專題23 視圖與投影（4大考點(diǎn)）（原卷版）

第六部分圖形的變化

專題23視圖與投影

核心考點(diǎn)一投影的應(yīng)用

核心考點(diǎn)二三視圖的判斷

核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)三根據(jù)三視圖還原幾何體

及其相關(guān)計(jì)算

核心考點(diǎn)四立體圖形的展開與折疊

新題速遞

核心考點(diǎn)一投影的應(yīng)用

例1（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形紙板的一條對(duì)角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作

一個(gè)點(diǎn)）與這條對(duì)角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀

可以是（）

A．B．C．D．

例2（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的

點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線恰好垂直照射葉片OA,OB，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右

側(cè)成線段CD，測(cè)得MC8.5m,CD13m，垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2∶3，則點(diǎn)O，M之間

的距離等于___________米．轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，葉片外端離地面的最大高度等于___________米．

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例3（2020·四川攀枝花·中考真題）實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測(cè)量活動(dòng)．有兩座垂直于水平地

面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線MN的距離皆為100cm．王詩(shī)嬑

觀測(cè)到高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已

知落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度i1:0.75，在不

計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問題：

（1）若王詩(shī)嬑的身高為150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長(zhǎng)為多少cm？

（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)．請(qǐng)直接回答這

個(gè)猜想是否正確？

（3）若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為100cm，則高圓柱的高度為多少cm？

投影指的是用一組光線將物體的形狀投射到一個(gè)平面上去，稱為“投影”。在該平面上得到的圖像，

也稱為“投影”。投影可分為正投影和斜投影。正投影即是投射線的中心線垂直于投影的平面，其投射中心

線不垂直于投射平面的稱為斜投影。

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【變式1】（2022·廣東廣州·二模）當(dāng)下，戶外廣告已對(duì)我們的生活產(chǎn)生直接的影響．圖中的AD是安裝在廣

告架AB上的一塊廣告牌，AC和DE分別表示太陽(yáng)光線．若某一時(shí)刻廣告牌AD在地面上的影長(zhǎng)CE1m，

BD在地面上的影長(zhǎng)BE3m，廣告牌的頂端A到地面的距離AB20m，則廣告牌AD的高為（）

2060

A．5mB．mC．15mD．m

37

【變式2】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考一模）如圖，某數(shù)學(xué)小組的同學(xué)為了測(cè)量直立在水平面上的旗桿AB的高度，

把標(biāo)桿CD直立在同一水平地面上，在某一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)分別為

BE5m,DF1.25m,已知B,E,D,F在同一直線上，ABBE,CDDF,CD2m,則AB________m．

【變式3】（2020·寧夏石嘴山·?？家荒＃┮阎喝鐖D，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB5m，

某一時(shí)刻，AB在陽(yáng)光下的投影BC4m．

(1)請(qǐng)你在圖中畫出此時(shí)DE在陽(yáng)光下的投影；

(2)在測(cè)量AB的投影長(zhǎng)時(shí)，同時(shí)測(cè)出DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為6m，請(qǐng)你計(jì)算DE的長(zhǎng)

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核心考點(diǎn)二三視圖的判斷

例1（2022·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）襄陽(yáng)牛雜面因襄陽(yáng)籍航天員聶海勝的一句“最想吃的還是我們襄陽(yáng)

的牛雜面”火爆出圈，引發(fā)了全國(guó)人民的聚焦和關(guān)注．襄陽(yáng)某品牌牛雜面的包裝盒及對(duì)應(yīng)的立體圖形如圖所

示，則該立體圖形的主視圖為（）

A．B．C．D．

例2（2020·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為10，側(cè)面展開圖的面積為60，則圓錐主視

圖的面積為__________．

例3（山東淄博·中考真題）由一些相同的小正方體搭成的幾何體的左視圖和俯視圖如圖所示，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格

中涂出一種該幾何體的主視圖，且使該主視圖是軸對(duì)稱圖形．

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【三視圖的概念】能夠正確反映物體長(zhǎng)、寬、高尺寸的正投影工程圖（主視圖，俯視圖，左視圖三個(gè)基本

視圖）為三視圖，這是工程界一種對(duì)物體幾何形狀約定俗成的抽象表達(dá)方式。

主視圖、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正。

主視圖、左視圖高平齊。

俯視圖、左視圖寬相等。

三視圖用文字描述了其中任意兩視圖之間的關(guān)系，其中主視圖和左視圖不能上下起伏，主視圖和俯視圖不

能左右搖擺。三視圖的投影規(guī)律是組合體的畫圖和閱讀三視圖必須遵循的最基本的投影規(guī)律。

【變式1】（2023·河南周口·一模）“石瓢”最早稱為“石鏡”，后來顧景舟引用“弱水三千，只取一瓢”，改稱“石

鏡”為“石瓢”，從此相沿均稱“石瓢”，如圖是一盞做工精湛的“景舟石瓢”，其俯視圖是（）

A．B．

C．D．

【變式2】（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖是由6個(gè)大小相同的小正方體拼成的幾何體，若去掉最左面的

小正方體，則視圖不發(fā)生改變的是________（填主視圖、左視圖或俯視圖）

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【變式3】（2022·山東青島·二模）如圖是由一些棱長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方體組合成的簡(jiǎn)單幾何體．

(1)畫該幾何體的主視圖、左視圖：

(2)若給該幾何體露在外面的面（不含底圖）都噴上紅漆，則需要噴漆的面積是；

(3)如果在這個(gè)幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變，則最多可以再添加塊

小正方體．

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核心考點(diǎn)三根據(jù)三視圖還原幾何體及其相關(guān)計(jì)算

例1（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖是由若干個(gè)相同的小正方體搭成的一個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖，

則所需的小正方體的個(gè)數(shù)最多是（）

A．7B．8C．9D．10

例2（2021·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側(cè)視圖）．已

知主視圖和左視圖是兩個(gè)全等的矩形．若主視圖的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為2和3，俯視圖是直徑等于2的圓，則

這個(gè)幾何體的體積為_______．

例3（2011·廣東廣州·中考真題）5個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體組成如圖所示的幾何體．

(1)該幾何體的體積是____(立方單位)，表面積是____(平方單位)；

(2)畫出該幾何體的主視圖和左視圖．

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【變式1】（2023·河北邢臺(tái)·統(tǒng)考一模）某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（）

A．B．C．D．

【變式2】（2022·云南德宏·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，圖形是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左

視圖也稱側(cè)視圖）．已知主視圖和左視圖是兩個(gè)全等的等腰三角形．若主視圖腰長(zhǎng)為6，俯視圖是直徑等于

4的圓，則這個(gè)幾何體的體積為_____．

【變式3】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）一個(gè)幾何體的三種視圖如圖所示．

(1)這個(gè)幾何體的名稱是__________．

(2)求這個(gè)幾何體的體積．（結(jié)果保留）

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核心考點(diǎn)四立體圖形的展開與折疊

例1（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7，下列圖形為該骰子表面

展開圖的是（）

A．B．C．D．

例2（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖是一個(gè)正方體的展開圖，將它拼成正方體后，“神”字對(duì)面的字

是________．

例3（浙江杭州·中考真題）馬小虎準(zhǔn)備制作一個(gè)封閉的正方體盒子，他先用5個(gè)大小一樣的正方形制成

如下圖所示拼接圖形（實(shí)線部分），經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個(gè)面，請(qǐng)你在下圖中的拼接圖形上再接一個(gè)正方形，

使新拼接成的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個(gè)封閉的正方體盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形

用陰影表示）

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1．點(diǎn)線面三者之間的關(guān)系：面與面相交得到線，線與線相交得到點(diǎn)，即：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)

成體。

2．簡(jiǎn)單幾何體的分類：柱體、錐體、臺(tái)體、球體。

棱柱：有兩個(gè)面互相平行而其余每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行的多面體。

圓柱：矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體。

棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體。

圓錐：直角三角形繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體。

棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐底面和截面之間的部分。

圓臺(tái)：直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體。球體：半圓繞它的直徑所

在的直線旋轉(zhuǎn)所得的幾何體。

3．柱分直棱柱和斜棱柱，側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱；側(cè)棱與底面不垂直的棱柱則稱為斜棱柱。

4．長(zhǎng)方體和正方體都屬于直棱柱。5．棱柱的有關(guān)概念：

①棱：是棱柱中任何相鄰的兩個(gè)面的交線。②側(cè)棱：是棱柱中相鄰的兩個(gè)側(cè)面的交線。6．棱柱的有

關(guān)特性：

①棱柱上、下底面是相同的多邊形，側(cè)面是長(zhǎng)方形。②棱柱的所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等。③側(cè)面數(shù)與底面

多邊形的邊數(shù)相等。

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【變式1】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)正方體骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1至6共六個(gè)數(shù)字，且

相對(duì)面數(shù)字之和相同，將骰子按如圖所示方式放置并按箭頭方向無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)后停止在M處，則停止后骰子

朝上面的數(shù)字為（）

A．3B．4C．5D．6

【變式2】（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，把一個(gè)高9dm的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓

柱切開，拼成一個(gè)與它等底等高的近似長(zhǎng)方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36dm2．原來這個(gè)圓

柱的體積是______dm3．

【變式3】（2020·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將立方體紙盒沿某些棱剪開，且使六個(gè)面連在一起，然后鋪平，

可以得到其表面展開圖的平面圖形．

（1）以下兩個(gè)方格中的陰影部分，能表示立方體表面展開圖的是＿＿＿＿；（填“A”或“B”）．

（2）在以下方格圖中，畫一個(gè)與（1）中呈現(xiàn)的陰影部分不相同的立方體表面展開圖；（用陰影表示）

（3）如圖中實(shí)線是立方體紙盒的剪裁線，請(qǐng)將其表面展開圖畫在右圖的方格圖中．（用陰影表示）

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【新題速遞】

1．（2023·浙江衢州·衢州巨化中學(xué)?？家荒＃?個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其主視圖是

（）

A．B．C．D．

2．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體是由四個(gè)小正方體組合而成的，它的主視圖是()

A．B．C．D．

3．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體，它的俯視圖是()

A．B．C．D．

4．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，圖1和圖2都是由3個(gè)相同的長(zhǎng)方體組成的立體圖形，則下列關(guān)于它們

三視圖的說法中正確的是（）

A．圖1和圖2的左視圖相同B．圖1和圖2的主視圖相同

C．圖1和圖2的俯視圖相同D．圖1的俯視圖與圖2的左視圖相同

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22

5．（2021·山東德州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）圖2是圖1中長(zhǎng)方體的三視圖，用S表示面積，S主=x+3x,S左=x+x,

則S俯（）

A．x23x2B．x22x1C．x24x3D．2x24x

6．（2022·陜西咸陽(yáng)·?？家荒＃┫旅嫠膫€(gè)幾何體中，主視圖與俯視圖不同的共有()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

7．（2022·安徽滁州·?？家荒＃翘幱腥舾纱笮∠嗤男≌襟w堆成如圖所示的立體圖形，如果打算搬運(yùn)

其中部分小正方體(不考慮操作技術(shù)的限制)，但希望搬完后從正面、從上面、從右面用平行光線照射時(shí)，

在墻面及地面上的影子不變，求最多可以搬走小正方體．（）

A．27B．26C．25D．24

2

8．（2022·河北廊坊·統(tǒng)考二模）如圖2所示的是圖1中長(zhǎng)方體的三視圖，若用S表示面積，S主x2x，

2

S左xx，則長(zhǎng)方體的表面積為（）

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A．x23x2B．3x26x2

C．6x212x4D．6x6

9．（2022·廣東廣州·?？级＃┤鐖D是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)，則該幾何體的體積是________．（結(jié)

果保留）

10．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）用小正方體搭一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，俯視圖中小正方

體中的字母表示在該位置小正方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體至少有_______個(gè)小正方體組成，至多又是______

個(gè)．

11．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開圖的半徑是______．

12．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）下圖是某圓錐的左視圖，其中AB20cm，AC40cm，則圓錐的側(cè)面積

為________cm2．

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13．（2021·安徽黃山·統(tǒng)考二模）如圖，某立體圖形的左、主視圖一樣，俯視圖為圓，根據(jù)圖標(biāo)長(zhǎng)、高數(shù)據(jù)，

它的表面積為（允許帶表示）______________．

14．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體都是由棱長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方體擺成的，經(jīng)計(jì)算可得第

（1）個(gè)幾何體的表面積為6個(gè)平方單位，第（2）個(gè)幾何體的表面積為18個(gè)平方單位，第（3）個(gè)幾何體

的表面積是36個(gè)平方單位，…依次規(guī)律，則第（20）個(gè)幾何體的表面積是______個(gè)平方單位．

15．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學(xué)?？家荒＃┮阎硯缀误w的三視圖如圖，其中主視圖和左視圖都是腰

長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為4的等腰三角形，則該幾何體的側(cè)面展開圖的面積是____．（結(jié)果保留π）

16．（2023·山東泰安·校考一模）小明想測(cè)量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上；如

圖，此時(shí)測(cè)得地面上的影長(zhǎng)為8米，坡面上的影長(zhǎng)為4米．已知斜坡的坡角為30°，同一時(shí)刻，一根長(zhǎng)為1

米，垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2米，則樹的高度為___．

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17．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）學(xué)校食堂廚房的桌子上整齊地?cái)[放著若干個(gè)相同規(guī)格的菜碟，每一

摞菜碟的高度與菜碟的個(gè)數(shù)的關(guān)系如表1所示．

菜碟的個(gè)數(shù)菜碟的高度（單位：cm）

13

23＋1.8

33＋3.6

43＋5.4

……

(1)把x個(gè)菜碟放成一摞時(shí)，請(qǐng)直接寫出這一摞菜碟的高度（用含x的式子表示）；

(2)如圖所示，是幾摞菜碟的三視圖，廚師想把它們整齊疊成一摞，求疊成一摞后的高度是多少．

18．（2023·陜西西安·校考三模）李明在參觀某工廠車床工作間時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)工件，通過觀察并畫出了此工

件的三視圖，借助直尺測(cè)量了部分長(zhǎng)度．如圖所示，該工件的體積是多少？

第16頁(yè)共19頁(yè).

19．（2023·陜西榆林·?？家荒＃┤鐖D①，大風(fēng)閣是西安漢城湖的標(biāo)志性建筑，取意于漢高祖劉邦的《大風(fēng)

歌》“大風(fēng)起兮云飛揚(yáng)，威加海內(nèi)兮歸故鄉(xiāng)，安得猛士兮守四方”的意境．小華和曉麗在一個(gè)陽(yáng)光明媚的周末

去測(cè)量大風(fēng)閣的高度AB，如圖②，首先，在C處放置一面平面鏡，小華沿著BC的方向后退，到點(diǎn)E處恰

好在平面鏡中看到大風(fēng)閣頂端A的像，小華的眼睛到地面的距離DE1.5米，CE1.2米；然后，某一時(shí)刻

大風(fēng)閣在陽(yáng)光下的影子頂端在M處，同時(shí)，曉麗測(cè)得小華身高的影長(zhǎng)EG0.8米，小華的身高EF1.6米，

MC19.2米，已知ABBG，EFBG，點(diǎn)B、M、C、E、G在同一水平直線上，點(diǎn)E、D、F在一條直

線上，請(qǐng)你求出大風(fēng)閣的高度AB．（平面鏡大小、厚度忽略不計(jì)）

20．（2023·山東東營(yíng)·?？家荒＃﹥蓷澗用駱侵g的距離CD45m，樓AC和BD均為11層，每層樓高為3m．上

午某時(shí)刻，太陽(yáng)光線GB與水平面的夾角為30，此刻BD的影子會(huì)遮擋到樓AC的第幾層？（參考數(shù)據(jù)，

31.7，21.4）

第17頁(yè)共19頁(yè).

21．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）我國(guó)古代數(shù)