專(zhuān)題17 平行四邊形與多邊形（6大考點(diǎn)）（原卷版）

第五部分四邊形

專(zhuān)題17平行四邊形與多邊形（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一平行四邊形的判定

核心考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)

核心考點(diǎn)三平行四邊形中的折疊問(wèn)題

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

核心考點(diǎn)五平行四邊形的綜合性問(wèn)題

核心考點(diǎn)六多邊形及其性質(zhì)

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核心考點(diǎn)一平行四邊形的判定

例1（2022·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）1.如圖，在?ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE＝3，連接

DE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥DE，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為（）

A．5B．4C．3D．2

例2（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四

邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為_(kāi)__________（寫(xiě)一個(gè)即可）．

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例3（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BEAC，DFAC，

垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且BEDF，ABDBDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

平行四邊形的判定定理：

1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

特別說(shuō)明：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四

邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.

（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫(huà)平行四邊形”的依據(jù).

【變式1】（2021·河北邯鄲·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且AE＝CF．求

證：DE＝BF．以下是排亂的證明過(guò)程：

①∵AE＝CF，∴BE＝FD；

②∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD；

③∴DE＝BF，

④∴四邊形EBFD是平行四邊形．

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證明步驟正確的順序是（）

A．①→②→③→④B．①→④→②→③C．②→①→④→③D．②→④→①→③

【變式2】（2021·山東青島·一模）如圖，將矩形ABCD沿BE，DF折疊，使點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A',C分別落

在對(duì)角線BD上，連接EF，交BD于點(diǎn)O．若AB＝6，AD＝8，則OE的長(zhǎng)度是（）

A．5B．10C．25D．210

k

【變式3】（2022·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，反比例函數(shù)y（k＞0）的圖象與直線AB交于點(diǎn)A(2，4)，

x

直線AB與x軸交于點(diǎn)B(4，0)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線BC，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，在平面內(nèi)存在點(diǎn)D，

使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是_____．

【變式4】（2022·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考一模）如圖，將邊長(zhǎng)為4的等邊ABC沿射線BC平移得到DEF，點(diǎn)M，

N分別為AC，DF的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，連接PA，PC．當(dāng)△APC為直角三角形時(shí)，BE_____．

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【變式5】（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)均在正方形ABCD內(nèi)部，

且BEEFFD2，EF90．

①求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

②求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；

（2）如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H均在正方形ABCD內(nèi)部，且BEEFFGGHHD2，

EFGH90，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

核心考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)

例1（2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）將一個(gè)三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，

∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數(shù)為（）

A．100°B．80°C．70°D．60°

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例2（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在YABCD中，CAAB，若B50，則CAD的度數(shù)是

______．

例3（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在YABCD中，BD是它的一條對(duì)角線，

(1)求證：△ABD≌△CDB；

(2)尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

(3)連接BE，若DBE25，求AEB的度數(shù)．

1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；

2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；

3．對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；

4．平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心；

特別說(shuō)明：（1）平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角

相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.

（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.

（3）利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問(wèn)題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三

邊的不等關(guān)系來(lái)解決.

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【變式1】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在YABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AEBC，垂足為E．若BC4，

C105，BDC45，則AE的長(zhǎng)為（）．

13

A．B．13C．23D．223

2

【變式2】（2022·安徽合肥·合肥38中校考模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，接EF、CF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

1

A．∠DCF＝∠BCDB．∠DFE＝3∠AEF

2

C．EF＝CFD．SBEC＝2SCEF

△△

【變式3】（2022·遼寧營(yíng)口·一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，BD2AB，以A為圓

1

心，AO長(zhǎng)為半徑作弧，交OB于點(diǎn)G，分別以O(shè)，G為圓心，大于OC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，

2

作射線AM交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，EO2，BG1，則AC_____．

【變式4】（2023·山東棗莊·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，E、F分別是YABCD的邊AB、CD上的點(diǎn)，AF與DE相

222

交于點(diǎn)P，BF與CE相交于點(diǎn)Q，若SAPD14cm，SBQC26cm，SABCD200cm，則陰影部分的面積

為_(kāi)_______cm2．

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【變式5】（2023·湖南衡陽(yáng)·?？家荒＃┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，ADAO，點(diǎn)

E為OA的中點(diǎn)，

(1)若DECD，CD6，AD=25，求DE的長(zhǎng)．

(2)證明：CD2DE．

核心考點(diǎn)三平行四邊形中的折疊問(wèn)題

例1（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在E處．若

156，242，則A的度數(shù)為()

A．108B．109C．110D．111

例2（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD，使得AD與BC重合，得到折痕EF，

把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM．連接MF，

若MFBM，AB6cm，則AD的長(zhǎng)是____________cm．

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例3（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐，問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①，

在YABCD中，BEAD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并

加以證明；

獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；

實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將YABCD沿著B(niǎo)F（F為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，

點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，連接DC'并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，請(qǐng)判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

問(wèn)題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將YABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，使

A'BCD于點(diǎn)H，折痕交AD于點(diǎn)M，連接A'M，交CD于點(diǎn)N．該小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此YABCD的

面積為20，邊長(zhǎng)AB5，BC25，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接

寫(xiě)出結(jié)果．

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（1）折疊的性質(zhì)

①重疊部分全等

②折痕是對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分.

（2）對(duì)稱(chēng)的定義（折疊是對(duì)稱(chēng)的一種特殊情況）

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，

這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn).軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形的特性是相同的，對(duì)應(yīng)

點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離都是相等的.

（3）認(rèn)真識(shí)別折疊前后的圖形是解題的關(guān)鍵.

【重點(diǎn)聚焦】

（1）折疊問(wèn)題通常涉及平行四邊形的性質(zhì)和判定、折疊的性質(zhì)、對(duì)角線的性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

（2）“利用折疊的性質(zhì)得到等邊等角“和”識(shí)別折疊前后的圖形“是解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵.

（3）審題時(shí)，應(yīng)養(yǎng)成良好的做題習(xí)慣：把已知條件的等邊關(guān)系、等角關(guān)系、角的度數(shù)等內(nèi)容均在圖形做好

標(biāo)記.

【變式1】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）在探究折疊問(wèn)題時(shí)，小華進(jìn)行了如下操作：如圖，F(xiàn)為直角梯形ABCD

邊AB的中點(diǎn)，將直角梯形紙片ABCD分別沿著EF，DE所在的直線對(duì)折，點(diǎn)B，C恰好與點(diǎn)G重合，點(diǎn)D，

G，F(xiàn)在同一直線上，若四邊形BCDF為平行四邊形，且AD6，則四邊形BEGF的面積是（）

33

A．63B．33C．23D．

2

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【變式2】（2022·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，將四邊形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使得點(diǎn)B落在

CD上的點(diǎn)Q處，折痕為AP．再將PCQ，ADQ分別沿PQ，AQ折疊，此時(shí)點(diǎn)C，D落在AP上的同一

AB

點(diǎn)R處．當(dāng)AD＝CP時(shí)，則的值△為（△）

QR

A．3B．23C．2D．2

【變式3】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，將ACD沿著AC所在的直線折疊得

到△ACE，AE交BC于點(diǎn)F，連接BE，若ABC60，ACB45，AC23，則BE的長(zhǎng)是______．

【變式4】（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠A＝45，AB33，點(diǎn)E為AD

邊上一動(dòng)點(diǎn)．將ABE沿直線BE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，再將BEA′沿直線A′B折疊，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

E′．當(dāng)點(diǎn)E′在BC△上方，且BE′與平行四邊形ABCD的一邊垂直時(shí)，△A′E′的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

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【變式5】（2020·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB10，AD16，A60，P是

射線AD上一點(diǎn)，連接PB，沿PB將APB折疊，得APB．

（1）如圖所示，當(dāng)DPA10時(shí)，APB_______度；

（2）如圖所示，當(dāng)PABC時(shí)，求線段PA的長(zhǎng)度；

（3）當(dāng)點(diǎn)P為AD中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F是邊AB上不與點(diǎn)A、B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將APF沿PF折疊，得到APF，

連接BA，求BAF周長(zhǎng)的最小值．

核心考點(diǎn)四平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

例1（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）

A．2B．3C．1.5D．5

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例2（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB5,AD10．若點(diǎn)E是邊AD上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EFAC且分別交對(duì)角線AC，直線BC于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，AFFEEC

的最小值為_(kāi)_______．

例3（2022·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝23，AB＝4，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)E，

F同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)

相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

2

(1)如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，設(shè)CE與

3

DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長(zhǎng)度的比值；

(2)如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為3個(gè)單位每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，ΔAEF的面積

為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？

1

(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探

3

究點(diǎn)E、F在什么位置能使EM＝HM．并說(shuō)明理由．

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動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決方法：1、點(diǎn)的平移；2、中點(diǎn)公式

當(dāng)記住兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的前提下，我們?cè)賮?lái)認(rèn)識(shí)下動(dòng)點(diǎn)形成的四邊形常見(jiàn)類(lèi)型，縱觀各省市的各類(lèi)型初中

數(shù)學(xué)考試來(lái)看，有三個(gè)類(lèi)型：（1）三定一動(dòng)，（2）兩定兩動(dòng)，（3）一定三動(dòng)。因?yàn)槿ㄒ苿?dòng)難度較小，所

以中考?jí)狠S題中出現(xiàn)的基本是兩定兩動(dòng)和一定三動(dòng)。

學(xué)校老師一般教的都是平移法，甚至有些學(xué)校都不講這類(lèi)壓軸題；但是平移法解決三定一動(dòng)可以勝任。

解決兩定一動(dòng)就會(huì)碰到困難，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)問(wèn)題大多需要分類(lèi)討論，也就是可能存在多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要把存在的點(diǎn)

找全這是非常有難度的，需要時(shí)間；平移法解決一定三動(dòng)難度就更大了。

中點(diǎn)公式輕松解決了分類(lèi)討論的問(wèn)題，不管什么類(lèi)型，只需分三種情況討論，例如：是否存在以A、B、

M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形，假如A是個(gè)定點(diǎn)，那只需分三種情況：（1）以AB、MN為平行四邊形對(duì)角線，

（2）以AM、BN為平行四邊形對(duì)角線，（3）以AN、BM為平行四邊形對(duì)角線。

當(dāng)弄清楚了以上內(nèi)容，剩下就是代公式解決問(wèn)題。先把平行四邊形中的定點(diǎn)坐標(biāo)求出來(lái)，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)

為未知數(shù)。注意當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)所在直線不平行坐標(biāo)軸時(shí)，需要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)。

【變式1】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）如圖1，在YABCD中，E為AB的中點(diǎn)，C60，動(dòng)點(diǎn)為F從點(diǎn)

B出發(fā)，沿YABCD的邊按B→C→D→A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程為x，△AEF的面積為y，圖2是y關(guān)于

x的函數(shù)圖象，當(dāng)x8時(shí)，△AEF的面積（）

93

A．18B．9C．D．93

2

【變式2】（2022·安徽合肥·合肥38中?？家荒＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，BDAD，AB2AD，

E是AB的中點(diǎn)，P是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，若AD2，則PEPB的最小值為（）

A．22B．23C．10D．210

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【變式3】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，ADC30,AB6,AD3，E為邊

1

AB上的一動(dòng)點(diǎn)，那么CEAE的最小值等于______．

2

【變式4】（2022·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B、C是x軸上的

動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)D1,3，G2,2，當(dāng)ABBCCG最小時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

【變式5】（2023·湖南衡陽(yáng)·?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形ABCD中，AB5,BC10,BC邊上的高AM4，

點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合，過(guò)點(diǎn)E作直線AB的垂線，垂足為F，連接DE、DF．

(1)求證：△ABM∽△EBF；

(2)當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求DE的長(zhǎng)；

(3)設(shè)BEx,△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是

多少？

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核心考點(diǎn)五平行四邊形的綜合性問(wèn)題

例1（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為BC

的中點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，ABC60，BC2AB．下列結(jié)論：①ABAC；②AD4OE；

1

③四邊形AECF是菱形；④S△S△．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

BOE4ABC

A．4B．3C．2D．1

例2（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB2,AD3，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，

將△DCE沿DE翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE的平行線交AD于點(diǎn)G，交直線BC于點(diǎn)H．若

點(diǎn)G是邊AD的三等分點(diǎn)，則FG的長(zhǎng)是____________．

例3（2021·陜西·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題提出

（1）如圖1，在YABCD中，A45，AB8，AD6，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DC上且DF5求四

邊形ABFE的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）

問(wèn)題解決

（2）某市進(jìn)行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境．如圖2所示，現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地上建一個(gè)五邊形

河畔公園ABCDE按設(shè)計(jì)要求，要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一個(gè)四邊形人工湖OPMN，使點(diǎn)O、P、M、

N分別在邊BC、CD、AE、AB上，且滿(mǎn)足BO2AN2CP，AMOC．已知五邊形ABCDE中，

第15頁(yè)共28頁(yè).

ABC90，AB800m，BC1200m，CD600m，AE900m．滿(mǎn)足人工湖周邊各功能場(chǎng)所

及綠化用地需要，想讓人工湖面積盡可能?。?qǐng)問(wèn)，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最小的四邊形人工湖

OPMN？若存在，求四邊形OPMN面積的最小值及這時(shí)點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【變式1】（2022·江西撫州·江西省臨川第二中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖，平行四邊形ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延

長(zhǎng)AD至E，使DE：AD1:3，連接EF交DC于點(diǎn)G，若△DEG的面積是1，則五邊形DABFG的面積是

（）

5551

A．11B．12C．D．

44

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【變式2】（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，線段PQ在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，且PQ

＝1．連接BP，BQ．則△BPQ周長(zhǎng)的最小值是（）

A．321B．4C．191D．251

【變式3】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB4,AD6，點(diǎn)E、F分別在邊AB,CD

上，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作EF的垂線分別交邊AD,BC于點(diǎn)G點(diǎn)H．若線段EF恰好平分矩

形ABCD的面積，且DF1，則GH的長(zhǎng)為_(kāi)____．

【變式4】（2022·浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，一副三角板如圖1放置，ABCD6，頂點(diǎn)E重合，將DEC

繞其頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AED75，連接AD，BC，此時(shí)四邊形ABCD的面積是

________．

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【變式5】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到

線段AC；再將線段BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1800180，得到線段BD；連接CP，DP，AD，取

AD中點(diǎn)M，連接BM，BC．

(1)當(dāng)60時(shí)，

①如圖1，若點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，直接寫(xiě)出∠CBM的度數(shù)為_(kāi)_____，線段BC與BM的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．

②如圖2，若點(diǎn)P不為AB中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BC與BM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(2)如圖3，若PA＝PB＝2，當(dāng)∠CPB＝105°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BM2的值．

核心考點(diǎn)六多邊形及其性質(zhì)

例1（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為2的正六邊形OABCDE繞點(diǎn)

O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n個(gè)45，得到正六邊形OAnBnCnDnEn，當(dāng)n2022時(shí)，正六邊形OAnBnCnDnEn的頂點(diǎn)Dn的坐

標(biāo)是（）

A．3,3B．3,3C．3,3D．3,3

第18頁(yè)共28頁(yè).

例2（2022·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N是對(duì)角線BE上的兩點(diǎn)，添

加下列條件中的一個(gè)：①BMEN；②FANCDM；③AMDN；④AMBDNE．能使四邊形

AMDN是平行四邊形的是__________（填上所有符合要求的條件的序號(hào)）．

例3（2019·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）我們知道，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．對(duì)

一個(gè)各條邊都相等的凸多邊形（邊數(shù)大于3），可以由若干條對(duì)角線相等判定它是正多邊形．例如，各條邊

都相等的凸四邊形，若兩條對(duì)角線相等，則這個(gè)四邊形是正方形．

（1）已知凸五邊形ABCDE的各條邊都相等．

①如圖1，若ACADBEBDCE，求證：五邊形ABCDE是正五邊形；

②如圖2，若ACBECE，請(qǐng)判斷五邊形ABCDE是不是正五邊形，并說(shuō)明理由：

（2）判斷下列命題的真假．（在括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)“真”或“假”）

如圖3，已知凸六邊形ABCDEF的各條邊都相等．

①若ACCEEA，則六邊形ABCDEF是正六邊形；（）

②若ADBECF，則六邊形ABCDEF是正六邊形．（）

第19頁(yè)共28頁(yè).

知識(shí)點(diǎn)一、多邊形的概念

1．定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個(gè)角

相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．

2．相關(guān)概念：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．

頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角.

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.

對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．

多邊形的分類(lèi):畫(huà)出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)

多邊形就是凸多邊形，如果整個(gè)多邊形不在直線的同一側(cè)，這個(gè)多邊形叫凹多邊形．如圖：

凹多邊形

凸多邊形

特別說(shuō)明：(1)正多邊形必須同時(shí)滿(mǎn)足“各邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；

n(n3)

(2)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為；

2

(3)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形．

知識(shí)點(diǎn)二、多邊形內(nèi)角和

n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．

特別說(shuō)明：(1)內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)

(n2)180°

正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；

n

知識(shí)點(diǎn)三、多邊形的外角和

多邊形的外角和為360°．

特別說(shuō)明：(1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外

角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；

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360°

(2)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于；

n

(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等

外角的度數(shù)．

【變式1】（2022·四川綿陽(yáng)·?？级＃┤鐖D，在正六邊形ABCDEF中，M，N分別為邊CD，BC的中點(diǎn)，

AN與BM相交于點(diǎn)P，則∠APM的度數(shù)是（）

A．110°B．120°C．118°D．122°

【變式2】（2022·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A點(diǎn)在y軸正半軸上，B、C兩點(diǎn)都

在x軸上，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），把正六邊形ABCDEF繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使D點(diǎn)恰好落在x軸上的D＇

處，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A．旋轉(zhuǎn)后的正六邊形可由六邊形ABCDEF向右平移2個(gè)單位得到

B．旋轉(zhuǎn)前、后兩個(gè)正六邊形組成的圖形關(guān)于直線CE、AD對(duì)稱(chēng)

C．旋轉(zhuǎn)前、后兩個(gè)正六邊形重疊部分面積為23

3

D．旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，E點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為π

7

【變式3】（2022·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，將透明直尺疊放在正五邊形之上，若正五邊形有兩個(gè)頂點(diǎn)在

直尺的邊上，且有一邊與直尺的邊垂直．則∠α＝_____°．

第21頁(yè)共28頁(yè).

【變式4】（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖是某小區(qū)花園內(nèi)用同一種正多邊形和正方形地磚鋪設(shè)的小路的局部

示意圖，四塊正多邊形地磚圍成的中間區(qū)域使用一塊正方形地磚，則正多邊形的內(nèi)角和為_(kāi)__________．

【變式5】（2022·江西贛州·統(tǒng)考二模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．例如：

如圖①，BC，則四邊形ABCD為“等鄰角四邊形”．

(1)定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是___________．

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．

(2)深入探究：

①已知四邊形ABCD為“等鄰角四邊形”，且A120，B100，則D________．

②如圖②，在五邊形ABCDE中，DE∥BC，對(duì)角線BD平分ABC，求證：四邊形ABDE為等鄰角四邊

形．

(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在等鄰角四邊形ABCD中，BC，點(diǎn)P為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作

PMAB，PNCD，垂足分別為M，N．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PMPN的值是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明

理由．

第22頁(yè)共28頁(yè).

【新題速遞】

1．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）下列說(shuō)法中，正確的是（）

A．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形

B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形

D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，M、N分別為BC、OC的中

點(diǎn)．若ACB30，AB8，則MN的長(zhǎng)為（）

A．2B．4C．8D．16

3．（2023·河南周口·?？家荒＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑作弧交AB于

1

點(diǎn)E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交CD于點(diǎn)F，若AB8，

2

BF5，則△BCF的周長(zhǎng)為（）

A．11B．12C．13D．14

4．（2022·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD中，AB4，AD6，BE平

分ABC，交AD于E，CFBE交BE于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M為EF中點(diǎn)，則MN＝（）

321

A．B．1C．D．

232

5．（2023·山東淄博·校考一模）如圖，矩形ABCD中，AB4，AD2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)

點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是()

A．2B．4C．2D．22

第23頁(yè)共28頁(yè).

6．（2022·寧夏銀川·?？家荒＃┤鐖D，在ABCD中，AB5，BC8.E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是ABCD內(nèi)

一點(diǎn)，且BFC90.連接AF并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)G.若，則DG的長(zhǎng)為（）

53

A．B．C．3D．2

22

7．（2022·浙江溫州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形OABC為平行四邊形，A在x軸上，且∠AOC＝60°，

k

反比例函數(shù)y=（k＞0）在第一象限內(nèi)過(guò)點(diǎn)C，且與AB交于點(diǎn)E．若E為AB的中點(diǎn)，且SOCE＝83，

x

則OC的長(zhǎng)為（）△

8386

A．8B．4C．D．

33

8．（2022·貴州銅仁·一模）如圖，YABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，ADE15，BD22，將

ABC沿AC所在直線翻折180°到其原來(lái)所在的同一平面內(nèi)，若點(diǎn)B的落點(diǎn)記為B，恰好BEBE，若點(diǎn)

F為BC上一點(diǎn)，則BF的最短距離是（）

A．1B．2C．3D．5

9．（2023·湖南衡陽(yáng)·衡陽(yáng)市華新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，已知AD12，AB8，

BAD的角平分線AE交BC邊于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)____．

第24頁(yè)共28頁(yè).

10．（2023·遼寧丹東·校考一模）如圖，在YABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，連接EB并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使BFBE，

連接EC并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使CGCE，連接FG，點(diǎn)H為FG的中點(diǎn)，連接DH，AF．若

BAE70，DCE20，DEC的度數(shù)____________．

11．（2022·湖南株洲·?？级＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AB3，BC5，BF平分ABC交AD于

點(diǎn)F，E是AD的中點(diǎn)，連接CE，BF交于點(diǎn)G，連接CF，則SFEG:SBCG的值為_(kāi)__________．

12．（2022·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，已知BE2，