專題16 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（5大考點(diǎn)）（解析版）

第四部分三角形

專題16銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（5大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一特殊角的三角函數(shù)值及其計(jì)算

核心考點(diǎn)二由三角函數(shù)值求銳角

核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)三銳角三角函數(shù)的增減性

核心考點(diǎn)四解直角三角形及其應(yīng)用

核心考點(diǎn)五三角函數(shù)的綜合

新題速遞

核心考點(diǎn)一特殊角的三角函數(shù)值及其運(yùn)算

例1（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，若將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B的位置，連接BB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BB，交BB'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)為

（）

24

A．31B．232C．3D．3

33

【答案】A

【分析】利用已知條件求得CBFEDF30,設(shè)EFx，將DF,FC,BF都表示出含有x的代數(shù)式，利用

tanFBC的函數(shù)值求得x，繼而求得BE的值

【詳解】

第1頁(yè)共77頁(yè).

設(shè)BE,CD交于點(diǎn)F,

由題意：ABAB,BAB60

ABB是等邊三角形

ABB60

四邊形ABCD為正方形

ABCC90

∴∠CBF=90°-60°=30°，

DE⊥BB

E90

又DFECFB

EDFCBF30

設(shè)EFx

EFEF

DF2EF2x

則sinEDF1

2

FCDCDF22x

FC

BF=2FC44x

sinCBF

BEBFEF43x

BEBEBB43x223x

FC3

tanCBF

BC3

22x3

23

3

解得：x1

3

3

BE23(1)31

3

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的銳角三角函

數(shù)值，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義及特殊三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．

例2．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）定義一種運(yùn)算；sin()sincoscossin，

sin()sincoscossin．例如：當(dāng)45，30時(shí)，

第2頁(yè)共77頁(yè).

232162

sin4530，則sin15的值為_(kāi)______．

22224

【答案】62

4

【分析】根據(jù)sin()sincoscossin代入進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：sin15sin(4530)

=sin45cos30cos45sin30

2321

=

2222

62

=

44

62

=．

4

故答案為：62．

4

【點(diǎn)睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．

22(1)10|6|33

例3（2022·山東濰坊·中考真題）（1）在計(jì)算時(shí)，小亮的計(jì)算過(guò)程如下：

3tan30364(2)2(2)0

22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

4(1)627

334220

41627

316

2

小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計(jì)算有誤，幫助小亮找出了3個(gè)錯(cuò)誤．請(qǐng)你找出其他錯(cuò)誤，參照①～③的格式寫(xiě)在橫線上，

并依次標(biāo)注序號(hào)：

10

①224；②(1)1；③66；

____________________________________________________________________________．

請(qǐng)寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程．

21x23x

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是方程x22x30的根．

x3xx26x9

3111

【答案】（1）④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1；28；（2），．

34x32

【分析】（1）根據(jù)乘方、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的法則計(jì)算即

可；

第3頁(yè)共77頁(yè).

12

（2）先把括號(hào)內(nèi)通分，接著約分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x-2x-3=0得到x1=3，x2=-1，

x3

則利用分式有意義的條件把x=-1代入計(jì)算即可．

31

【詳解】（1）其他錯(cuò)誤，有：④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1，

34

正確的計(jì)算過(guò)程：

22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

41627

31

341

34

41627

111

=28；

21x23x

（2）

x3xx26x9

2xx3x(x3)

x(x3)(x3)2

x3x(x3)

x(x3)(x3)2

1

=，

x3

∵x2-2x-3=0，

∴（x-3）（x+1）=0，

x-3=0或x+1=0，

∴x1=3，x2=-1，

∵x=3分式?jīng)]有意義，

∴x的值為-1，

11

當(dāng)x=-1時(shí)，原式==．

132

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元二次方程---因式分解法，分式的化簡(jiǎn)求值．也考查了特殊角的三

角函數(shù)值、立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪．

知識(shí)點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值

第4頁(yè)共77頁(yè).

1.圖表記憶

三角函數(shù)圖形記憶

30°45°60°

123

sin

222

1

cos32

222

3

tan13

3

2.規(guī)律記憶

30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次為1，2，3；

30°，45°，60°角的余弦值分別是60°，45°，30°角的正弦值。

【變式1】（2022·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AB＞BC，以點(diǎn)A為圓心、AB

長(zhǎng)為半徑的弧BE與DC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，則由BC、CE和弧BE圍成的陰影部分圖形的面

積是（）

88

A．63B．83C．633D．833

33

【答案】A

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB=CD=AE=4，∠ADC=90°，結(jié)合中點(diǎn)及特殊角的三角函數(shù)值與勾股定理得

22

出∠DAE=30°，AD=AEDE23，∠BAE=60°，結(jié)合圖形得出S陰影S矩形ABCDSADES扇形ABE，代入

求解即可．

第5頁(yè)共77頁(yè).

【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB=CD=AE=4，∠ADC=90°

∵E為CD中點(diǎn)，

∴CE=DE=2，

在Rt?ADE中，

DE1

sinDAE，

AE2

∴∠DAE=30°，AD=AE2DE223，

∴∠BAE=60°，

S陰影S矩形ABCDSADES扇形ABE

16042

AB·ADAD·DE

2360

18

423232

23

8

63，

3

故選：A．

【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形的性質(zhì)，特殊角的三角形函數(shù)值，勾股定理，求不規(guī)則圖形的面積等，理解題

意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．

【變式2】（2022·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖1，在ABC中，ABC60，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P

從ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿ABD的路徑以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D．線段DP的長(zhǎng)度

y隨時(shí)間x變化的關(guān)系圖象如圖2所示，點(diǎn)N是曲線部分的最低點(diǎn)，則ABC的面積為（）

163

A．4B．43C．8D．

3

【答案】D

第6頁(yè)共77頁(yè).

【分析】由函數(shù)圖象可知AD=4，當(dāng)DP⊥AB時(shí)，AP=23,此時(shí)有DP長(zhǎng)的最小值，由勾股定理可以求出

DP的長(zhǎng)度，進(jìn)而結(jié)合∠B=60°求得BP，即可求出△ABD的面積，然后利用點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，得到

S△ABC2S△ABD．

【詳解】解：過(guò)D作DP⊥AB于P

由函數(shù)圖像可得，AD=4，當(dāng)DP⊥AB時(shí)，AP=23,此時(shí)有DP長(zhǎng)的最小值，

∴DPAD2AP242(23)22

∵ABC60

DP223

∴BP

tan6033

83

∴ABAPBP

3

118383

∴SDPAB2

ABD2233

∵點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，

163

∴S2S

ABCABD3

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短、勾股定理、特殊角度的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是通過(guò)函數(shù)圖象得到當(dāng)

DP⊥AB時(shí)，AP=23．

2

31

【變式3】（2020·四川自貢·?？家荒＃┰贏BC中，若sinAcosB0，A，B都是銳角，

22

則ABC是______三角形．

【答案】等邊

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出∠A和∠B，繼而可判斷ABC的形狀．

2

31

【詳解】解：∵sinAcosB0，

22

第7頁(yè)共77頁(yè).

2

31

∴sinA0，cosB0，

22

31

∴sinA，cosB，

22

∴∠A=60°，∠B=60°，

∴ABC是等邊三角形．

故答案為：等邊．

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷，解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三

角函數(shù)值．

【變式4】（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）如圖，將一個(gè)矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0，

0)，點(diǎn)B(23，2)．D是邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥OB交OC于點(diǎn)E．將該紙片沿DE

折疊，得點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′．當(dāng)點(diǎn)C′落在OB上時(shí)，點(diǎn)C′的坐標(biāo)為_(kāi)_______．

31

【答案】(,)

22

1

【分析】根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求出AB、OB，得到ABOB，所以AOB30，BOC60，再利用折疊與

2

1

平行的性質(zhì)，證明△OEC′是等邊三角形，OE=CD=AB，然后可利用三角函數(shù)求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)．

2

【詳解】∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(23，2)，

∴AB=2，OA=23，

2

∴OB22234

1

∴ABOB

2

∴AOB30，BOC60

∵C′是C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)

∴CEDCED，EC=EC′

∵DE∥OB

∴CEDEOC=60°

第8頁(yè)共77頁(yè).

∴∠OEC′=180°-2×60°=60°

∴△OEC′是等邊三角形

11

∴OE=EC=EC′=AB=11

22

31

∴C′橫坐標(biāo)=1sin60，縱坐標(biāo)=1sin30

22

31

∴C′坐標(biāo)為,

22

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形，熟練運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

1

【變式5】．（2021·新疆烏魯木齊·?？既＃┯?jì)算：()2tan452cos30|13|(20212021)0.

2

【答案】6

【分析】利用有理數(shù)的乘方法則，絕對(duì)值的意義，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪的意義化簡(jiǎn)計(jì)算即可．

13

【詳解】解：原式=()22311

22

=43311

=6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，有理數(shù)的乘方法則，絕對(duì)值的意義，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)

冪的意義，正確使用上述法則進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)二由三角函數(shù)值求銳角

例1（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，AB6，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓與邊BC

相切于點(diǎn)D，與AC，AB分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)G，點(diǎn)F是優(yōu)弧GE上一點(diǎn)，CDE18，則GFE的度數(shù)是

（）

A．50°B．48°C．45°D．36°

【答案】B

第9頁(yè)共77頁(yè).

【分析】連接AD，由切線性質(zhì)可得∠ADB=∠ADC=90°，根據(jù)AB=2AD及銳角的三角函數(shù)可求得∠BAD=60°，

易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，則∠GAC=96°，根據(jù)圓周角定理即可求得∠GFE的度數(shù)．

【詳解】解：連接AD，則AD=AG=3，

∵BC與圓A相切于點(diǎn)D，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

AD1

在Rt△ADB中，AB=6，則cos∠BAD==，

AB2

∴∠BAD=60°，

∵∠CDE=18°，

∴∠ADE=90°﹣18°=72°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=72°，

∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，

∴∠GAC=36°+60°=96°，

1

∴∠GFE=∠GAC=48°，

2

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查切線性質(zhì)、銳角的三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、圓周角定理，

熟練掌握切線性質(zhì)和圓周角定理，利用特殊角的三角函數(shù)值求得∠BAD=60°是解答的關(guān)鍵．

例2．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB1，BC2，以B為圓心，BC的長(zhǎng)為

半徑畫(huà)弧，交AD于點(diǎn)E．則圖中陰影部分的面積為_(kāi)________．（結(jié)果保留π）

第10頁(yè)共77頁(yè).

π

【答案】

3

【分析】先根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值，求出ABE，進(jìn)而求出EBC，再根據(jù)扇形的面積公式求解即

可．

【詳解】解：∵矩形ABCD，

AABC90，

以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半輕畫(huà)弧，交AD于點(diǎn)E，BC2，

BEBC2，

在RtABE中，AB1，

AB1

cosABE，

BE2

ABE60，

EBC906030，

30π22π

S陰影．

3603

π

故答案為：．

3

【點(diǎn)睛】本題考查了由特殊角的三角函數(shù)值求角度數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，綜合掌握以上知

識(shí)點(diǎn)并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

例3（2021·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD中，BC3CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD、BC上的

動(dòng)點(diǎn)，且AECF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，點(diǎn)D落在點(diǎn)H處．

（1）如圖1，當(dāng)EH與線段BC交于點(diǎn)P時(shí)，求證：PEPF；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，GH交AB于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)M在線段EF的垂直平分線上；

（3）當(dāng)AB5時(shí)，在點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)到AD中點(diǎn)的過(guò)程中，計(jì)算出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)．

10

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）．

3

【分析】（1）分別根據(jù)平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)即可證得∠DEF＝∠EFB，∠DEF＝∠HEF，由此等量

第11頁(yè)共77頁(yè).

代換可得∠HEF＝∠EFB，進(jìn)而可得PE＝PF；

（2）連接PM，ME，MF，先證RtPHM≌RtPBM（HL），可得∠EPM＝∠FPM，再證EPM≌FPM

（SAS），由此即可得證；

1

（3）連接AC，交EF于點(diǎn)O，連接OG，先證明EAO≌FCO（AAS），由此可得OC＝AC＝5，進(jìn)而

2

根據(jù)折疊可得OG＝OC＝5，由此得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，再分別找到點(diǎn)G的起始點(diǎn)和終點(diǎn)便能求得

答案．

【詳解】（1）證明：∵在矩形ABCD中，

∴AD//BC，AB＝CD；

∴∠DEF＝∠EFB，

∵折疊，

∴∠DEF＝∠HEF，

∴∠HEF＝∠EFB，

∴PE＝PF；

（2）證明：連接PM，ME，MF，

∵在矩形ABCD中，

∴AD＝BC，∠D＝∠ABC＝∠PBA＝90°，

又∵AE＝CF，

∴AD－AE＝BC－CF，

即：DE＝BF，

∵折疊，

∴DE＝HE，∠D＝∠EHM＝∠PHM＝90°，

∴BF＝HE，∠PBA＝∠PHM＝90°，

第12頁(yè)共77頁(yè).

又∵由（1）得：PE＝PF，

∴PE－HE＝PF－BF，

即：PH＝PB，

在RtPHM與RtPBM中，

PHPB

，

PMPM

∴RtPHM≌RtPBM（HL），

∴∠EPM＝∠FPM，

在EPM與FPM中，

PEPF

EPMFPM，

PMPM

∴EPM≌FPM（SAS），

∴ME＝MF，

∴點(diǎn)M在線段EF的垂直平分線上；

（3）解：如圖，連接AC，交EF于點(diǎn)O，連接OG，

∵AB＝CD＝5，BC3CD，

∴BC＝53，

∴在RtABC中，AC＝AB2BC2＝10，

∵AD//BC，

∴∠EAO＝∠FCO，

在EAO與FCO中，

第13頁(yè)共77頁(yè).

AECF

EAOFCO，

AOECOF

∴EAO≌FCO（AAS），

1

∴OA＝OC＝AC＝5，

2

又∵折疊，

∴OG＝OC＝5，

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖所示，此時(shí)點(diǎn)F，點(diǎn)G均與點(diǎn)C重合，

當(dāng)點(diǎn)E與AD的中點(diǎn)重合時(shí)，如圖所示，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合，

∵O為定點(diǎn)，OG＝5為定值，

∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路線為以點(diǎn)O為圓心，5為半徑的圓弧，且圓心角為∠BOC，

BC

在RtABC中，tan∠BAC＝＝3，

AB

∴∠BAC＝60°，

∵OA＝OB＝OC＝OG，

∴點(diǎn)A、B、C、G在以點(diǎn)O為圓心，5為半徑的圓上，

∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，

120510

∴BC的長(zhǎng)為＝，

1803

第14頁(yè)共77頁(yè).

10

∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為．

3

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、圓的相關(guān)概念及性質(zhì)，弧長(zhǎng)公

式的應(yīng)用，第（3）問(wèn)能夠發(fā)現(xiàn)OG＝5是解決本題的關(guān)鍵．

【變式1】（2022·山東濱州·統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為6的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧BC

1

上一點(diǎn)，sinD=,則BC的長(zhǎng)為（）

2

79

A．63B．43C．3D．3

32

【答案】A

【分析】設(shè)BC與OA交于E點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，得到AC=AB，繼而得到∠COA=∠AOB，

1

根據(jù)sinD，得出銳角∠D=30°，再同一段弧其所對(duì)圓心角是其所對(duì)應(yīng)圓周角的兩倍，得到∠COA=2∠D，

2

∠COA=60°=∠AOB，再得到∠OCB=∠OBC=30°，因?yàn)椤螼EC=180°-∠OCB-∠COA=90°，可知△OEC是直

角三角形，利用特殊角即可求出CE，再同理求出BE，即可求出BC．

【詳解】設(shè)BC與OA交于E點(diǎn)，

∵點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，

∴AC=AB，

∴圓心角∠COA=∠AOB，

第15頁(yè)共77頁(yè).

1

∵sinD，

2

∴銳角∠D=30°，

∵同一段弧其所對(duì)圓心角是其所對(duì)應(yīng)圓周角的兩倍，即∠COA=2∠D，

∴∠COA=60°=∠AOB，

又∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC=30°，

∴∠OEC=180°-∠OCB-∠COA=90°，即△OEC是直角三角形，

∵OC=6，∠OCB=∠OBC=30°，

3

∴CE=OC=33，

2

同理可求出BE=33，

∴BC=CE+EB=63，

故選：A．

1

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、圓心角與圓周角的關(guān)系、解直角三角形等知識(shí)．依據(jù)sinD得到

2

∠D=30°再得到∠COA=2∠D，∠COA=60°=∠AOB是解答本題的關(guān)鍵．

【變式2】（2022·山東·統(tǒng)考二模）如圖，已知在矩形ABCD中，AB1,BC3，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BP，點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)為C1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C1也隨之運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)D，則線段CC1掃過(guò)的區(qū)域的面積是（）

3333

A．B．C．D．2

42

【答案】B

【分析】先判斷出點(diǎn)Q在以BC為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，再判斷出點(diǎn)C1在以B為圓心，BC為直徑的圓弧上

運(yùn)動(dòng)，找到當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)C1運(yùn)動(dòng)的位置，利用扇形的面積公式及三角形

的面積公式求解即可．

【詳解】解：設(shè)BP與CC1相交于Q，則∠BQC=90°，

第16頁(yè)共77頁(yè).

∴當(dāng)點(diǎn)P在線段AD運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在以BC為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，

延長(zhǎng)CB到E，使BE=BC，連接EC，

∵C、C1關(guān)于PB對(duì)稱，

∴∠EC1C=∠BQC=90°，

∴點(diǎn)C1在以B為圓心，BC為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)C1與點(diǎn)E重合，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)C1與點(diǎn)F重合，

PCAB13

此時(shí)，tanPBC，

BCBC33

∴∠PBC=30°，

133

∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=BC，BQ=3CQ，

222

13333

∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，SCCBQ，

BCF21224

2

線段掃過(guò)的區(qū)域的面積是120333．

CC1S

360BCF4

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)以及扇形面積公式等

知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

第17頁(yè)共77頁(yè).

【變式3】（2021·貴州遵義·統(tǒng)考一模）在綜合實(shí)踐課上，某學(xué)習(xí)小組要測(cè)量塔的高度，在測(cè)量過(guò)程中，結(jié)

合圖形進(jìn)行了操作（如圖所示）．在塔AB前的平地上選擇一點(diǎn)C，測(cè)出塔頂?shù)难鼋菫?0°，從C點(diǎn)向塔底

B走80m到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)出塔頂?shù)难鼋菫?5°，那么塔AB的高為_(kāi)___________m（計(jì)算結(jié)果精確到0.1m，參

考數(shù)據(jù)：21.41，31.73）．

【答案】109.2

ABAB

【分析】在Rt△ABD中，BD，在Rt△ABC中，BC，再根據(jù)CD=BC-BD=80即可

tanADBtanACB

求解．

【詳解】根據(jù)題意可知AB⊥BC，

AB

∴在Rt△ABD中，BD，

tanADB

AB

在Rt△ABC中，BC，

tanACB

∵∠ADB=45°，∠ACB=30°，

ABABABAB

∴BDAB，BC3AB，

tan∠ADBtan∠45otan∠ACBtan∠30o

∵CD=80，

∴CD=BC-BD=3ABAB80，

80

∴AB40340401.7340109.2（m），

31

故塔高109.2米，

故答案為：109.2．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角的含義并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．

【變式4】．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，連結(jié)AO，過(guò)點(diǎn)A

作ABx軸于點(diǎn)B，AB3，OB1，把ABO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120后，得到A1B1O，則點(diǎn)A1的坐標(biāo)

為_(kāi)_____．

第18頁(yè)共77頁(yè).

【答案】(2,0)

【分析】根據(jù)勾股定理可得OA，根據(jù)特殊三角比求出∠AOB=60°，可知△ABO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120后

OA的對(duì)應(yīng)邊OA1位于x軸上，繼而可得答案．

【詳解】解：∵ABx軸于點(diǎn)B，AB3，OB1，

AB2

∴tanAOB3，OAOB2AB21232

OB

∴AOB60，

∴把ABO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120后，得到如下圖A1B1O，

∵OA2，

∴OA1OA2，

∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2,0)，

故答案為：（-2，0）

【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換下坐標(biāo)與圖形的變化，解直角三角形得出OA的長(zhǎng)是解題的根本，根據(jù)△ABO

繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后OA的對(duì)應(yīng)邊OA1位于x軸上是解題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·重慶·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30方向，距離小島20

千米的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15的方向航行．

第19頁(yè)共77頁(yè).

(1)漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近（結(jié)果保留根號(hào)）？

(2)漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行106千米到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島

B上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從B處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少．（結(jié)

果精確到1千米，參考數(shù)據(jù)21.41,31.73,62.45）

【答案】(1)102km；

(2)從B處沿南偏東45出發(fā)，最短行程202km．

【分析】（1）過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線BD交AC于點(diǎn)D，則AD為所求，根據(jù)已知條件得到BAD45即可解

答；

（2）根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值得到C30，DBC60，從而求出BC的長(zhǎng)度，再求出DBE的度

數(shù)，即可得到EBC的度數(shù)．

【詳解】（1）解：過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線BD交AC于點(diǎn)D，

∵垂線段最短，AC上的D點(diǎn)距離B點(diǎn)最近，AD即為所求，

由題意可知：BAF30，CAF15，

2

∴BAD45,ADBDABsin4520102km，

2

∴漁船航行102km時(shí)，距離小島B最近．

第20頁(yè)共77頁(yè).

BD1023

（2）解：在RtBDC中，tanC，

DC1063

C30，DBC60，

BD

BC202km，

sin30

∵ABD45，ABE903060，

DBE15，

EBCDBCDBE45o．

答：從B處沿南偏東45出發(fā)，最短行程202km．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問(wèn)題，結(jié)合航海中的實(shí)際問(wèn)題，將解直角三角形的相

關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．

核心考點(diǎn)三銳角三角函數(shù)的增減性

例1（2020·湖南婁底·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個(gè)杠桿，動(dòng)力臂L1Lcos，阻力臂L2lcos，

如果動(dòng)力F的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力變化情況是（）

A．越來(lái)越小B．不變C．越來(lái)越大D．無(wú)法確定

第21頁(yè)共77頁(yè).

【答案】A

【分析】根據(jù)杠桿原理及cos的值隨著的減小而增大結(jié)合反比例函數(shù)的增減性即可求得答案．

【詳解】解：∵動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂，

∴當(dāng)阻力及阻力臂不變時(shí)，動(dòng)力×動(dòng)力臂為定值，且定值＞0，

∴動(dòng)力隨著動(dòng)力臂的增大而減小，

∵杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的度數(shù)越來(lái)越小，此時(shí)cos的值越來(lái)越大，

又∵動(dòng)力臂L1Lcos，

∴此時(shí)動(dòng)力臂也越來(lái)越大，

∴此時(shí)的動(dòng)力越來(lái)越小，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解決本

題的關(guān)鍵．

例2（2022·陜西西安·交大附中分校校考三模）如圖，在矩形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E為AD

上一點(diǎn)，若AC45，OE2，則AB的最大值為_(kāi)_________．

【答案】4

ABABOF

【分析】設(shè)ACB，則OAE，根據(jù)sin，sin，根據(jù)正弦的增減性可得，當(dāng)OF

AC45AO

最大值，AB取得最大值，進(jìn)而即可求解．

【詳解】設(shè)ACB，則OAE，

ABAB

則sin

AC45

OF

過(guò)點(diǎn)OFAD，則sin

AO

OE2，當(dāng)E點(diǎn)與F點(diǎn)重合時(shí)，OF取得最大值，此時(shí)最大，則sin最大，即AB取得最大值，

2AB

此時(shí)，AB4

2545

第22頁(yè)共77頁(yè).

AB的最大值為4

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正弦的增減性，掌握三角函數(shù)的關(guān)系，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例3（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖是某公園的一臺(tái)滑梯，滑梯著地點(diǎn)B與梯架之間的距離BC4m．

（1）現(xiàn)在某一時(shí)刻測(cè)得身高1.8m的小明爸爸在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為0.9m，滑梯最高處A在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為1m，

求滑梯的高AC；

（2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（ABC）不超過(guò)30°屬于安全范圍，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這架滑梯的傾斜角是否符

合安全要求？

【答案】（1）2米；（2）符合

【分析】（1）利用影長(zhǎng)物高成比例求解即可；

（2）先求出銳角三角函數(shù)值，再利用銳角三角函數(shù)值求出角的范圍即可．

AC1.8

【詳解】解：（1），

10.9

AC2m，

答：滑梯高AC為2米；

（2）∵AC=2m,BC=4m，

AC213

∴tanABCtan30，

BC423

∵正切值隨著角的增大函數(shù)值增大，

ABC30，

這架滑梯的傾斜角符合安全要求．

【點(diǎn)睛】本題考查影長(zhǎng)物高成比例性質(zhì)，正切三角函數(shù)的定義，及正切函數(shù)的增減性，掌握影長(zhǎng)物高成比

例性質(zhì)，正切三角函數(shù)的定義，及正切函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．

第23頁(yè)共77頁(yè).

1.三角函數(shù)值的變化規(guī)律

①當(dāng)角度A在0°—90°間變化時(shí)，正弦值和正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）

②當(dāng)角度A在0°—90°間變化時(shí)，余弦值和余切值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?/p>

【變式1】（2020·甘肅張掖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若090，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A．sin隨的增大而增大B．cos隨的減小而減小C．tan隨的增大而增大

D．0<sin<1

【答案】B

【分析】如圖，作半徑為1的O,CDEF，CD,EF均為直徑，BHOC,AGOC,A,B都在O上，利

用銳角三角函數(shù)的定義分析可得答案．

【詳解】解：如圖，作半徑為1的O,CDEF，CD,EF均為直徑，BHOC,AGOC,

A,B都在O上，

OAOB1,

BHAG

由sinBOHBH,sinAOGAG,

OBOA

顯然，BOH＜AOG，而B(niǎo)H＜AG，

所以當(dāng)090時(shí)，sin隨的增大而增大，故A正確；

同理可得：

第24頁(yè)共77頁(yè).

當(dāng)090時(shí)，cos隨的減小而增大，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)090時(shí)，tan隨的增大而增大，故C正確；

當(dāng)AOG，當(dāng)點(diǎn)A逐漸向F移動(dòng)，邊AG逐漸接近OA，

AG

sinsinAOG逐漸接近1.

OA

當(dāng)090時(shí)，0<sin<1，故D正確；

故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角的正弦，余弦，正切的增減性，掌握利用輔助圓理解銳角三角函數(shù)的增減性是

解題的關(guān)鍵．

【變式2】．（2022·上?！ば？寄M預(yù)測(cè)）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（）

13

A．0sinAB．0cosA

22

3

C．tanA1D．1cotA3

3

【答案】A

【分析】根據(jù)“正弦值隨著角度的增大而增大”解答即可．

【詳解】解：∵0°＜25°＜30°

1

∴0sin25

2

1

∴0sinA．

2

故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角形的增減性，當(dāng)角度在0°~90°間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或

減小）而增大（或減小）；②余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅虎壅兄惦S著角度的

增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?/p>

【變式3】（2020·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數(shù)定義為_(kāi)____，

寫(xiě)出sin70o、cos40o、cos50o的大小關(guān)系__________．

AC

【答案】cosA=sin70o＞cos40o＞cos50o

AB

【分析】根據(jù)余弦的定義即可確定答案；根據(jù)sin70°=cos20°且正弦隨角度的增大而增大，余弦隨角度的增

大而減小即可確定大小關(guān)系．

【詳解】解：∵直角三角形ABC中，角C為直角

∴BC為斜邊，AC為直角邊且為∠A的一邊

第25頁(yè)共77頁(yè).

AC

∴余弦的定義為cosA=；

AB

∵sin70°=cos20°且正弦在銳角范圍內(nèi)隨角度的增大而增大，余弦在銳角范圍內(nèi)隨角度的增大而減小

∴sin70o==cos20o＞cos40o，cos40o＞cos50o

∴sin70o＞cos40o＞cos50o．

AC

故答案為cosA=，sin70o＞cos40o＞cos50o．

AB

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)的定義和正弦、余弦函數(shù)的增減性，掌握正弦在銳角范圍內(nèi)為增函數(shù)

、余弦在銳角范圍內(nèi)為減函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A0,3，點(diǎn)O平分BC，BC23，

點(diǎn)E、D分別在BA、CA上運(yùn)動(dòng)，且AECD，連接CE、BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)F23,1，連接PF，則PFC

度數(shù)的最大值為_(kāi)_________．

【答案】30°##30度

【分析】根據(jù)已知條件證明△AEC≌△CDB，BPC120，求得點(diǎn)P的軌跡，延長(zhǎng)FC交y軸于點(diǎn)Q，以

Q為圓心，QC為半徑作圓，交y軸于點(diǎn)M，連接FM，過(guò)點(diǎn)QNFP，交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接

OB,OB,OP，根據(jù)正弦的增減性判斷當(dāng)PF與Q相切時(shí)候，PFC度數(shù)最大．

【詳解】點(diǎn)A0,3，點(diǎn)O平分BC，BC23，

OBOC3，

AOBC，

ABAC，

在RtAOC中，AO3,OC3，

AO3

tanACO3，

OC3

ACO60=BAC，

ABC是等邊三角形，

第26頁(yè)共77頁(yè).

ACBC，

在△AEC與△CDB中，

AECD

EACDCB，

ACBC

AEC≌CDB，

ACEDBC，

ACEECB60，

DBCECBACEECB60，

BPC120，

延長(zhǎng)FC交y軸于點(diǎn)Q，以Q為圓心，QC為半徑作圓，交y軸于點(diǎn)M，連接FM，過(guò)點(diǎn)Q作QNFP，交

FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接OB,OP，如圖，

F23,1,C3,0，

設(shè)直線FC的解析式為ykxb，

23kb1

則，

3kb0

3

k

解的3，

b1

Q0,1，

OC

tanOQC3，

OQ

第27頁(yè)共77頁(yè).

OQC60，

BQC120，

優(yōu)弧BC=240，

BPC120，

P在Q上，

NQ

設(shè)CFP，則sin，

QF

NQ

QF為定值，sin隨著QN的增大而增大，即最大時(shí)，QN最大，

QF

當(dāng)QNQM取得最大值，

此時(shí)PF與O相切，

90OQF30，

即PFC度數(shù)的最大值為30．

故答案為：30．

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，正弦的增減性，求得點(diǎn)P的軌跡是解

題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知ABC和射線BD上一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），

且點(diǎn)P到BA、BC的距離為PE、PF．

(1)若EBP40，F(xiàn)BP20，PBm，試比較PE、PF的大?。?/p>

(2)若EBP，F(xiàn)BP，，都是銳角，且．試判斷PE、PF的大小，并給出證明．

【答案】(1)PEPF

(2)PEPF，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，分別表示出PE,PF，進(jìn)而根據(jù)角度比較函數(shù)值的大小即可求解；

（2）同（1）的方法，即可求解．

第28頁(yè)共77頁(yè).

PE

【詳解】（1）解：在Rt△BPE中，sinEBPsin40，

BP

PEBPsin40，

PF

在RtBPF中，sinFBP