專題44 中考解答題最?？碱}型解直角三角形的應用（解析版）

專題44中考解答題最常考題型解直角三角形的應用（解析版）

模塊一2022中考真題集訓

類型一坡度坡角問題

1．（2022?菏澤）菏澤某超市計劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至

30°，已知原電梯坡面AB的長為8米，更換后的電梯坡面為AD，點B延伸至點D，求BD的長．（結

果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）

3≈

思路引領：在△ABC中求出BC以及AC的長度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．

解：由題意得，在△ABC中，

∵∠ABC＝37°，AB＝8米，

∴AC＝AB?sin37°＝4.8（米），

BC＝AB?cos37°＝6.4（米），

在Rt△ACD中，CD8.304（米），

??

則BD＝CD﹣BC＝8.=30?4?﹣?360.4°≈≈1.9（米）．

答：改動后電梯水平寬度增加部分BD的長為1.9米．

總結提升：本題考查了坡度和坡角的知識，解題的關鍵是根據(jù)題意構造直角三角形，利用三角函數(shù)的知

識求解．

2．（2022?郴州）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD＝20m，背水坡BC的坡度為i1＝1：1．為了對水庫

大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設計人員準備把背水坡的坡度改為i2＝1：，求背水坡新

起點A與原起點B之間的距離．3

（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73．結果精確到0.1m）

2≈3≈

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思路引領：在Rt△BCD中，根據(jù)BC的坡度為i1＝1：1，可求出BD的長，再在Rt△ACD中，根據(jù)AC

的坡度為i2＝1：，可求出AD的長，然后利用AB＝AD﹣BD，進行計算即可解答．

解：在Rt△BCD中3，

∵BC的坡度為i1＝1：1，

∴1，

??

=

∴?C?D＝BD＝20米，

在Rt△ACD中，

∵AC的坡度為i2＝1：，

∴，3

??1

=

∴?A?D3CD＝20（米），

∴AB＝=AD3﹣BD＝20320≈14.6（米），

∴背水坡新起點A與原3起?點B之間的距離約為14.6米．

總結提升：本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟練掌握坡度是解題的關鍵．

3．（2022?長沙）為了進一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進

行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點D．為方便

通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．

（1）求該斜坡的高度BD；

（2）求斜坡新起點C與原起點A之間的距離．（假設圖中C，A，D三點共線）

思路引領：（1）根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解；

（2）在△ACD中，根據(jù)∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，從而得出AC的長．

解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，

∴BDBA＝10（m），

1

答：該=斜2坡的高度BD為10m；

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（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，

∴∠CBA＝15°，

∴AB＝AC＝20（m），

答：斜坡新起點C與原起點A之間的距離為20m．

總結提升：本題主要考查坡度坡角的定義及解直角三角形，得到AB＝AC是解題的關鍵．

4．（2022?臺州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2．梯子與地面所成的角為75°，梯子

AB長3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，αcos75°≈0.26，

tan75°≈3.73）

思路引領：在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°0.97，解方程即可．

????

解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，=??=3≈

sin∠BAC＝sin75°0.97，

????

解得BC≈2.9．=??=3≈

答：梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．

總結提升：本題考查解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的

關鍵．

5．（2022?株洲）如圖（Ⅰ）所示，某登山運動愛好者由山坡①的山頂點A處沿線段AC至山谷點C處，再

從點C處沿線段CB至山坡②的山頂點B處．如圖（Ⅱ）所示，將直線l視為水平面，山坡①的坡角∠

ACM＝30°，其高度AM為0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN千米．

（1）求∠ACB的度數(shù)；=2

（2）求在此過程中該登山運動愛好者走過的路

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程．

思路引領：（1）根據(jù)坡度的概念求出∠BCN＝45°，根據(jù)平角的概念計算即可；

（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)余弦的定義求出BC，進而得到答案．

解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1，

∴CN＝BN，

∴∠BCN＝45°，

∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°；

（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米，

∴AC＝2AM＝1.2千米，

在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN千米，

=2

則BC2（千米），

??

∴該登=山??運?∠動?愛??好=者走過的路程為：1.2+2＝3.2（千米），

答：該登山運動愛好者走過的路程為3.2千米．

總結提升：本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的

定義是解題的關鍵．

類型二俯角仰角問題

6．（2022?涼山州）去年，我國南方某地一處山坡上一座輸電鐵塔因受雪災影響，被冰雪從C處壓折，塔尖

恰好落在坡面上的點B處，造成局部地區(qū)供電中斷，為盡快搶通供電線路，專業(yè)維修人員迅速奔赴現(xiàn)場

進行處理，在B處測得BC與水平線的夾角為45°，塔基A所在斜坡與水平線的夾角為30°，A、B兩

點間的距離為16米，求壓折前該輸電鐵塔的高度（結果保留根號）．

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思路引領：根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理，可以分別求得AD、CD和BC長，然后將它們相加，即可得

到壓折前該輸電鐵塔的高度．

解：由已知可得，

BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，

∴∠E＝∠DBA＝30°，

∴AD＝8米，

∴BD8（米），

2222

∵∠C=BD?＝?45?°?，?∠=CDB1＝69?0°8，=3

∴∠C＝∠CBD＝45°，

∴CD＝BD＝8米，

3

∴BC8（米），

2222

∴AC+=CB?＝?AD++?C?D+=CB＝(8（83+)8+(883)）=米，6

答：壓折前該輸電鐵塔的高度是（38++868）米．

3+6

總結提升：本題考查解直角三角形的應用—坡度坡角問題，解答本題的關鍵是明確題意，求出AD、CD

和BC長．

7．（2022?陜西）端午假期，小明和小昊與家人到一山莊度假．閑暇時，他們想利用所學數(shù)學知識測量所住

樓前小河的寬．如圖所示，他們先在六層房間窗臺點F處，測得河岸點A處的俯角∠1的度數(shù)，然后來

到四層房間窗臺點E處，測得河對岸點B處的俯角∠2的度數(shù)（AB與河岸垂直），并且發(fā)現(xiàn)∠1與∠2正

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好互余．其中O，E，F(xiàn)三點在同一直線上，O，A，B三點在同一直線上，OF⊥OA．已知OE＝15米，

OF＝21.6米，OA＝16米，求河寬AB．

思路引領：根據(jù)∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，可得∠FAO+∠EBO＝90°，又OF⊥OA，

即得∠EBO＝∠AFO，故△EBO∽△AFO，有，求出OB＝20.25，從而可得河寬AB為4.25米．

15??

=

解：∵∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝1690°2，1.6

∴∠FAO+∠EBO＝90°，

∵OF⊥OA，

∴∠O＝90°，

∴∠FAO+∠AFO＝90°，

∴∠EBO＝∠AFO，

∵∠O＝∠O，

∴△EBO∽△AFO，

∴，

????

=

∵?O?E＝1?5?米，OF＝21.6米，OA＝16米，

∴，

15??

=

解得16OB2＝1.260.25，

∴AB＝OB﹣OA＝20.25﹣16＝4.25（米），

答：河寬AB為4.25米．

總結提升：本題考查解直角三角形的應用﹣俯角問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是讀

懂題意，證明△EBO∽△AFO．

8．（2022?鋼城區(qū)）如圖，某數(shù)學研究小組測量山體AC的高度，在點B處測得山體A的仰角為45°，沿

BC方向前行20m至點D處，斜坡DE的坡度為1：2，在觀景臺E處測得山頂A的仰角為58°，且點E

到水平地面BC的垂直距離EF為10m．點B，D，C在一條直線上，AB，AE，AC在同一豎直平面內(nèi)．

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（1）求斜坡DE的水平寬度DF的長；

（2）求山體AC的高度．（結果精確到1m．參考數(shù)據(jù)sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，

）2≈

1.41

思路引領：（1）由斜坡DE的坡度，EF＝10即可得出答案；

??1

（）作⊥，知四邊形為矩=形，設＝＝，在△中，＝°≈

2EHACEFCH??2EHCFxmRtAEHAHEH?tan581.60x

（m），繼而知AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，在Rt△ABC中，根據(jù)AC

＝BC得1.60x+10＝40+x，解之求出x的值，進一步求解可得答案．

解：（1）∵斜坡DE的坡度，EF＝10m，

??1

=

∴，??2

101

=

∴?D?F＝220．即斜坡DE的水平寬度DF長為20米．

（2）過點E作EH⊥AC于點H，則四邊形EFCH為矩形，

∴HC＝EF＝10m，CF＝EH，

設EH＝CF＝xm，

在Rt△AEH中，AH＝EH?tan∠AEH＝EH?tan58°≈1.60x（m），

∴AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，

在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，

∴AC＝BC，即1.60x+10＝40+x，

解得x＝50，

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∴AH＝1.60x＝1.60×50＝80（m），

∴AC＝AH+HC＝80+10＝90（m）．即山體AC的高度為90米．

總結提升：本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角

形是解答此題的關鍵．

9．（2022?內(nèi)蒙古）在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建

筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡

坡度i＝3：4，即tan，請你幫助該小組計算建筑物的高度AB．

3

（結果精確到0.1m，θ參=考4數(shù)據(jù)：1.732）

3≈

思路引領：過點D作DE⊥AC，垂足為E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在

Rt△DEC中，根據(jù)已知可設DE＝3x米，則CE＝4x米，然后利用勾股定理進行計算可求出DE，CE的

長，再設BF＝y(tǒng)米，從而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DF

的長，從而求出AC的長，再在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關于y的方程，進行計算即

可解答．

解：過點D作DE⊥AC，垂足為E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，

則DE＝AF，DF＝AE，

在Rt△DEC中，tan，

??3

θ=??=4

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設DE＝3x米，則CE＝4x米，

∵DE2+CE2＝DC2，

∴（3x）2+（4x）2＝400，

∴x＝4或x＝﹣4（舍去），

∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，

設BF＝y(tǒng)米，

∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，

在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，

∴DFy（米），

???

=???30°=3=3

∴AE＝DFy米3，

∴AC＝AE﹣=CE3＝（y﹣16）米，

在Rt△ABC中，∠AC3B＝60°，

∴tan60°，

??12+?

===3

解得：y＝6+?8?，3??16

經(jīng)檢驗：y＝6+83是原方程的根，

∴AB＝BF+AF＝138+831.9（米），

∴建筑物的高度AB約為3≈31.9米．

總結提升：本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結

合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．

10．（2022?阜新）如圖，小文在數(shù)學綜合實踐活動中，利用所學的數(shù)學知識測量居民樓的高度AB，在居民

樓前方有一斜坡，坡長CD＝15m，斜坡的傾斜角為，cos．小文在C點處測得樓頂端A的仰角為

4

60°，在D點處測得樓頂端A的仰角為30°（點A，αB，Cα，=D5在同一平面內(nèi)）．

（1）求C，D兩點的高度差；

（2）求居民樓的高度AB．

（結果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：1.7）

3≈

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思路引領：（1）過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，在Rt△DCE中，可得

4

（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．??=???????=15×5=

12

（2）過點D作DF⊥AB于F，設AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°，解得DFx，

???3

====3

在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（x﹣12）m，tan60°????3，求出x的值，即

???+9

3===3

可得出答案．??3??12

解：（1）過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，

∵在Rt△DCE中，cos，CD＝15m，

4

α=

∴5（m）．

4

??=???????=15×=12

∴5（m）．

2222

答：??C=，D?兩?點?的?高?度=差為159m?．12=9

（2）過點D作DF⊥AB于F，

由題意可得BF＝DE，DF＝BE，

設AF＝xm，

在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°，

???3

解得DFx，=??=??=3

在Rt△A=BC3中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，

3

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tan60°，

???+9

===3

解得??3，??12

9

?=63+

經(jīng)檢驗，2是原方程的解且符合題意，

9

?=63+

∴AB9≈224（m）．

9

答：居=民6樓3的+高2+度AB約為24m．

總結提升：本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定

義是解答本題的關鍵．

11．（2022?襄陽）位于峴山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑，是為紀念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革

命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻身的革命烈士而興建的，某校數(shù)學興趣小

組利用無人機測量烈士塔的高度．無人機在點A處測得烈士塔頂部點B的仰角為45°，烈士塔底部點C

的俯角為61°，無人機與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：

sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）

思路引領：在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，則BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC

＝tan61°1.80，解得CD≈18，由BC＝BD+CD可得出答案．

????

解：由題意=得??，=∠1B0AD≈＝45°，∠DAC＝61°，

在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，

∴BD＝AD＝10m，

在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，

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tan61°1.80，

????

解得CD=≈?1?8，=10≈

∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．

∴烈士塔的高度約為28m．

總結提升：本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的

關鍵．

12．（2022?朝陽）某數(shù)學興趣小組準備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺階）．該小組在C

處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30°，前進8m到達E處，安置測角儀EF，測得旗桿頂端

A的仰角為45°（點B，E，C在同一直線上），測角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的

距離即AB的長度．（結果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：1.7）

3≈

思路引領：延長DF交AB于點G，根據(jù)題意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，

然后設AG＝xm，在Rt△AFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FG的長，從而求出DG的長，再在Rt

△ADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關于x的方程，進行計算即可解答．

解：延長DF交AB于點G，

由題意得：

DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，

設AG＝xm，

在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，

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∴FGx（m），

??

∴DG=＝?D?F?+45F°G=＝（x+8）m，

在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，

∴tan30°，

???3

∴x＝4=4?，?=?+8=3

經(jīng)檢驗：3x+＝44是原方程的根，

∴AB＝AG+BG≈3+12（m），

∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m．

總結提升：本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當

的輔助線是解題的關鍵．

13．（2022?鞍山）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸．為弘揚航

天精神，某校在教學樓上懸掛了一幅長為8m的勵志條幅（即GF＝8m）．小亮同學想知道條幅的底端F

到地面的距離，他的測量過程如下：如圖，首先他站在樓前點B處，在點B正上方點A處測得條幅頂端

G的仰角為37°，然后向教學樓條幅方向前行12m到達點D處（樓底部點E與點B，D在一條直線上），

在點D正上方點C處測得條幅底端F的仰角為45°，若AB，CD均為1.65m（即四邊形ABDC為矩形），

請你幫助小亮計算條幅底端F到地面的距離FE的長度．（結果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，

cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

思路引領：設AC與GE相交于點H，根據(jù)題意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG

＝90°，然后設CH＝x米，則AH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH的

長，從而求出GH的長，最后再在Rt△AHG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關于x的方程，進行計算

即可解答．

解：設AC與GE相交于點H，

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由題意得：

AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，

設CH＝x米，

∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，

在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，

∴FH＝CH?tan45°＝x（米），

∵GF＝8米，

∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，

在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，

∴tan37°0.75，

???+8

解得：x＝=4，??=12+?≈

經(jīng)檢驗：x＝4是原方程的根，

∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），

∴條幅底端F到地面的距離FE的長度約為5.7米．

總結提升：本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關

鍵．

14．（2022?安順）隨著我國科學技術的不斷發(fā)展，5G移動通信技術日趨完善，某市政府為了實現(xiàn)5G網(wǎng)絡

全覆蓋，2021～2025年擬建設5G基站3000個，如圖，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在

坡腳C處測得塔頂A的仰角為45°，然后他沿坡面CB行走了50米到達D處，D處離地平面的距離為

30米且在D處測得塔頂A的仰角53°．（點A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)

據(jù)：sin53°，cos53°，tan53°）

434

（1）求坡面≈C5B的坡度；≈5≈3

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（2）求基站塔AB的高．

思路引領：（1）過點D作AB的垂線，交AB的延長線于點F，過點D作DM⊥CE，垂足為M．由勾股

定理可求出答案；

（2）設DF＝4a米，則ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF

中由銳角三角函數(shù)可列方程求出DF，進而求出AB．

解：（1）如圖，過點D作AB的垂線，交AB的延長線于點F，過點D作DM⊥CE，垂足為M．

由題意可知：CD＝50米，DM＝30米．

在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，

∴CM＝40米，

∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；

（2）設DF＝4a米，則MN＝4a米，BF＝3a米，

∵∠ACN＝45°，

∴∠CAN＝∠ACN＝45°，

∴AN＝CN＝（40+4a）米，

∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．

在Rt△ADF中，

∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，

∴tan∠ADF，

??

=??

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∴，

410+4?

=

∴解3得a4?，

15

∴AF＝10=+42a＝10+30＝40（米），

∵BF＝3a米，

45

=

∴AB＝AF﹣B2F＝40（米）．

4535

?2=2

答：基站塔AB的高為米．

35

總結提升：本題考查解2直角三角形，通過作垂線構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系和坡度的

意義進行計算是常用的方法．

15．（2022?大連）如圖，蓮花山是大連著名的景點之一．游客可以從山底乘坐索道車到達山頂，索道車運

行的速度是1米/秒．小明要測量蓮花山山頂白塔的高度，他在索道A處測得白塔底部B的仰角約為30°，

測得白塔頂部C的仰角約為37°，索道車從A處運行到B處所用時間約為5分鐘．

（1）索道車從A處運行到B處的距離約為300米；

（2）請你利用小明測量的數(shù)據(jù)，求白塔BC的高度．（結果取整數(shù)）

（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）

3≈

思路引領：（1）根據(jù)路程＝速度×時間，進行計算即可解答；

（2）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD，BD的長，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函

數(shù)的定義求出CD的長，進行計算即可解答．

解：（1）由題意得：

5分鐘＝300秒，

∴1×300＝300（米），

∴索道車從A處運行到B處的距離約為300米，

故答案為：300；

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（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，

∴BDAB＝150（米），

1

AD=2BD＝150（米），

在R=t△3ACD中，∠3CAD＝37°，

∴CD＝AD?tan37°≈1500.75≈194.6（米），

∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣1350×≈45（米），

∴白塔BC的高度約為45米．

總結提升：本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關

鍵．

類型三方向角問題

16．（2022?資陽）小明學了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道AB進行實地測量．如圖所示，

他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進100米后到達點D，

此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西60°方向上，（點A、B、C、D在3同一平面內(nèi)）

（1）求點D與點A的距離；

（2）求隧道AB的長度．（結果保留根號）

思路引領：（1）根據(jù)方位角圖，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；

（2）過點D作DE⊥AB于點E．分別解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的長．

解；（1）由題意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

在Rt△ADC中，

∴（米），

答：??點=D?與?×點?A??的∠?距?離?為=1300米3．×???60°=1003×3=300

（2）過點D作DE⊥AB于點E，

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∵AB是東西走向，

∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，

在Rt△ADE中，

∴（米），

2

在?R?t△=B?D?E=中?，?×???∠???=300×???45°=300×2=1502

∴（米），

∴??=??×???∠???=1502×??（?6米0°）=，1502×3=1506

答：??隧=道??AB+的??長=為(1502+1506)米．

總結提升：本題考查(了15解0直2角+三15角0形6的)應用﹣方向角問題，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函數(shù)

值是解題的關鍵．

17．（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C

在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，

當它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結

果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

思路引領：過B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD

中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．

解：過B作BD⊥AC于D，

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由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，

在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），

∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），

在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），

∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），

答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．

總結提升：本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關

鍵．

18．（2022?丹東）如圖，我國某海域有A，B，C三個港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是

單位“海里”的符號）處，A港口在B港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile處，在A港口北偏東

53°方向且位于C港口正北方向的點D處有一艘貨船，求貨船與A港口之間的距離．

（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈

1.33．）

思路引領：過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥AE，垂足為F，根據(jù)題意得：EF＝BC＝33.2

海里，AG∥DC，從而可得∠ADC＝53°，然后在Rt△AEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，

從而求出AE的長，最后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，進行計算即可解答．

解：過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥AE，垂足為F，

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由題意得：

EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，

∴∠GAD＝∠ADC＝53°，

在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，

∴AF＝AB?sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），

∴AE＝AF+EF＝64（海里），

在Rt△ADE中，AD80（海里），

??64

∴貨船與A港口之間=的?距??5離3°約≈為0.80=海里．

總結提升：本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)?/p>

輔助線是解題的關鍵．

19．（2022?遼寧）如圖，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到

C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向，B港口在貨輪的北偏西70°方向．求此時貨輪與A港口的

距離（結果取整數(shù)）．

（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，1.414）

2≈

思路引領：過點B作BD⊥AC，垂足為D，根據(jù)題意得：∠BAC＝50°，∠BCA＝45°，然后在Rt△ABD

中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD，BD的長，再在Rt△BDC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD

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的長，最后進行計算即可解答．

解：過點B作BD⊥AC，垂足為D，

由題意得：

∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，

在Rt△ABD中，AB＝100海里，

∴AD＝AB?cos50°≈100×0.643＝64.3（海里），

BD＝AB?sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），

在Rt△BDC中，CD76.6（海里），

??

∴AC＝AD+CD＝64.3=+?7?6?.64≈5°1=41（海里），

∴此時貨輪與A港口的距離約為141海里．

總結提升：本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)?/p>

輔助線是解題的關鍵．

20．（2022?邵陽）如圖，一艘輪船從點A處以30km/h的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔C在北偏東

60°方向上，繼續(xù)航行1h到達B處，這時測得燈塔C在北偏東45°方向上，已知在燈塔C的四周40km

內(nèi)有暗礁，問這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？并說明理由．（提示：1.414，1.732）

2≈3≈

思路引領：過點C作CD垂直AB，利用特殊角的三角函數(shù)值求得CD的長度，從而根據(jù)無理數(shù)的估算作

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出判斷．

解：安全，理由如下：

過點C作CD垂直AB，

由題意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，

在Rt△CBD中，設CD＝BD＝xkm，則AD＝（x+30）km，

在Rt△ACD中，tan30°，

??

=

∴，??

??3

=

∴??3，

?3

=

解得?+：30x＝15315≈40.98＞40，

所以，這艘輪船3+繼續(xù)向正東方向航行是安全的．

總結提升：本題考查解直角三角形的應用，通過添加輔助線構建直角三角形，熟記特殊角的三角函數(shù)值

是解題關鍵．

類型四解直角三角形問題

21．（2022?鹽城）2022年6月5日，“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機械臂成功發(fā)射．如圖是處

于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人示意圖，OA是垂直于工作臺的移動基座，AB、BC為機械臂，OA＝1m，

AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．機械臂端點C到工作臺的距離CD＝6m．

（1）求A、C兩點之間的距離；

（2）求OD長．

（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24）

5≈

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思路引領：（1）過點A作AE⊥CB，垂足為E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和

BE，即可得出AC的長；

（2）過點A作AF⊥CD，垂足為F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的長．

解：（1）如圖，過點A作AE⊥CB，垂足為E，

在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，

∵sin∠ABE，cos∠ABE，

????

=??=??

∴0.60，0.80，

????

==

∴A5E＝3m，BE5＝4m，

∴CE＝6m，

在Rt△ACE中，由勾股定理AC36.7m．

22

（2）過點A作AF⊥CD，垂足為=F，3+6=5≈

∴FD＝AO＝1m，

∴CF＝5m，

在Rt△ACF中，由勾股定理AF2m．

∴OD＝24.5m．=45?25=5

總結提升：5本≈題考查了解直角三角形的應用、勾股定理等知識；正確作出輔助線構造直角三角形是解題

的關鍵．

22．（2022?青海）隨著我國科學技術的不斷發(fā)展，科學幻想變?yōu)楝F(xiàn)實．如圖1是我國自主研發(fā)的某型號隱

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形戰(zhàn)斗機模型，全動型后掠翼垂尾是這款戰(zhàn)斗機亮點之一．圖2是垂尾模型的軸切面，并通過垂尾模型

的外圍測得如下數(shù)據(jù)，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的

面積．（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）

2≈3≈

思路引領：通過作垂線，構造矩形和直角三角形，利用直角三角形的邊角關系以及等腰三角形的性質(zhì)，

可求出BE、CE、DF、AF，進而求出AB，利用梯形面積的計算公式進行計算即可．

解：如圖，過點A作CD的垂線，交CD的延長線于F，過點C作AB的垂線，交AB的延長線于E，

∵AB∥CD，

∴四邊形AECF是矩形，

∵∠BCD＝60°，

∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，

在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，

∴BEBC＝4，CEBC＝4，

13

∵∠A=D2C＝135°，=23

∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，

∴△ADF是等腰直角三角形，

∴DF＝AF＝CE＝4，

由于FC＝AE，即432＝AB+4，

∴AB＝42，3+

3?

∴S梯形ABCD（2+42）×424，

1

答：垂尾模=型2ABCD的3面?積為24．3=

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總結提升：本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提，構造矩形、

直角三角形是解決問題的關鍵．

23．（2022?通遼）某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AB的長度（結果保留小數(shù)點后一位，

1.7）．

3≈

思路引領：在Rt△BDE中求出ED，再在Rt△ACM中求出AM，最后根據(jù)線段的和差關系進行計算即可．

解：如圖，過點C、D分別作BE的平行線交BA的延長線于點M、N，

在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，

∴DE＝BE＝14m，

在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，

∴AMCM＝14（m），

∴AB＝=BM3﹣AM3

＝CE﹣AM

＝20+14﹣14

≈10.2（m），3

答：AB的長約為10.2m．

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總結提升：本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提，構造直角三

角形是解決問題的關鍵．

24．（2022?張家界）閱讀下列材料：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，求證：．

??

=

證明：如圖1，過點C作CD⊥AB于點D，則：????????

在Rt△BCD中，CD＝asinB

在Rt△ACD中，CD＝bsinA

∴asinB＝bsinA

∴

??

=

根據(jù)???上?面的??材??料解決下列問題：

（1）如圖2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，求證：；

??

=

（2）為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，???規(guī)?劃中??的??一片三角形區(qū)

域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求這片區(qū)域的面積．（結果保留根號．參考數(shù)據(jù)：

sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）

思路引領：（1）根據(jù)題目提供的方法進行證明即可；

（2）根據(jù)（1）的結論，直接進行計算即可．

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（1）證明：如圖2，過點A作AD⊥BC于點D，

在Rt△ABD中，AD＝csinB，

在Rt△ACD中，AD＝bsinC，

∴csinB＝bsinC，

∴；

??

=

（?2?）??解：?如??圖?3，過點A作AE⊥BC于點E，

∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，

∴∠C＝60°，

在Rt△ACE中，AE＝AC?sin60°＝8040（m），

3

×=3

又∵，2

??