專題15 圖形的相似綜合（6大考點）（原卷版）

第四部分三角形

專題15圖形的相似綜合（6大考點）

核心考點一比例線段

核心考點二相似三角形的判定

核心考點三相似三角形的性質(zhì)

核心考點

核心考點四相似三角形中的動點問題

核心考點五位似圖形

核心考點六相似三角形的實際應(yīng)用

新題速遞

核心考點一比例線段

例1（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）

的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計一座高度為2m的雷鋒雕像，

那么該雕像的下部設(shè)計高度約是（）（結(jié)果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：21.414，31.732，52.236）

A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m

51

例2（2021·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們

2

以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計．已

知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長度為51，則該矩形的周長為__________________．

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例3（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）在四邊形ABCD中，BAD的平分線AF交BC于F，延長AB到E

使BEFC，G是AF的中點，GE交BC于O，連接GD．

(1)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，如圖，求證：①GEGD；②BOGDGOFC．

(2)當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖，（1）中的結(jié)論都成立，請給出結(jié)論②的證明．

知識點、線段的比與成比例線段

線段的比兩條線段長度的比叫做兩條線段的比.注意：求兩條線段的比時必須統(tǒng)一單位）．

ac

四條線段a、b、c、d中，如果，那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例

成比例線段bd

線段，簡稱比例線段．

知識點、比例的性質(zhì)

ac

基本性質(zhì)adbc

bd

合比的性質(zhì)acabcd

bdbd

等比性質(zhì)acmacm

kbdn0k

bdnbdn

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知識點、黃金分割

ACBC

若線段AB上一點C把線段AB分成兩條線段AC與BC（AC>BC），如果，

ABAC

黃金分割

51

這時稱點C是AB的黃金分割點，這個比值稱為黃金比，它的值為0.618．

2

知識點、平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

圖形：

幾何語言：

定理

∵l1∥l2∥l3，

ABDEABDEBCEF

∴，，

BCEFACDFACDF

平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例。

圖形：幾何語言：

推論ADAE

∵DE∥BC，∴，

DBEC

ADAEBDCE

，

ABACABAC

【變式1】（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）如圖，已知P、Q是邊AB的三等分點，△ABC的面積為27，現(xiàn)從

AB邊一點D，沿平行BC的方向剪下一個面積為7的三角形，則點D在（）

A．線段AP上B．線段PQ上，且靠近P點

C．線段PQ上，且靠近Q點D．線段BQ上

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【變式2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測）ABCD被分別平行于兩邊的四條線段EJ、FI、LG、KH分割成

9個小平行四邊形，面積分別為S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD．若知道S1-9中的n個，就一定能算

出平行四邊形ABCD的面積，則n的最小值是（）．

A．2B．3C．4D．6

【變式3】（2022·統(tǒng)考一模）已知線段a51，b51，則a，b的比例中項線段等于______．

51

【變式4】（2022·福建莆田·?？家荒＃┪覀儼褜捙c長的比為黃金比（）的矩形稱為黃金矩形，如圖，

2

在黃金矩形ABCD中，AB＜BC，BC＝4，∠ABC的平分線交AD邊于點E，則DE的長為_____．

【變式5】（2020·福建南平·統(tǒng)考一模）在△ABC中，AB＝12，點E在AC上，點D在AB上，若AE＝6，

ADAE

EC＝4，．

DBEC

（1）求AD的長；

DBEC

（2）試問能成立嗎？請說明理由．

ABAC

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核心考點二相似三角形的判定

k

例1（2020·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABO的頂點A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∠ABO＝

x

90°，過AO邊的三等分點M、N分別作x軸的平△行線交AB于點P、Q．若四邊形MNQP的面積為3，則k

的值為（）

A．9B．12C．15D．18

例2（2021·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，點D，E分別為邊AB，AC上的點，試添加一

個條件：_____，使得VADE與ABC相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）

例3（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtABC中，ABC90，E是邊AC上一點，且BEBC，

過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．

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知識點、相似三角形的判定

平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原

預(yù)備定理

三角形相似．

有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．

判定1

兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似．

判定2

三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似

判定3

若一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和直角邊對應(yīng)成比

例，那么這兩個直角三角形相似．

直角三角形

的特殊判定

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【變式1】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AG平分BAC，點D在邊AB上，線段CD與AG

交于點E，且ACDB，下列結(jié)論中，錯誤的是（）

A．△ACD∽△ABCB．ADE∽ACG

C．△ACE∽△ABGD．△ADE∽△CGE

【變式2】（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，C45，將ABC繞著點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，

使點C的對應(yīng)點C落在CA的延長線上，得到ABC，連接AA，交BC于點O．下列結(jié)論：①ACA90；

②AABC；③ABCAAC；④△AOC∽△BOA．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【變式3】（2021·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P為射線BC上的一個

動點，過點P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點Q，當(dāng)BP＝5時，CQ＝_____．

【變式4】（2021·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形紙片ABCD中，將AB沿BM翻折，使點A落在BC上

的點N處，BM為折痕，連接MN；再將CD沿CE翻折，使點D恰好落在MN上的點F處，CE為折痕，

連接EF并延長交BM于點P，若AD=8，AB=5，則線段PE的長等于____．

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【變式5】（2022·四川南充·統(tǒng)考三模）如圖，在ABC中，ACB90，CD是邊AB上的中線，EF垂直

平分CD，分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DE，DF．

(1)求證：△OCE∽△OFD．

(2)當(dāng)AE7，BF24時，求線段EF的長．

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核心考點三相似三角形的性質(zhì)

例1（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB

＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為()

4443

A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6

3334

例2（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知F是ABC內(nèi)的一點，F(xiàn)D∥BC，F(xiàn)E∥AB，若BDFE

11

的面積為2，BDBA，BEBC，則ABC的面積是________．

34

例315．（2020·山東濟南·中考真題）在等腰ABC中，AC＝BC，VADE是直角三角形，∠DAE＝90°，

1

∠ADE＝∠ACB，連接BD，BE，點F是BD△的中點，連接CF．

2

（1）當(dāng)∠CAB＝45°時．

①如圖1，當(dāng)頂點D在邊AC上時，請直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是．線段BE與線段CF

的數(shù)量關(guān)系是；

②如圖2，當(dāng)頂點D在邊AB上時，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予

證明，若不成立，請說明理由；

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學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一：作等腰ABC底邊上的高CM，并取BE的中點N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識來解決問題；

思路二：取DE的△中點G，連接AG，CG，并把CAG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全

等或相似有關(guān)知識來解快問題．

（2）當(dāng)∠CAB＝30°時，如圖3，當(dāng)頂點D在邊AC上時，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由．

知識點、相似三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1相似三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。

相似三角形的周長比等于相似比。

∽，則

由比例性質(zhì)可得：

性質(zhì)2

類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長的比等于相似比。

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相似三角形的面積比等于相似比的平方。

∽，則分別作出與的高

11

BCADkBCkAD

S

和，則△ABC22=k2

S11

△ABCBCADBCAD

22

性質(zhì)3

要點詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的。

如果把兩個相似多邊形分成若干個相似的三角形，我們還可以得到：

相似多邊形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線之比等于相似比。

性質(zhì)4

要點詮釋：要特別注意“對應(yīng)”兩個字，在應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段。

【變式1】（2022·廣東佛山·佛山市南海區(qū)石門實驗學(xué)校校考三模）如圖，在ABC中，AB4，AC3，BC5.

將ABC沿著點A到點C的方向平移到DEF的位置，圖中陰影部分面積為4，則平移的距離為（）

A．36B．6C．36D．26

k

【變式2】（2022·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）如圖，雙曲線y（x0）經(jīng)過RtOAB斜邊OB的中點D，

x

與直角邊AB交于點C，過點D作DEOA于點E，連接OC，若△OBC的面積是6，則k的值為（）

A．3B．4C．5D．6

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【變式3】（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知ABC，P是邊BC上一點，PAB、△PAC的重心分別為G1、

S

AG1G2

G2，那么的值為________．

SABC

【變式4】（2022·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）如圖，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，點P從A出

發(fā)沿AB運動到點B，作如圖的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，點P運動過程中，BQ的最小值為_____．

【變式5】（2022·寧夏銀川·校考一模）如圖，ABC是邊長為4cm的等邊三角形，AD為ABC的中線，動

點P，Q分別從A，B同時出發(fā)，分別沿AB，BC方向做勻速運動，它們的速度都是1cm/s．當(dāng)點P到達(dá)點

B時，停止運動，設(shè)點P的運動時間為t(s)．

(1)當(dāng)t_____時PBQ為等邊三角形

(2)當(dāng)PBQ與△ABD相似時，求出t的值

(3)設(shè)四邊形APQC的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出t為何值時，四邊形的面積S有最小值，

并求出最小值

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核心考點四相似三角形中的動點問題

例1（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖①，在矩形ABCD中，H為CD邊上的一點，點M從點

A出發(fā)沿折線AHHCCB運動到點B停止，點N從點A出發(fā)沿AB運動到點B停止，它們的運動速度都

是1cm/s，若點M、N同時開始運動，設(shè)運動時間為ts，AMN的面積為Scm2，已知S與t之間函數(shù)圖

象如圖②所示，則下列結(jié)論正確的是（）

①當(dāng)0t6時，AMN是等邊三角形．

②在運動過程中，使得△ADM為等腰三角形的點M一共有3個．

3

③當(dāng)0t6時，St2．

4

④當(dāng)t93時，ADH∽ABM．

⑤當(dāng)9t933時，S3t933．

A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤

例2（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點M、N分別是邊AD、

BC的中點，某一時刻，動點E從點M出發(fā)，沿MA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動；同時，

動點F從點N出發(fā)，沿NC方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，

兩點同時停止運動，連接EF，過點B作EF的垂線，垂足為H．在這一運動過程中，點H所經(jīng)過的路徑長

是_____．

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例3（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，ACB90，BC4，點D在AC上，CD3，

連接DB，ADDB，點P是邊AC上一動點（點P不與點A，D，C重合），過點P作AC的垂線，與AB相

交于點Q，連接DQ，設(shè)APx，PDQ與△ABD重疊部分的面積為S．

(1)求AC的長；

(2)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．

幾何內(nèi)容就是每年中考數(shù)學(xué)熱門考查對象，在中考數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)高的分值，考查范圍一般包括三角形、

四邊形、圓相關(guān)的知識內(nèi)容等等，其中與三角形相關(guān)的相似三角形更是其中的重難點，它是歷年中考數(shù)學(xué)

的熱點內(nèi)容。

動點問題一直是中考數(shù)學(xué)試題熱門考點，在很多地方中考試卷里，動點問題一直是必考題型。在很多動點

問題當(dāng)中，還會考查到很多數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合、分類討論思想、函數(shù)與方程等等都會考查到。

相似三角形作為中考數(shù)學(xué)中的一塊非常重要的知識內(nèi)容，一般會考查到以下三個方面內(nèi)容：

1、考查相似三角形的判定定理；

2、考查利用相似三角形的性質(zhì)去解決具體問題；

3、考查與相似三角形有關(guān)的綜合內(nèi)容。

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【變式1】（2022·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，ABC中，A90,ABAC1,BFBC，點D從點A

出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段AB作勻速運動，同時點E從點B出發(fā)，沿射線BF以每秒2個單位

的速度作勻速運動，當(dāng)點D與點B重合時兩點停止運動，連接DE,EC,CD．設(shè)點D運動的時間為x秒，CDE

的面積為y，則下列圖象中能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

A．B．C．D．

【變式2】（2022·江蘇無錫·無錫市天一實驗學(xué)校校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的

頂點坐標(biāo)分別為O0,0，A12,0，B8,6，C0,6．動點P從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿

邊OA向終點A運動；動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動．作AGPQ

于點G，則運動過程中，AG的最大值為（）

18536

A．B．35C．D．8

55

【變式3】（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，AB8cm,AC16cm，點P從A出發(fā)，以2cm/s

的速度向B運動，同時點Q從C出發(fā)，以3cm/s的速度向A運動，當(dāng)其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動

點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為t．

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（1）用含t的代數(shù)式表示：AQ=_______；

（2）當(dāng)以A，P，Q為頂點的三角形與ABC相似時，運動時間t________

【變式4】（2021·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，C90，AC2，BC3，點P從點A出

發(fā)，沿AB方向以每秒13個單位長度的速度向終點B運動；同時，動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒3

個單位長度的速度向終點C運動，設(shè)點P運動的時間為t秒，當(dāng)PBQ是直角三角形時，t的值為_______．

【變式5】（2022·寧夏銀川·校考三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標(biāo)為

6,0、6,8，動點M、N分別從O、B同時出發(fā)，都以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點

A運動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NPBC，交AC于點P，連接MP，已知動點運動了x秒．

(1)用含x的代數(shù)式表示P的坐標(biāo)．

(2)設(shè)四邊形OMPC的面積是y，求y的最小值，求出此時x的值．

(3)是否存在x的值，使以P、A、M為頂點的三角形與AOC相似？若存在，請求出x的值；若不存在，

請說明理由．

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核心考點五位似圖形

例1（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC與DEF位似，點O為位似中心，相似比為2:3．若ABC

的周長為4，則DEF的周長是（）

A．4B．6C．9D．16

例2（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC和DEF是以點O為位似中心的位似圖形．若

OA:AD2:3，則ABC與DEF的周長比是_________．

例3（2021·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，

把小正方形的頂點叫做格點，O為平面直角坐標(biāo)系的原點，矩形OABC的4個頂點均在格點上，連接對角

線OB．

（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點O為位似中心，把OAB縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似

1

圖形與OAB的相似比等于；

2

（2）將OAB以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到OA1B1，作出OA1B1，并求出線段OB旋轉(zhuǎn)過程中所

形成扇形的周長．

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知識點、位似圖形

兩個相似圖形，如果對應(yīng)點的連線交于同一點，對應(yīng)邊平行或在同一直線上，像這樣的

定義

兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比．

性質(zhì)位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比都等于相似比．

（1）確定位似中心；

畫位似圖形（2）連結(jié)原圖形中關(guān)鍵點與位似中心的線段（或延長線）；

的步驟（3）按相似比進(jìn)行取點；

（4）順次連接各點，所得的圖形就是所求的圖形。

【變式1】（2021·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，ABO縮小后變?yōu)椤鰽BO，其中A、B的

對應(yīng)點分別為A、B，點A、B、A、B均在圖中格點上，若線段AB上有一點P(m,n)，則點P在AB上

的對應(yīng)點P的坐標(biāo)為（）

mnmn

A．,nB．m,C．,D．m,n

2222

1

【變式2】（2022·內(nèi)蒙古包頭·?？既＃┤鐖D，直線yx1與x軸交于點A，與y軸交于點B，BOC與

2

BOC是以點A為位似中心的位似圖形，且相似比為1∶3，則點B的對應(yīng)點B的坐標(biāo)為()

333

A．(8,3)B．4,C．4,或2,D．(8,3)或(4,3)

222

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【變式3】（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，ABC頂點A的坐標(biāo)為2,3，若以原點O為

位似中心，畫ABC的位似圖形ABC，使ABC與ABC的相似比等于2:1，則點A的坐標(biāo)為________．

【變式4】（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）如圖，已知ABC和△EDC是以點C為位似中心的位似圖形，且點

C與點D在直線AB同側(cè)ABC和△EDC的周長之比為1:2，點C的坐標(biāo)為(-2，0)，若點A的坐標(biāo)為(-4，

3)，則點E的坐標(biāo)為______．

【變式5】（2023·廣東深圳·校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC各頂點的坐標(biāo)分別是

A(4,8),B(4,4),C(10,4)，△A1B1C1與ABC關(guān)于原點O位似，A,B,C的對應(yīng)點分別為A1,B1,C1，其中B1的坐

標(biāo)是(2,2)．

(1)△A1B1C1和ABC的相似比是；

(2)請畫出△A1B1C1；

(3)BC邊上有一點M(a,b)，在B1C1邊上與點M對應(yīng)點的坐標(biāo)是；

(4)△A1B1C1的面積是．

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核心考點六相似三角形的實際應(yīng)用

例1（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法

步驟：

第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；

第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；

第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時看到被測物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距

離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；

第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測，點

的距離值．

如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點的

距離約為（）

A．40米B．60米C．80米D．100米

例2（2021·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）學(xué)習(xí)投影后，小華利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度．如

圖，身高1.7m的小明從路燈燈泡A的正下方點B處，沿著平直的道路走8m到達(dá)點D處，測得影子DE長

是2m，則路燈燈泡A離地面的高度AB為_______________m．

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例3（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇

北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點A處測得阿育

王塔最高點C的仰角CAE45，再沿正對阿育王塔方向前進(jìn)至B處測得最高點C的仰角CBE53，

AB10m；小亮在點G處豎立標(biāo)桿FG，小亮的所在位置點D、標(biāo)桿頂F、最高點C在一條直線上，F(xiàn)G1.5m，

GD2m．（注：結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin530.799，cos530.602，tan531.327）

(1)求阿育王塔的高度CE；

(2)求小亮與阿育王塔之間的距離ED．

數(shù)學(xué)來源于生活，相似三角形之所以重要，不僅僅因為它是解決線段的數(shù)量關(guān)系、線段的長度、圖形的面

積等有關(guān)問題的重要工具；它還能解決我們生活中的實際問題。

類型一，測量不可以到達(dá)對岸的河的寬度。

類型二，測量底部不可以到達(dá)的物體的高度。

類型三，利用投影、平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似形求解問題。

類型四，測量底部可以到達(dá)的物體的高度。

類型五：與三角形、四邊形、圓、函數(shù)等綜合考查；

對于相似形的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從實際問題中抽象出相似三角形，

進(jìn)而利用對應(yīng)邊成比例列方程解題。

【變式1】（2023·山東棗莊·?？寄M預(yù)測）如圖，一棵大樹AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，

量得CD6米，BC21米，CD與地面成30°角，且此時測得1米桿的影長為3米，則大樹的高度為（）

A．(93)米B．33米C．（3033）米D．（103）米

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【變式2】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，九年級（1）班課外活動小組利用平面鏡測量學(xué)校旗桿的高度，

在觀測員與旗桿AB之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個標(biāo)記E，當(dāng)觀測到旗桿頂端在鏡子中的像

與鏡子上的標(biāo)記重合時，測得觀測員的眼睛到地面的高度CD為1.6m，觀測員到標(biāo)記E的距離CE為2m，

旗桿底部到標(biāo)記E的距離AE為16m，則旗桿AB的高度約是（）

A．22.5mB．20mC．14.4mD．12.8m

【變式3】（2022·江蘇鹽城·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）?？寄M預(yù)測）如

圖，為了測量旗桿的高度，某綜合實踐小組設(shè)計了以下方案：用2.5m長的竹竿做測量工具，移動竹竿，保

持竹竿與旗桿平行，使竹竿、旗桿的頂端的影子恰好落在地面的同一點．此時，竹竿與這一點相距5m、與

旗桿相距20m，則旗桿的高度為_____m．

【變式4】（2022·貴州畢節(jié)·二模）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸岸邊每隔5m有一棵樹，

小華站在離南岸20m的點P處看北岸，在兩棵樹之間的空隙中，恰好看見一條龍舟的龍頭和龍尾（假設(shè)龍

頭、龍尾和小華的眼睛位于同一水平平面內(nèi)），已知龍舟的長為18.5m，若龍舟行駛在河的中心，且龍舟與

河岸平行，則河寬為_______m．

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【變式5】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的方法，至今仍有借

鑒意義．如圖1，身高1.5m的小王晚上在路燈燈柱AH下散步，他想通過測量自己的影長來估計路燈的高度，

具體做法如下：先從路燈底部A向東走20步到M處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點落在點P處，作好記號后，繼

續(xù)沿剛才自己的影子走4步恰好到達(dá)點P處，此時影子的端點在點Q處，已知小王和燈柱的底端在同一水

平線上，小王的步間距保持一致．

(1)請在圖中畫出路燈O和影子端點Q的位置．

(2)估計路燈AO的高，并求影長PQ的步數(shù)．

(3)無論點光源還是視線，其本質(zhì)是相同的，日常生活中我們也可以直接利用視線解決問題．如圖2，小明

同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且

邊DE與點B在同一直線上．測得DF0.5m，EF0.3m，CD10m，小明眼睛到地面的距離為1.5m，則

樹高AB為______m．

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【新題速遞】

1．（2022秋·四川遂寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的四個頂點分別在直線l3，l4，l2，l1上，若直

線l4∥l3∥l2∥l1且間距相等，AB4，BC3，則tan的值為（）

3115

A．B．C．5D．

83215

1

2．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙壭Ｂ?lián)考期末）如圖，在YABCD中，延長CD到點E，使DECD，BE交AD

2

于點F，則DEF和ABF的面積比為（）

A．1:4B．1:2C．1:3D．2:3

3．（2023·四川宜賓·?？寄M預(yù)測）如圖，ABE和CDE是以點E為位似中心的位似圖形，點E的坐標(biāo)為

1，0，若點A、C、D的坐標(biāo)分別是3，4、2，2、3，1．則點D的對應(yīng)點B的坐標(biāo)是（）

A．4，2B．4，1C．5，2D．5，1

4．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，ABBD，點E，F(xiàn)分別是邊AB,AD上任意點（不

與端點重合），且AEDF，連接BF,DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H，下列結(jié)論：①△AED≌△DFB；

②BGE的大小為定值；③CG與BD一定不垂直；④若AF2DF，則BG6GF，其中正確的結(jié)論有（）

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A．①②B．①②④C．③④D．①③④

5．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，ABC中，BAC30，ACB90，且VABC∽VABC，連接CC，

將CC沿CB方向平移至EB，連接BE，若CC6，則BE的長為（）

A．1B．2C．3D．2

6．（2022秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，邊AC，AB上的中線BE，

CD相交于點F，若AC6，BC4，則BF（）

105413

A．B．C．D．13

323

7．（2023秋·山東德州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點嗎，AEEF，

則下列結(jié)論正確的有（）

1

①BAE30；②CE2ABCF；③CFCD；④ABE∽AEF

4

A．1個B．2個C．3個D．4個

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8．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，ABBC，對角線AC平分BAD，BAD120，

P為線段AC上一點，PD∥AB，連接BP并延長交CD于E，連接AE．下列結(jié)論錯誤的是（）

A．BED120B．PAPCPBPE

C．△BPC△DEPD．ABEDCA

y2xy

9．（2023秋·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）若，則__________．

x7x

10．（2023秋·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB6，BC8，點E在邊AD上，CE與

BD相交于點F．若AE2，則BF的長的________．

11．（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)學(xué)實踐課上，老師布置任務(wù)如下：讓小明AB站在B點

處去觀測10m外的位于D點處的一棵大樹CD，所用工具為一個平面鏡P和必要的長度測量工具（點B，

P，D在同一條直線上）．已知小明眼睛距地面1.6m，大樹高6.4m，當(dāng)小明與平面鏡相距______m時，恰好

能從平面鏡里觀測到大樹的頂端．

12．（2023·廣東河源·校聯(lián)考一模）如圖，ABC與△AED都是等腰三角形，ABCAED120，點P

為AC邊上一點，且PAm，PB與BA所夾銳角為PBA，點E為PB上一動點，求點E自點B運動至

點P時，點D所經(jīng)過的路徑長_____．（用含β與m的式子表示）

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13．（2022秋·山西大同·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，D是AB的中點，連接CD，

4

過點B作CD