)=(-1)+3+5+8=15,

故外+/+a,+a,=5,于是集合A的四個元素分別為5—(—1)=6.5—3=2,5—5

=0,5-8=-3,因此，集合4={-3,026).

2.函數(shù)/⑴二皆亙的值域為

X-1

解設工=團］。,一三＜。＜匹，且。注工，則

224

/(x)=_cos^_=_!_=——!——.

ian￡-lsin0-cos0V^sin(^-—)

設〃=V5sin(g-為，則-0且〃=0,

1J5

所以/(x)=-G(-oo-2-]U(U4CO).

u2

3.設a,b為正實數(shù)，—+—<1J1?[a-b)2=4{ab)y,則log/=________________

ab

解由,+工工2五，得a+bS26ab.

ab

乂(a+b)2=4ab+(a-b)1=4ab+4(ab)^42yjab-(aby=8(ab)‘，

B|Ja+b^2yf2ab.①

「是a+b=242ab.

與②聯(lián)立解得;二篇無索:

再由不等式①中等號成立的條件,得加=1.

故log“b=~\.

4.如果85*-加，夕<7（南3-853。）,夕《也2幻，那么6的取值范圍是

解不等式cos，，-sin'0<7(sin10—cosJ6)等價于sin'<?+—sin5夕>cos'cos'0，

77

乂/（x）=犬+是（-?,+<?）上的增函數(shù)，所以sin。>cos。，

故2A/r+?v6<2k^(AeZ).

因為夕40.2幻，所以夕的取值范用是.羊）

5.現(xiàn)安抖7名同學去參加5個運動項目，要求甲、乙兩同學不能參加同一個項目，每

個項目都有人參加，每人只參加一個項目，則滿足上述要求的不同安排方案數(shù)

為.（用數(shù)字作答）

做由題設條件可知，滿足條件的方案有兩種情形；

<1）有一個項目有3人參加，共有C；.5!-C；5!=3600種方案：

（2）有兩個項口各有2人參加，共有g（C；.C；）.5!-Cl5!=ll400種方案；

所以滿足題設要求的方案數(shù)為3600+11400=15000.

6.在四面體A8CD中，已知ZX08=N80C=NC04=60。，40=8。=3,CD=2,則

四面體ABCD的外接球的半徑為.

解設四面體A8CQ的外接球球心為0,則。在過△48Z）的外心N且垂宜于平面4BQ

的垂線上.由題設知，△48D是正三角形，則點N為△A8O的中心.設P,M分別為A&C。

的中點，則N在DP上，且。N_LOP,OMLCD.

WAZCDA=ZCDB=Z.ADB=60°,設CD與平面ABD所成角為6,可求得

cos^=—,sin/7=4i

在△OMN中，OM=，CO=1,ON=2.。戶=2.也.3=右.

2332

由余弦定理得MN2=12+(V3)2—2,1?y/y—2,

故MN=叵.

四邊形OMON的外接圓的直徑。。="=卓=石

sin0V2

故球。的半徑式=石.

7.宜線x-2y-l=0與拋物線y，=4x交于A,B兩點，。為拋物線上的一點，Z4CB=90°,

則點。的坐標為

x-2y-l=0,

解設4%，弘）,5（覆,以），5'2），由

V=4.

i

得y-8>-4=0?則):+L=8，y,>>,2=-4.

乂M=2K+l,x,=2y3+1?所以

x,+x2=2(y,+%)+2=18，”巧=4)、?%+2(月+力)+1=1?

因為4CB=90。，所以以.而=0,即有

22

(t-x^t-x,)+(2/-y,X2/-y2)=0,

即/-5+/)尸+當?/+4--2(乂+力"+兌』=0，

RP/4-l4r-16f-3=0,

即(r,+4/+3)(r2-4/-l)=0.

顯然/-4.1。0,否則--22-1=0,則點。在直線x-2)，-l=0上，從而點C與點A

或點B重合.

所以，2+4/+3=0,解得，?=-1,"=一3.

故所求點C的坐標為(1,-2)或(9,-6).

8.己知外二仁新丫匕+⑺=優(yōu)…/3則數(shù)列5/中整數(shù)整的個數(shù)為

解*=C鼠3'.2代.

要使巴（UK95）為整數(shù),必有1用，噬皂均為整數(shù)，從而61〃+4.

當n=2,8,14,20,26,32,38,44,5056,62,68,74,80時，況上工和照包均為非負整數(shù)，所

36

以凡為整數(shù)，共有14個.

200200

200!中因數(shù)2的個數(shù)為=197，

,226

同理可計算得86!中因數(shù)2的個數(shù)為82,114!中因數(shù)2的個數(shù)為110,

所以C2中因數(shù)2的個數(shù)為197-82-110=5,故/是整數(shù).

當〃=92時，a,2=C*-3*2%在中，同樣可求得92!中因數(shù)2的個數(shù)為

〉一「1\JO.

88,108!中W數(shù)2的個數(shù)為105,故C2中因數(shù)2的個數(shù)為197-88-105=4,故/不走整數(shù).

因此，整數(shù)項的個數(shù)為14+1=15.

二、解答題：本大題共3小題，共56分.解答應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.

9.(本小題滿分16分)設函數(shù)/(x)=llg(.v+l)l,實數(shù)a,6(。<6)滿足f(a)=>

b+2

f(10a+66+21),4lg2,求a,b的值.

解???八。)=/'(-空)，???11幽+1)日峨-空+1)1=1聯(lián)工)印鼬+2)1,

0+2b+2b+2

；?a+1=b+2或(a+1)(/)42)=1?

XVa<b,???a+lwb+2,A(a+l)0+2)=l...........................4分

又由f(0)=llgg+l)l有意義知Ova+1,從而0<a+l<b+l<b+2，

于是0<a+l<l<b+2.

所以(l(k/+6ft+21)+1=10(?+1)+6(6+2)=6(^+2)+-^->1...........................8分

b+2

從而/(IO?+6ft+2l)=ilg[6(b+2)+慈卜lg[6(Z>+2)+言].

乂/(IOa+6b+21)-41g2,所以期6((+2)+A_]=4lg2,

b+2

故6(fe+2)+—=16............................12分

b+2

解得&=-；或b=-l(舍去).

10.(本小題滿分20分)

己知數(shù)列應｝滿足：4=2/-3(/wR且

…—一(n€N),

(1)求數(shù)列｛氏｝的通項公式：

(2)若/>0,試比較％與?！龅拇笮?

解(1)由原式變形得“Da+i)_],

u

an+2i-]

又—+-i，7-=—>—=—+(n-1)-i=—>

b“.i6112a2瓦b：22

故也匚=三，于是有〃竺.............10分

/"-1nn

2(/-'-I)2(/--1)

(2)a.-a=-----------------

ntMn+1n

=---—[n(l+/+,?1+/*1+/")—(w+1)(1+/+,1,+/*1)1

=2d)心—(1+[+...+尸)]=2d)[Q-+_/；T+.

n(n+l)n(n+l)

J

=2；_：)[(?'-+-+r+...+i)+...+r'],

顯然在r>0(rxl)時恒有4“一%>0,故a.”>生..............20分

22踮

II.（木小題滿分20分）作斜率為g的直線/與橢圓C：二+2_=］交于兩點（如

364

圖所示），.且p*4i、4i）在宜線/的左上方.

（1）證明:△尸A8的內(nèi)切圓的惻心在一條定直線上：

（2）若乙4P8=60。，求△7MB的內(nèi)切圓的面積.

解（1）設直線/：y=^x+m,A（A,,yt）,B（xt,y2）.

將)，=Lr+m代入工+工=1中，化簡整理得

3364

2x2+6mx+9mJ-36=0.

T*日J■-97w-36

十是自用+x2=_3w,x}x2=——-——，

_y2-4i

。-班5分

y「4i?%一0_（另一五）（馬一班）+（%一近）（占一3底）

則*么+女出

xt-3Vz七一3五（.r,-3V2X.X2-372）

上式中，分子=(5%+/n-V2)(X2-342)+(-xi+m-V2)(.t,-342)

=xx

-jii+(w-2V2)(x,+A2)-6>/2(m-V2)

=j'+(m―272X-3/W)-6>/2(m-41)

=3/2-12-3/n2+6V2m-6V2m+12=0,

從而，kFA+kpll=0.

乂P在鳧線/的左.上方，因此，乙”號的角平分線是平行于）,軸的宜.線，所以4248的

內(nèi)切圓的圓心在直線x=3＞歷上...............10分

（2）若NAP8=60。時，結(jié)合（D的結(jié)論可知=石水網(wǎng)=一石.

直線尸4的方程為：y-V2=V3（A-3V2）,代入《+《=1中，消去）?得

364

141+9V6（1-3V3）X+18（I3-3A/3）=0.

它的兩根分別是為和女回，所以$,、6=咄二亞，即/=延旺也1.

1414

所以I月41=Jl+（舟.IM-入后1=+D..............15分

同理可求得IPB1=近千7.

所以18」.?由60?！埂?肉1）3也3石7）旦噸....2。分

2277249

2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試

一、填空題（每小題8分，共64分,）

1.函數(shù)/*）=VT3-724-3x的值域是.

2.已知函數(shù)y=（acos2冗-3）sinx的最小值為一3,則實數(shù)a的取值范圍是.

3.雙曲線，一>2=1的右半支與直線冗=10。圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點（縱

橫坐標均為整數(shù)的點）的個數(shù)是.

4.已知｛?｝是公差不為0的等差數(shù)列，｛2｝是等比數(shù)列，其中

%=3,仇=1,電=%,3%=%,且存在常數(shù)a,尸使得對每一個正整數(shù)〃都有

an=logftZ??+^,則a+￡=.

5.函數(shù)/*）=6產(chǎn)+3優(yōu)-2（。>0,。工1）在區(qū)間1』上的最大值為8,則它

在這個區(qū)間上的最小值是.

6.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個使兩顆骰子點數(shù)和大于6者為勝，

否則輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率是.

7.正三棱柱A8C—AB]G的9條棱長都相等，尸是CG的中點，二面角

=a，則sina=.

8.方程x+y+z=2010滿足xKyKz的正整數(shù)解（%y,z）的個數(shù)是.

二、解答題（本題滿分56分）

9.（16分）已知函數(shù)/"）二公3+"2+以+或460）,當時，|r（x）|W1,

試求〃的最大值.

10.（20分）已知拋物線V=6x上的兩個動點A（%,yJ和832，%），其中為且

x,+x2=4.線段45的垂直平分線與X軸交于點C,求A43C面積的最大值.

11.（20分）證明：方程2d+51-2=0恰有一個實數(shù)根人巨存在唯一的嚴格遞增

2

正整數(shù)數(shù)列{%},使得|=rrt|+ra2+ra3+???.

加試

1.（40分）如圖，銳角三角形48c的外心為。，K是邊

BC上一點（不是邊8c的中點）,。是線段AK延長線.上一點,

直線8。與AC交于點N,直線8與48交于點M.求證：

若0KLMN,則4,B,D,C四點共圓.

2.（40分）設k是給定的正整數(shù)，r=k+-.記

2

/⑴⑺=/(〃)=?。?(/)(r)=/(/(/-0(r)),Z>2.證明：存在正整數(shù)m,使得廣⑼⑺

為一個整數(shù).這里，「￡|表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)，例如：g=1,「f|=l.

3.(50分)給定整數(shù)2,設正實數(shù)4，生，…，見滿足％?1，%=1，2,…，〃，記

q+%■1---*"4i1o

A=———-------Jk=l,2,???,/?.

k

〃〃>7—1

求證：<—?

*=i?=i乙

4.（50分）一種密碼鎖的密碼設置是在正n邊形A4…A”的每個頂點處賦值0和1兩

個數(shù)中的一個，同時在每個頂點處涂染紅、藍兩種顏色之一，使得任意相鄰的兩個頂點的數(shù)

字或顏色中至少有一個相同.問：該種密碼鎖共有多少種不同的密碼設置？

解答

1.[-3,73]提示：易知汽幻的定義域是[5,8],且/")在[5,8]上是增函數(shù)，從而

可知f(x)的值域為[-3,6].

2.提示：令sinx=E,則原函數(shù)化為g(f)=(-/+〃-3)%即

g(t)=-at3+(a-3)t.

由一々1+3—3)，之一3,-at(t2-l)-3(r-l)>0,。-1)(一加。+1)—3)20及

r-l<0知一〃。+1)—3工0口】

〃(廣+/)之一3.(1)

當，=0,-1時(1)總成立；

,1O3

對0<，41,0〈廣+fV2；對一一一《產(chǎn)+，<0.從而可知——<a<\2.

42

3.9800提示：由對稱性知，只要先考慮x軸上方的情況，設y=Z(Z=l,2,…,99)與

雙曲線右半支于4,交直線x=100于4,則線段44內(nèi)部的整點的個數(shù)為99一&,從而

在x軸上方區(qū)域內(nèi)部整點的個數(shù)為

99

Z(99-2)=99x49=4851.

i=l

又工軸上有98個整點，所以所求整點的個數(shù)為2x4851I98=9800.

4.g+3提示：設伍」的公差為/{"}的公比為小則

3+d=q,(1)

3(3+44)=/,(2)

(1)代入(2)得9+124=〃2+6〃+9,求得d=6a=9.

從而有3+6(〃-l)=loga9i+/對一切正整數(shù)〃都成立，即

6〃-3=(〃-l)loga9+4對一切正整數(shù)〃都成立.

從而

10ga9=6-3=一log。9+/，

求得a=yf3y/3=3,a+/?=V3+3.

i3

5.--提示：令〃*=y,則原函數(shù)化為g（y）=y?+3y-2,g（y）在（一］,+oo）上是

遞增的.

當Ovavl時，ye[a,a~'],

g（y）max=0-2+30--2=8=qT=2na=J,

所以

g（y）min=（g）2+3xg-2=—;；

當a>l時，ye[a~\a],

g(y)max="+3a-2=8=a=2，

所以

2,

^(y)min=2-+3x2--2=-i.

綜上/(x)在xe上的最小值為一

4

6.—提示：同時投擲兩顆骰子點數(shù)和大于6的概率為

17

217

—,從而先投擲人的獲勝概率為

3612

7,5\27,5\477112

-------F()XF()X1?…=X——-=.

12121212121212517

144

7.—提示：解法一：如圖，以48所在直線為x軸，

4

線段48中點。為原點，OC所在直線為y軸，建立空間直角坐

標系.設正三棱柱的棱長為2,則

B(1,O,O),Bx(1,0,2),A(-1,0,2),P(0,V3,l),從而,

麗=(-2,0,2)初=(-1,國)“=(-2,0,0)麗

設分別與平面BA/、平面片A/垂直的向量是m=(X［，X，Z］)、n=(x2,y2,z2),

則

"i?B\=-2xt+2Z]=0,

m?BP——X1+43y]+z1=0,

n-B}Ai=—2X2=0,

n-B}P=-x2+-z2=0,

由此可設m=(1,0,1),n=(0,1,V3),所以|力〃卜林卜恤5。|,即

y/3=V2-2|cosfz|=>|coscr|=.

114

所以sina=—

4

解法二：如圖，PC=PC],PA1=PB.

設A3與人均交于點。，則

OA]=OByOA=OBl,AlB±ABl.

因為=，所以POL44，從而A與_L平面

PA、B.

過。在平面PA8上作OE_L%P,垂足為E.

連結(jié)瓦E,則ZB.EO為二面角B-A.P-B,的平面角.設=2,則易求得

PB=PA、=底AQ=BQ=垃,PO=瓜

J6

在直角APA。中，AOPO=A|POE,即叵?6=6OE,：.OE=

1

又B.0=V2,.\BXE=+OE=

sina=sin0E。二虹二坐二回

B.E4A/54

5

8.336675提示：首先易知x+y+z=2010的正整數(shù)解的個數(shù)為

。短=2009x1004.

把x+y+z=2010滿足x<y<z的正整數(shù)解分為三類:

(1)蒼y,z均相等的正整數(shù)解的個數(shù)顯然為1；

(2)乂y,z中有且僅有2個相等的正整數(shù)解的個數(shù)，易知為1003；

(3)設x,y,z兩兩均不相等的正整數(shù)解為k.

易知

1+3x1003+6)1=2009x1004,

所以

6k=2009x10()4-3x1003-1

=2006x1005-2009+3x2-1=2006x1005-2004,

即

&=1003x335—334=335671.

從而滿足x<y<z的正整數(shù)解的個數(shù)為

1+1003+335671=336675.

[r(o)=c,

9.解法一：f\x)=3at2+2hx+c,由<—a+h+c.得

4

fm=3a+2b+c

3。=2/(0)+2廣⑴—4嗎.

所以

洞=2/(0)+2廣⑴一4嗎

<2|/X0)|+2|,r(l)|+<8,

QQ

所以又易知當=-4/+x+m(加為常數(shù))滿足題設條件，所以。

Q

最大值為2.

3

解法二：f(x)=3ax2+2bx+c.設g(x)=1'(%)+1,則當OKxWl時，

0<^(x)<2.

設z=2x-l,貝=

2

.../Z+l、3a3a+2b3a,.

h(z)=*(----)=一z2+-------z+一+/?+c+l.

2424

容易知道當一IVzWl時，0<h(z)<2,0<h(-z)<2.從而當一iWzWl時,

。?妲A'即

0<——Z+——+Z?+c+l<2,

44

從而—+/?+c+l>0,—z2<2,由0?z2Vl知9.

443

QQ

又易知當/（工）=：/-4/+欠+團（陽為常數(shù)）滿足題設條件，所以。最大值為

10.解法一：設線段A3的中點為M（%,%）,則與二與三=2,%=上產(chǎn)，

k一必一M_力一M_6一3

KAB--22~~?

"芭比_21_%+必先

66

線段的垂直平分線的方程是

y-yQ=-^-(x-2).

易知x=5,y=O是（1）的一個解.，所以線段A5的垂直平分線與4軸的交點C為定點,

且點C坐標為（5,0）.

3

由（1）知直線A8的方程為>一%=——（%—2）,即

/普。-%)+2.

(2)代入V=6x得y2=2yo(y_Jo)+12,即

/-2yoy+2^-12=O.

依題意，M，乃是方程（3）的兩個實根，且必土為，所以

△=4y；—4(2y：-12)=-4y：+48>0,

—2-\/3<y0<2V3.

|Aq=—々)2+()—%)

J（l+仔）2）（弘_力）

O

=，（1+普）［（%+%）2-4%先］

W）（4y；-4（2"2））

=|"（9+火）。2-），；）.

定點C（5,0）到線段A8的距離

229+

/?=|CM|=A/（5-2）+（O-yo）=7^0-

S.一=斗八卜（9+y；）（12-y；）.J9+/

=給9+4）（24-2年）（9+火）

<［11,9+尤+24-2y：+9+y；3

-3W-----------3-----------）

=出布.

3

當且僅當9+y；=24—2/，即

%=±BA（土等，非+幣）以上售,非-幣）或

4智亙,-（石+出））,3（生等，-6+近）時等號成立.

所以，AABC面積的最大值為qJ7.

3

解法二：同解法一，線段A3的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C坐標為

（5,0）.

501

設罰=/；,/="/>G，片+￥=4,則5AA8c=；彳瓜1的絕對值,

t\@2I

S：BC=（5（5而，|大在-—5A/^2））2

3,）

=5"2廠（伍+5）2

3__

二3（4-2r也）（，也+5）（他+5）

<3小

所以S“8C?好行，當且僅當&一，2)2=>2+5且彳+片=4,即"=立叁5

uAflUwI—Ij./II/

JV0

^1T'A”普，#+6B("善，逐一小)或

A佇心,-(石+")),8(6-『，-君+方)時等號成立.

所以，AABC面積的最大值是己近.

3

1L令f(x)=2/+5x—2,則/'(X)=61+5>0,所以f(x)是嚴格遞增的.又

/(0)=-2<0,/(1)=^>0,故/(x)有唯一實數(shù)根re(0,g).

所以2，+5r-2=0,

—=-r=7?+/+/+????.

51-r3

故數(shù)列凡=3〃-2(〃=1,2,…)是滿足題設要求的數(shù)列.

若存在兩個不同的正整數(shù)數(shù)列％<…<勺<…和仇<兒滿足

2

ra'+ra-+ray+???=〃4++rby+???=—,

5

去掉上面等式兩邊相同的項，有

廠”+/2+/3+...=/I+尸2+/3+...,

這里S|VS2Vs<，2所有的》與。?都是不同的.

不妨設由<乙，則

rs'<rs'+廣”+?-?=?,+/+?..,

1

1<r1'~Sl+r，2~s'+-??<r4-r2+???=----1<1=1,

1-r

矛盾.故滿足題設的數(shù)列是唯?的.

N

M

加試解答

1.用反證法.若A,B,D,C不四點共圓，設三角形A8c的外接圓與AD交于點￡,連

接8E并延長交直線AN于點Q,連接CE并延長交直線AM于點P,連接PQ.

因為PK2=P的寒（關于。O）+K的豪（關于。0）

=（PO2-r2）+（KO2-r2）,

同理

QK2=（QO2-r2）+（KO2-r2）,

所以PO2-PK2=QO2-QK2,

故。K_LPQ.由題設，0KlMN,所以PQ〃MN,于是

AQAP

由梅內(nèi)勞斯（Menelaus）定理，得

NBDEAQ.人

----------=H②

~BDEAQN

MCDEAP,△

----------------=1.（3）

~CDEAPM

,Or砥NBMC憶,NDMD〒曰

由①，②，③可得=---->所以——=——，故AADMNs/A\DCB,于是

BDCDBDDC

NDMN=4DCB,所以8C〃MM故0K_L8C,即K為8c的中點，矛盾！從而A,8,0,C

四點共圓.

注1："P/G=P的寢（關于€）0）+K的幕（關于。。）”的證明：延長PK至點F,使

得

PKKF=AKKE,

④

則P,E,F,八四點共圓，故

ZPFE=ZPAE=ZBCE,

從而￡,C,F,K四點共圓，于是

PKPF=PEPC,

⑤

⑤-④，得

「長2=尸石孑。一人長”=。的累（關于00>+K的

嘉（關于。。）.

注2：若點￡在線段4。的延長線上，完全類似.

2.記馬5）表示正整數(shù)〃所含的2的鬲次.則當初=也伏）+1時，/""）"）為整數(shù).

下面我們對h（幻=口用數(shù)學歸納法.

當y=0時，k為奇數(shù)，Z+1為偶數(shù)，此時

/（，）=（%+g）"g=（"+郛+i）

為整數(shù).

假設命題對u-l（uNl）成立.

對于uNl,設A的二進制表示具有形式

2=2、22+a-2+2+…,

這里，％=0或者1,z=v+l,v+2,--?.

于是

?）=（人撲+弁0+:卜+1）

=—+—+k2+k

22

=1+2'7+（。川+1）?2"+（。川+a*）?2川+…+2?y+…

=r+-,①

2

這里

V+I2V

k'=2'T+（av+1+1）.2,+Q，+[+a-）?2H-----F2+

顯然l中所含的2的暴次為u-l.故由歸納假設知，/=/+；經(jīng)過/的v次迭代得到

整數(shù)，由①知，/?""（，）是一個整數(shù)，這就完成了歸納證明.

《〃

3.由0<441知，對1WAW〃-1,有0<Uj<n-k.

?=1<=*+i

注意到當x,y>0時，有|x-y|vmax{x,y},于是對〈〃一1,有

故

?=I&=i*=i

=E(A,-A)^ElA.-A|

A=1*=1

4.對于該種密碼鎖的一種密碼設置，如果相鄰兩個頂點上所賦值的數(shù)字不同，在它們所

在的邊上標上。，如果顏色不同，則標上b,如果數(shù)字和顏色都相同，則標上c.于是對于

給定的點人上的設置（共有4種〕，按照邊上的字母可以依次確定點A2,4,…，凡上的設

置.為了使得最終回到4時的設置與初始時相同，標有。和b的邊都是偶數(shù)條.所以這種

密碼鎖的所有不同的密碼設置方法數(shù)等于在邊上標記a,b,C,使得標有a和b的邊都是偶

數(shù)條的方法數(shù)的4倍.

設標有a的邊有2i條，04區(qū)1，標有b的邊有2/條，OKJV巴”.選取2i

條邊標記。的有C：種方法，在余下的邊中取出2/條邊標記b的有C，3種方法，其余的邊

標記c.由乘法原理，此時共有C：'第二?種標記方法.對。J求和，密碼鎖的所有不同的密

碼設置方法數(shù)為

[?]fM

1=0j=0①

這里我們約定C；=l.

當。為奇數(shù)時，n-2i>0,此時

[啜

-2?-l

代入①式中，得

[i]f[號]1[i][i]

吃Cf備=4名(C?2fT)=2￡(C?2f)

1-0J-O1=0f-0

='C：2T+￡C：2"T(-1)?=(2+l)rt+(2-l)M

&=0k=Q

=3"+l.

當n為偶數(shù)時，若則②式仍然成立；若i=g則正八邊形的所有邊都標記

。，此時只有一種標記方法.于是，當〃為偶數(shù)時，所有不同的密碼設置的