人教版 數(shù)學(xué) 八年級上冊 全冊 期末復(fù)習(xí)資料 分類專題

專題等腰（邊）三角形與直角三角形

口解讀考點(diǎn)

知識點(diǎn)名師點(diǎn)晴

等腰三等腰三角形的性質(zhì)理解等腰三角形的性質(zhì)，并能解決等腰三角形的有關(guān)計(jì)算

角形

等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法，會(huì)證明一個(gè)三角形是等腰三角形

等邊三角形的性質(zhì)理解等邊三角形的性質(zhì)

等邊三

角形等邊三角形的判定拿提等邊三角形的判定方法，會(huì)證明一個(gè)三角形是等邊三角形

直角三角形的性質(zhì)理解直角三角形的有關(guān)性質(zhì)

直角三

直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法，會(huì)證明一個(gè)三角形是直角三角形

角形

勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理

02年中考

【2015年題組】

1.（2015來賓）下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.1,力，也

【答案】D.

【解析】

222

試題分析：A.l+2^3f不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；

B.22+32^42,不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；

C.42+5206?,不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；

D『+（a）2=（退）2,能夠組成直角三角形，故正確

故選D.

考點(diǎn)：勾股定理的逆定理.

2.（2015南寧）如圖，在△ABC中，AB=AD=DC,ZB=70°,則NC的度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】A.

【解析】

颯分析：?.?A^SD中，.鋁=/D,N5=70°,，4=乙必=初,；?N4DC=1800-Z4D5=110°,,：AD=CD,

.'.ZG=（180°-乙3）4-2=（IS。。-110°）+2=35°,故選A.

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).

3.（2015來賓）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=100°,AB的垂直平分線DE分別交

AB、BC于點(diǎn)D、E,則NBAE=（）

【答案】D.

【解析】

試題分析：TAB=AC,ZBAC=100°,/.ZB=ZC=（180°-100°）^-2=40°,YDE是AB的

垂直平分線，???AE=BE,，NBAE=/B=40。，故選D.

考點(diǎn)：1.線段垂直平分線的性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì).

4.（2015內(nèi)江）如圖，在△ABC中，AB=AC,BD平分NABC交AC于點(diǎn)D,AE〃BD交

CB的延長線于點(diǎn)E.若NE=35。，則NBAC的度數(shù)為（）

A.40°B.45°C.60°D.70°

【答案】A.

【解析】

試題分析：VAE/7BD,AZCBD=ZE=35°,VBD￥5>ZABC,/.ZCBA=70°,VAB=AC,

AZC=ZCBA=70°,AZBAC=180°-70°x2=40°.故選A.

考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.平行線的性質(zhì).

5.（2015荊門）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是2和4,則該等腰三角形的周長為（）

A.8或10B.8C.10D.6或12

【答案】C.

【解析】

試題分析：①2是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、4,?.?2+2=4,???不能組成三角形，

②2是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為2、4、4,能組成三角形，周長=2+4+4=10,

綜上所述，它的周長是10.故選C.

考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)：2.三角形三邊關(guān)系；3.分類討論.

6.（2015廣州）己知2是關(guān)于x的方程一一2血+3加=0的一個(gè)根，并且這個(gè)方程的兩個(gè)

根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長，則三角形ABC的周長為（）

A.10B.14C.10或14D.8或10

【答案】B.

【解析】

試題分析：是關(guān)于X的方程，-2皿+3加=°的一個(gè)根，.?.22-4m+3m=0,m=4,

x2-8x+12=0,解得x=2或x=6.

①當(dāng)6是腰時(shí)，2是等邊，此時(shí)周長=6+6+2=14；

②當(dāng)6是底邊時(shí)，2是腰，2+2V6,不能構(gòu)成三角形.

所以它的周長是14.

故選B.

考點(diǎn)：1.解一元二次方程-因式分解法；2.一元二次方程的解；3.三角形三邊關(guān)系；4.等

腰三角形的性質(zhì)；5.分類討論.

7.（2015丹東）如圖，在AABC中，AB=AC,ZA=30°,E為BC廷長線上一點(diǎn)，ZABC

與NACE的平分線相交于點(diǎn)D,則ND的度數(shù)為（）

【答案】A.

【解析】

試題分析：..ZW3C的平分線與4d的平分線交于點(diǎn)D,，/l=N2,N3=N4,,.?N4CE=4+N?5C,

即Nl+N2=N3+N4+Nzb.?.2Nl=2N3+4,?.?/1=N3+N0,.?.ND=1ZzJ=1X30°=15°.故選A.

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).

8.（2015龍巖）如圖，在邊長為6的等邊三角形ABC中，過點(diǎn)C垂直于BC的直線交

NABC的平分線于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為（)

BC

A.3B.2c.百D.1

【答案】D.

【解析】

試題分析：VAABC為等邊三角形，BP平分NABC,???NPBC=2ZABC=30°,VPC±BC,

岳也

/.ZPCB=90°,在Rt^PCB中，PC=BC*tanZPBC=3=1,工點(diǎn)P到邊AB所在直線

的距離為1，故選D.

考點(diǎn)：1.角平分線的性質(zhì)；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.含30度角的直角三角形；4.勾股

定理.

9.（2015樂山）如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為（）

66262石

A.3B.5C.3D.5

【答案】D.

【解析】

試題分析：過B點(diǎn)作BD1AC,如圖，由勾股定理得，郎代+3'=而,3也”=2&,

,.ID2y/22存收過一

-=.=---->故選D.

AB55

考點(diǎn)：1.銳角三角函數(shù)的定義；2.勾股定理；3.勾股定理的逆定理；4.網(wǎng)格型.

10.（2015資陽）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm,底面周長為

10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且

離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）

A.13cmB.2病cmC.病cmD.2^cm

【答案】A.

【解析】

試題分析：如圖：:高為12勿:，底面周長為在容器內(nèi)壁離容器底部*加的裊3處有一飯粒，此時(shí)

螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿女加與飯粒相對的點(diǎn)N處，.3Al2-3-XE=12G〃，...將容

器側(cè)面展開，作工關(guān)于三的對稱點(diǎn)二，百■的則NE即為最矩距離，/方J/。：+BD：=后+1。=13

（Cm）.故選A.

考點(diǎn)：1.平面展開-最短路徑問題；2.最值問題.

11.（2015德陽）如圖，在RsABC中，ZACB=90°,CD為AB邊上的高，若點(diǎn)A關(guān)于

CD所在直線的對稱點(diǎn)E恰好為AB的中點(diǎn)，則NB的度數(shù)是（）

【答案】c.

【解析】

試題分析：???在RsABC中，ZACB=90°,CD為AB邊上的高，點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線

的對稱點(diǎn)E恰好為AB的中點(diǎn)，???NCED二NA,CE二BE=AE,JNECA二NA,ZB=ZBCE,

??.△ACE是等邊三角形，AZCED=60°,/.ZB=2ZCED=30°.故選C.

考點(diǎn)：1.直角三角形斜邊上的中線；2.軸對稱的性質(zhì).

12.（2015眉山）如圖，在RSABC中，ZB=900,ZA=300,DE垂直平分斜邊AC,交AB

于D,E是垂足，連接CD.若BD=L則AC的長是（）

A.2百B.2C.46D.4

【答案】A.

【解析】

試題分析:在放A43C中,?/ZMOS.?.N4C5?600,fDE垂直平分斜邊/C,??.ND-CD,

Ss

/ACD=/A^,/./DCB=6Q-30=30°,RtADBC,75=90=,ZDCS=3O0,5P=1,：.CD=lBD=lf

由勾股定理得：BO-,在aAJ3C中，Z5-9O0,乙扣30、BdJ，—BC=2出,故

選A.

考點(diǎn)：1.含30度角的直角三角形；2.線段垂直平分線的性質(zhì)：3.勾股定理.

13.（2015荊門）如圖，在△ABC中，ZBAC=RtZ,AB=AC,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，DE_LBC

于點(diǎn)E,連接BD,則tan/DBC的值為（）

A

/

C

11

A.4B.五TC.2-6D.4

【答案】A.

【解析】

試題分析：.??在aABC中，ZBAC=RtZ,AB=AC,AZABC=ZC=45°,BC=J^AC,又

?.?點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，/.AD=DC=2AC,〈DELBC于點(diǎn)E,AZCDE=ZC=45°,/.

與AC

#4器近AC-旦ACi

DE=EC=2DC=4AC,.e.tanZDBC=BE=4=3.故選A.

考點(diǎn)：1.解直角三角形；2.等腰直角三角形.

14.（2015襄陽）如圖，在△ABC中，NB=30。，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,垂足為

D,CE平分NACB.若BE=2,貝JAE的長為（）

A.eB.1C.CD.2

【答案】B.

【解析】

試題分析：:在AWBC中，4=30°,BC的垂直平分線交?始于段密2,.,.密CE=2,，N5=NDCE=30°,

;直平分/NC3,：./ACB^2/DCE^,/ACE=/DCE=30。,/.Z^ISO0一/3-//（3=90°,在

萬△CdE中，?.?乙490。，ZU咨30。，CE=2,：.AE=-CE=\.故選B.

考點(diǎn)：1.含30度角的直角三角形；2.角平分線的性質(zhì)；3.線段垂直平分線的性質(zhì).

15.（2015北京市）如圖，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開.若

測得AM的長為1.2km,則M,C兩點(diǎn)間的距離為（）

B

A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km

【答案】D.

【解析】

試題分析：???在RtZ^ABC中,ZACB=90°,M為AB的中點(diǎn)，?,.MC=2AB=AM=L2km.故

選D.

考點(diǎn)：1.直角三角形斜邊上的中線；2.應(yīng)用題.

16.（2015天水）如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=ZADC=90°,AB=AD=2>/2,CD=

3

及，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上.若點(diǎn)P到BD的距離為5，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A.

【解析】

試題分析:過點(diǎn)工作XE1ED于E,過點(diǎn)C作CF1BD于FJ-C=90rBWD=2m,CD=0,

N/3D=N/D3=45°,；.NsinZABD=—,/.AE=.4BsinZ

.IB

X3A20—=20?4=2>，所以在.3和3邊上有符合尸到慶）的距離為q的點(diǎn)2個(gè)，故選

考點(diǎn)：1.等腰直角三角形；2.點(diǎn)到宜線的距離.

17.（2015龍巖）如圖，在邊長為由的等邊三角形ABC中，過點(diǎn)C垂直于BC的直線交

ZABC的平分線于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為（）

A.3B.2c.百D.1

【答案】D.

【解析】

試題分析：:△zLSC為等邊三角形，班平分入W7,J：PClBC,：2PCB=9Q0,

在出△尸C3中，尸。=3。?的/93。=#><當(dāng)=1,，點(diǎn)9至1］邊月5所在直線的距離為1,故選D.

考點(diǎn)：1.角平分線的性質(zhì)；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.含30度角的直角三角形；4.勾股

定理.

18.（2015龍東）AABC中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD_L

AB于點(diǎn)D,PE±AC于點(diǎn)E,則PD+PE的長是（）

A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5

【答案】A.

【解析】

試題分析：過A點(diǎn)作AFJ_BC于F,連結(jié)AP,〈△ABC中，AB=AC=5,BC=8,/.BF=4,

_________1_j_1_j_

/.△ABF中，AF=J初-獷=3.?2x8x3=2x5xPD+2x5xPE,12=2x5x（PD+PE）,

考點(diǎn)：1.勾股定理；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.動(dòng)點(diǎn)型.

19.（2015安順）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B

恰好與點(diǎn)O重合，若BC=3,則折痕CE的長為（）

B

A.2白B.2C.6D.6

【答案】A.

【解析】

試題分析：?「△CE。是ACEB翻折而成，BE=OE,N3=NCOE=90°,.?.H0_UC,<。是矩形

ABCD的中心，，耍是HC的垂直平分線,.40250=2X3=6,.,.HE=CE,在RABC中，AC2=AB2+BC2,

22z22

SP6=-15+3\解得X5=3j,在&AJ0E中，設(shè)。E=x,貝iJdH=30-x,AE=AO+OEf即

（3，-x>=3?+/,解得"書，：..4E=EC=3出-相=2石.故選A.

考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理.

20.（2015濱州）如圖，在直角N0的內(nèi)部有一滑動(dòng)桿AB,當(dāng)端點(diǎn)A沿宜線A0向下滑動(dòng)

時(shí)，端點(diǎn)B會(huì)隨之自動(dòng)地沿直線0B向左滑動(dòng)，如果滑動(dòng)桿從圖中AB處滑動(dòng)到AB，處，那

么滑動(dòng)桿的中點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑是（）

A.直線的一部分B.圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分

【答案】B.

【解析】

試題分析：連接OC、OCS如圖，：ZAOB=90°,C為AB中點(diǎn)，.,.0C=2AB=2AB』0C,

???當(dāng)端點(diǎn)A沿直線A0向下滑動(dòng)時(shí)，AB的中點(diǎn)C到O的距離始終為定長，???滑動(dòng)桿的中

點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑是一段圓弧.

考點(diǎn)：1.軌跡；2.直角三角形斜邊上的中線.

21.（2015煙臺）如圖，正方形ABCD的邊長為2,其面積標(biāo)記為S1,以CD為斜邊作等腰

直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2,...

按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2015的值為（）

￡

【答案】c.

【解析】

試題分析：根據(jù)題意：第一個(gè)正方形的邊長為二第二個(gè)正方形的邊長為：烏乂2；

第三個(gè)正方形的邊長為：（與：乂2,第八個(gè)正方形的邊長是（g）=x2,所以的值是（3他一

故選C.

考點(diǎn)：1.等腰直角三角形；2.正方形的性質(zhì)；3.規(guī)律型；4.綜合題.

22.（2015煙臺）等腰三角形邊長分別為a,b,2,且a,b是關(guān)于x的一元二次方程

,-64+1=°的兩根，則n的值為（）

A.9B.10C.9或10D.8或10

【答案】B.

【解析】

試題分析：???三角形是等腰三角形，，①a=2,或b=2,②a=b兩種情況：

①當(dāng)a=2,或b=2時(shí)，：a,b是關(guān)于x的一元二次方程,-6工+〃-1=°的兩根，.?.x=2,

把x=2代入/一6"+"-1=°得，4-6x2+n-1=0,解得：n=9,當(dāng)n=9,方程的兩根是2

和4,而2,4,2不能組成三角形，故n=9不合題意；

②當(dāng)a=b時(shí)，方程,一6》+"-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，?4（n-1）=0,

解得：n=10,故選B.

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.一元二次方程的解；3.等腰直角三角形；4.分類討論.

23.（2015崇左）下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第4個(gè)圖形中所有正三角形的

個(gè)數(shù)有（）

【答案】B.

【解析】

試題分析：第一個(gè)圖形正三角形的個(gè)數(shù)為5,

第二個(gè)圖形正三角形的個(gè)數(shù)為5X3+2=17,

第三個(gè)圖形正三角形的個(gè)數(shù)為17X3+2=53,

第四個(gè)圖形正三角形的個(gè)數(shù)為53X3+2=161,

故選B.

考點(diǎn)：1.規(guī)律型；2.綜合題.

24.（2015宿遷）如圖，在RlZXABC中，NACB=90。，點(diǎn)D,E,F分別為AB,AC,BC的

中點(diǎn).若CD=5,則EF的長為

【答案】5.

【解析】

試題分析：?.?Ag5C1是直角三角形，8是斜邊的中線，...CD"；.2，又TE尸是△*，的中位線，J

AB=2CD=2^5=10cm,：.EF=-^0=5cm.故答案為：5.

考點(diǎn)：1.三角形中位線定理；2.直角三角形斜邊上的中線.

25.（2015常州）如圖是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標(biāo)系，公園的入口位于

坐標(biāo)原點(diǎn)O,古塔位于點(diǎn)A（400,300）,從古塔出發(fā)沿射線OA方何前行300m是盆景園

B,從盆景園B向左轉(zhuǎn)9（F后直行400m到達(dá)梅花閣C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)

是

【答案】(400,800).

【解析】

試題分析：連接AC,由題意可得：AB=300m,BC=400m,在AAOD和4ACB中，:AD=AB,

ZODA=ZABC,DO=BC,AAAOD^AACB(SAS),/.ZCAB=ZOAD,TB、。在一條

直線上，AC,A,D也在一條直線上，

/.AC=AO=500m,則CD=AC=AD=800m,AC點(diǎn)坐標(biāo)為：(400,800).故答案為：(400,

800).

考點(diǎn)：1.勾股定理的應(yīng)用：2.坐標(biāo)確定位置；3.全等三角形的應(yīng)用.

26.（2015南通）如圖，AABC中，D是BC上一點(diǎn)，AC=AD=DB,ZBAC=102°,貝i」NADC二

度.

【答案】52.

【解析】

城分析：'UCTADB,：.4=/BAD,ZADONC,設(shè)ZADC=a,.*./5=4乂2＞】，'/ZAJC-102°,

.,.Za-JC=102°-y,在ZUDC中，?.?zUDC-NC-ND.WC=180°,.??2aT02'-￡=18T,解得：a=52°.故

答案為：52.

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).

27.（2015蘇州）如圖，在aABC中，CD是高，CE是中線，CE=CB,點(diǎn)A、D關(guān)于點(diǎn)F對

稱，過點(diǎn)F作FG〃CD,交AC邊于點(diǎn)G,連接GE.若AC=18,BC=12,則4CEG的周長

為.

【答案】27.

【解析】

試題分析：?點(diǎn)A、D關(guān)于點(diǎn)F對稱，.??點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).???CD_LAB,FG/7CD,AFG

是4ACD的中位線，AC=18,BC=12,ACG=2AC=9.丁點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，，GE是4

ABC的中位線，???CE=CB=12,???GE=2BC=6,/.△CEG的周長=CG+GE+CE=9+6+12=27.故

答案為：27.

考點(diǎn)：1.三角形中位線定理；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.軸對稱的性質(zhì).

28.（2015西寧）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°,則頂角的度數(shù)

是.

【答案】110?；?0°.

【解析】

試題分析：止倒要分情況討論：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在外部.根據(jù)三角形的一個(gè)外角

等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求得頂角是90°+20°=110°5當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上

的高在其內(nèi)部，故頂角是90°-20*=70*.故答案為：110?；?0°.

考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.分類討論.

29.（2015南寧）如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊△ADE,則NBED的度數(shù)是

【答案】450.

【解析】

試題分析：???四邊形ABCD是正方形，/.AB=AD,ZBAD=90°..??等邊三角形ADE,:.

AD=AE,ZDAE=ZAED=60°.ZBAE=ZBAD+ZDAE=900+60°=150°,AB=AE,ZAEB=

ZABE=（18O°-ZBAE）^2=15°,ZBED=ZDAE-ZAEB=6O°-15°=45°,故答案為：45°.

考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)：2.等邊三角形的性質(zhì).

30.（2015攀枝花）如圖，在邊長為2的等邊aABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AC邊上一

點(diǎn)，則BE+DE的最小值為

【答案】布.

【解析】

試題分析：作B關(guān)于.4C的對稱點(diǎn)8,連接89、B1D,交.4C于心止腳f根據(jù)兩點(diǎn)

之間線段最短可知就是3E-ZD的最小值，?.?5、B關(guān)于月C的對稱，35互相垂直平分，，四邊

形N8C3是平行四邊形，?.?三角形是邊長為2,二。為3c的中點(diǎn)，.?上J13C,,3D=8=1,

BBS32，作BG1BC的延長線于G,：.BOAD-,

在RtAB'BG中，BG==J(2■)、(我?=3,：.DG=BG-525=3-1=2,

在RtAB'DG中，BD~JDG:+B'GZ-/2：+函)2=6.故BE-ED的最小值為幣.

考點(diǎn)：1.軸對稱-最短路線問題：2.等邊三角形的性質(zhì)；3.最值問題：4.綜合題.

31.（2015昆明）如圖，aABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點(diǎn)H,BC=4^,在BE

上截取BG=2,以GE為邊作等邊三角形GEF,則AABH與4GEF重疊（陰影）部分的面

積為

更

【答案】2.

【解析】

試題分析：如圖所示，由是等邊三角形，BC=4后,得到上?%＞與806,理,

由直角三角的性質(zhì)，得/3郎90,-NHM-60。,由對頂角相等，得N.I頌＞/月的60：,由502,得EG-BE

-506-2=4.由GE為邊作等邊三角形G￡F,得尸G=EG=4,NEGF=/GEF=60。，△?煙是等邊三角形;

S^BC=-AC-3E=-AC^EH^EH=-BE=-X6=2.由三角形外角的性質(zhì)，得/次F=/FGE—Z15G=60=-

2233

30°=30S由N23G=N8，G=3%得？802,由線段的和差，得二=FGTG=4-2=2,由對頂角相等，得

/F44BU巡,由N/TMN尸?90，，宵/尸.\7-90。，由銳角三角的數(shù)，得FXT,洋也.S工—S

――二遼邛＞＜＞42二3-1=竽，故答案為：竺.

考點(diǎn)：1.等邊三角形的判定與性質(zhì)；2.三角形的重心；3.三角形中位線定理；4.綜合題；

5.壓軸題.

32.（2015淄博）如圖，等腰直角三角形BDC的頂點(diǎn)D在等邊三角形ABC的內(nèi)部，NBDC=90。,

連接AD,過點(diǎn)D作一條直線將△ABD分割成兩個(gè)等腰三角形，則分割出的這兩個(gè)等腰三

角形的頂角分別是度.

試題分析：???等腰直角三角形BDC的頂點(diǎn)D在等邊三角形ABC的內(nèi)部，ZBDC=90°,A

ZABD=ZABC-ZDBC=60°-45°=15°,在AABD與4ACD中，VAB=AC,ZABD=Z

ACD,BD=CD,AAABD^AACD（SAS）,工NBAD二NCAD=30。，，過點(diǎn)D作一條直線

將4ABD分割成兩個(gè)等腰三角形：則分割出的這兩個(gè)等腰三角形的頂角分別是180°-15°-

15°=150°；180°-30°-30°=120°,故答案為：120,150.

考點(diǎn)：1.等腰直角三角形；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.等邊三角形的性質(zhì)；4.綜合題.

33.（2015黃岡）在△ABC中，AB=13cm,AC=20cm,BC邊上的高為12cm,則△ABC的

面積為cm.

【答案】126或66.

【解析】

試題分析：當(dāng)N3為銳角時(shí)（如圖1）,在五△4即中，2D=y/.lB2~.U）:=V13：-12:=5cm,在用2UDC

中，CD-^AC:-AD2-V20:-12:-16cw,.?.5021,，，以二二:萬。/〉；x21xi2-126cwb

當(dāng)N5為鈍角時(shí)（如圖2），在&0SD中，BD-y/AB2-.U）:-V13：-12：-5cw,在&4DC中，

CD=y/ACz-AD:=J2。二-1J=16c冽,：.BC=CD-BD=\6-5=llcwi,

=

-3CA^—x11x12=66CW*,

故答案為：126或66.

考點(diǎn)：1.勾股定理；2.分類討論；3.綜合題.

34.（2015慶陽）在底面.直徑為2cm,高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無彈性的絲帶從A

至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為cm.（結(jié)果保留兀）

【答案】3&+1.

【解析】

試題分析：如圖所示，???無彈性的絲帶從A至C,繞了1.5圈，，展開后AB=1.5x2兀=3nm,

BC=3cm,由勾股定理得:AC="^+5cl=J9笳T■^=3^/^2+^cm.故答案為：3\^+1,

B

考點(diǎn)：1.平面展開-最短路徑問題；2.最值問題.

35.（2015朝陽）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：

AM=4米，AB=8米，ZMAD=45%ZMBC=30°,則警示牌的高CD為米（結(jié)果

精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：五二1.41,百=1.73）.

C

多霧路段

M月B

【答案】2.9.

【解析】

試題分析:由題意可得：:丁以=4米，4M345°,.MU-米，曲8米，，MB=12米，??,

Z3/30300,/.5O2.WC,：.^+^-=（2.WC）2,.\/（^+122=（2\/C）：.MC=4>/3-4^2.9（米），故

答案為：2.9.

考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.

36.（2015遼陽）如圖，在△ABC中，BD_LAC于D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AD=6,DE=5,

則線段BD的長等于

【答案】8.

【解析】

試題分析：TBDLAC于D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，.'AB=2DE=2x5=10,???在Rt^ABD中,

2222故答案為：

BD=>JAB-AD=V10-6=8.8.

考點(diǎn)：1.直角三角形斜邊上的中線；2.勾股定理.

37.（2015柳州）如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點(diǎn)，且DB_LBC,BC=4,CD=5.

（1）求DB的長；

（2）在△ABC中，求BC邊上高的長.

【答案】(1)3；(2)6.

【解析】

試題分析：(D直接利用勾股定理得出BD的長即可；

(2)利用三角形中位線定理得出即可得到結(jié)論.

22

,解析：(1),：DBlBCf504,CD=5,：.BD=^5-4=3)

(2)延長C8,過點(diǎn)/作延長線于點(diǎn)E,..,DS18C,?正IBC,.,..4E//D3,r。為RC邊的中點(diǎn),

考點(diǎn)：1.勾股定理；2.三角形中位線定理.

38.(2015柳州)如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=12cm,

BC=18cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿ATD—C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)點(diǎn)

Q從點(diǎn)C出發(fā)，以lcm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)

P,Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)t取何值時(shí)，PQ/7CD?

(2)從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)t取何值時(shí)，4PQC為直角三角形？

【解析】

試題分析：（D添加PD=CQ即可判斷以PQDC為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

（2）分兩種情況討論：①點(diǎn)P處為直角，②點(diǎn)2處是直角.

試題解析：（1）當(dāng)8時(shí)，四邊形是平行四邊形，此B寸以＞=以?，.?.12-2'，二.I..?.當(dāng)日

時(shí)，四邊形P0DC是平行四邊形.

（2）過9點(diǎn)，作PH13C于&DF1BC,：.DF=AB=S,尸。=3。一.山=18-12=6,DC=,6二+$=10,

①當(dāng)PO1BC,是直角三角形.則：12-2m=6,...尸6,此時(shí)P運(yùn)動(dòng)到了D處j

PCFC6110

②當(dāng)。尸19C,如圖1，.?/C12+10-2t=22-2f,CQ=bVcosC=一=一，.二——=—，解得：尸一,

QCDCt1013

.?.當(dāng)產(chǎn)6或五時(shí)，△尸2c是直角三隹形.

考點(diǎn)：1.平行四邊形的判定與性質(zhì)；2.勾股定理的逆定理；3.直角梯形；4.動(dòng)點(diǎn)型；5.分

類討論；6.綜合題.

【2014年題組】

1.（2014?江蘇省鹽城市）若等腰三角形的頂角為40°,則它的底允度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D.

【解析】

180。-40。

試題分析：因?yàn)榈妊切蔚膬蓚€(gè)底角相等，又因?yàn)轫斀鞘?0。，所以其底角為2

=70°.故選D.

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).

2.（2014?桂林）下列命題中，是真命題的是（）

A.等腰三角形都相似B.等邊三角形都相似

C.銳角三角形都相似D.直角三角形都相似

【答案】B.

【解析】

試題分析：根據(jù)相似三角形的判定，只有等邊三角形的內(nèi)角都相等，為60。，從而都相似.故

選B.

考點(diǎn)：1.命題和定理；2.相似三角形的判定；3.等邊三角形的性質(zhì).

3.（2014湖南省湘西州）如圖,在RSABC中,ZACB=90°,CA=CB,AB=2,過點(diǎn)C作

CD±AB,垂足為D,則CD的長為（）

A.4B.2C.1D.2

【答案】C.

【解析】

試題分析：?「NdC5=90°,O4=C5,.?.4=N5=45°,,：CD1AB,：.AD=BD=AB=\,NCD5=90°,

CD=BD=\.故選C.

考點(diǎn)：等腰直角三角形.

4.（2014貴州安順市）己知等腰三角形的兩邊長分別為a、b,且a、b滿足J2a-3H5+

（2a+3b-13）2=0,則此等腰三角形的周長為（）

A.7或8B.6或10C.6或7D.7或10

【答案】A.

【解析】

試題分析：V|2a-3b+5|+（2a+3b-13）2=0,

'2。-36+5=0

.’2a+36-13=0

??，

a=2

解得l"3,

當(dāng)a為底時(shí)，三角形的三邊長為2,3,3,則周長為8；

當(dāng)b為底時(shí)，三角形的三邊長為2,2,3,則周長為7；

綜上所述此等腰三角形的周長為7或8.

故選A.

考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；3.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；4.解

二元一次方程組；5.三角形三邊關(guān)系.

5.（2014張家界）如圖，在RtAABC中，ZACB=60°,DE是斜邊AC的中垂線分別交AB、

AC于D、E兩點(diǎn)，若BD=2,則AC的長是（）

C

DB

A.4R4＞萬C.8D.8百

【答案】B.

【解析】

試題分析：，:在RAW3c中，乙4c3=60°,?,?/始30°.

〈DE垂直平分斜邊月C,???ND=CD,用N4CD=30。./.ZDC5=60°-30。=30。?

'：BD=2,：.CD=AD=4..*.-45=2+4+2=6.

在△38中，由勾股定理得：CB=24,

在AWBC中，由勾股定理得：AC-VAB:-BC:=473.

故選B.

考點(diǎn)：1.線段垂直平分線的性質(zhì)；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理.

6.（2014吉林）如圖，△ABC中，NC=45。，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上.若AD二DB二DE,

AE=1,則AC的長為（）

A.&B.2C.V3D.V2

【答案】D

【解析】

試題分析：.?FADE,

：2DAE=SE.%

?：DB=DE,

：.Z.B=Z_DEB,

：.^EB=ZDEA+ZDEB=X180°=90°,

.".Z-45C=90°,

?.?/045°,-4￡=1,

：.AC=42.

故選D.

考點(diǎn)：1、等腰直角三角形；2、等腰三角形的判定與性質(zhì).

7.（2014吉林）如圖，直線y=2x+4與x,y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，以O(shè)B為邊在y軸右側(cè)

作等邊三角形OBC,將點(diǎn)C向左平移，使其對應(yīng)點(diǎn)C3合好落在直線AB上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)

【答案】（-1,2）

【解析】

試題分析：,直線y=2x+4與y軸交于B點(diǎn)，

工丫二。時(shí)，2x+4=0,

解得x=-2,

AB（0,4）.

???以O(shè)B為邊在y軸右側(cè)作等邊三角形OBC,

AC在線段OB的垂直平分線上，

???C點(diǎn)縱坐標(biāo)為2.

將y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,

解得x=-1.

故C'的坐標(biāo)為（-1,2）.

考點(diǎn)：1、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；2、等邊三角形的性質(zhì).

8.（2014畢節(jié)）如圖，在RSABC中，ZABC=90°,AB=3,AC=5,點(diǎn)E在BC上，將△ABC

沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B，處，則BE的長為

3

【答案】2.

【解析】

試題分析：???在RrATBC中，乙!3490°,4萬=3,AO5,

.\BC=VAC:-AB:-4.

由折彘的性質(zhì)得：BE=BEy,AB=AB',

設(shè)3E=x,貝ijB'￡=x,CE=4-x,BfOAC-AB'=AC-AB=2,

在RzAB'EC中,B/E2+B/C:=EC2,即R+27(4-x)2,解得：尸二.

：?BE的長為:.

考點(diǎn)：1.折疊的性質(zhì)；2.勾股定理；3.方程思想的應(yīng)用

0考點(diǎn)歸納

歸納1：等腰三角形

基礎(chǔ)知識歸納：1、等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底

邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論：

定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。

這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。

基本方法歸納：①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。

b

③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a,底邊長為b,則5<a

④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為NA,底角為NB、ZC,則NA=180°—2NB,

180。-4

ZB=ZC=2

注意問題歸納：等腰三角形的性質(zhì)與判定經(jīng)常用來計(jì)算三角形的角的有關(guān)問題，并證明角相

等的問題。

［例1］已知等腰AABC的兩邊長分別為2和3,則等腰4ABC的周長為（）

A.7B.8C.6或8D.7或8

【答案】D.

【解析】

試題分析：因?yàn)榈妊切蔚膬蛇叿謩e為2和3,但沒有明確哪是底邊，哪是腰，所以有兩種情況，需要分

類討論.

試題解析：當(dāng)2為底時(shí)，三角形的三邊為3,2、3可以構(gòu)成三角形，周長為8;

當(dāng)3為底時(shí)，三角形的三邊為3,2、2可以構(gòu)成三角形，周長為7.

故選D.

考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.三角形三邊關(guān)系.

歸納2：等邊三角形

基礎(chǔ)知識歸納：1.定義

三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

2.性質(zhì)：

等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°

3.判定

三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

有?個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形.

基本方法歸納：線段垂直平分線上的一點(diǎn)到這條線段的兩端距離相等；到一條線段兩端點(diǎn)距

離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.

注意問題歸納：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等

邊三角形。

【例2】如圖，直線a〃b,ZXABC是等邊三角形，點(diǎn)A在直線a上，邊BC在直線b上，

把4ABC沿BC方向平移BC的一半得到（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，

再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請問在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是

【答案】400.

【解析】

試題分析：先證出陰影的三角形是等邊三角形，又觀察圖可得，第〃個(gè)圖形中大等邊三角形有2〃個(gè)，小等

邊三角形有2〃個(gè)，據(jù)此求出第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù).

試題解析：如圖①

A

①

是等邊三角形，

：.AB=BC=AC,

，：A,IIAB,BB/=BfC^-BC,

：.B,CO~-AC,

.?.△3,。。是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形.

又觀察圖可得，第1個(gè)圖形中大等邊三角形有2個(gè)，小等邊三角形有2個(gè)，

第2個(gè)圖形中大等邊三角形有4個(gè)，小等邊三角形有4個(gè)，

第3個(gè)圖形中大等邊三角形有6個(gè)，小等邊三角形有6個(gè)，…

依次可得第〃個(gè)圖形中大等邊三角形有2H個(gè)，小等邊三角形有2〃個(gè).

故第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是：2X100-2X100=400.

故答案為：400.

考點(diǎn)：1.等邊三角形的判定與性質(zhì)；2.平移的性質(zhì).

歸納3：直角三角形

基礎(chǔ)知識歸納：有一個(gè)角是直角的三角形叫作直角三角形

直角三角形的性質(zhì)；

(1)直角三角形兩銳角互余.

(2)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

(3)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

基本方法歸納：(1)兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

(2)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

注意問題歸納：注意區(qū)分直角三角形的性質(zhì)與直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一

個(gè)銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，它的逆命題不能直接使用。

V5

【例3】如圖，在RSABC中，NACB=90。，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且CD=2，如果RsABC

的面積為1,則它的周長為()

A

石+1

A.2B.6+1C.石+2D.小+3

【答案】D

【解析】

試題分析：

平廠

如圖，...在RfAzi5c中，NJC3=90°,點(diǎn)。是.好的中點(diǎn)，且8=.33=28=避..3?+30=5,

又?.?&ZLW8C的面積為1,.?.]TC?8C=1,貝必C?8C=2.「.（/G8C）^AC+BC+2.4C-BC=9,：J1C+BC=3

（舍去負(fù)值）,...XO3d4=3+/,即AW5c的周長是3+君.故選D.

考點(diǎn)：1.勾股定理；2.直角三角形斜邊上的中線.

歸納4：勾股定理

基礎(chǔ)知識歸納：

直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2;

基本方法歸納：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三

角形.

注意問題歸納：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一種常用的方法，通常與直角三角形

的性質(zhì)結(jié)合起來考查。

【例4】如圖，△ABC中，CD_LAB于D,E是AC的中點(diǎn).若AD=6,DE=5,則CD的長

等于

【答案】8.

【解析】

工

試題分析：??.△ABC