專題38 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（7大類型）（解析版）

模塊三重難點題型專項訓(xùn)練

專題38二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（7大壓軸類型）

考查類型一與線段有關(guān)的問題

考查類型二與圖形面積有關(guān)的問題

考查類型三角度問題

考查類型考查類型四與特殊三角形判定有關(guān)的問題

考查類型五與特殊四邊形判定有關(guān)的問題

考查類型六與三角形全等、相似有關(guān)的問題

考查類型七與圓有關(guān)的運算

新題速遞

考查類型一與線段有關(guān)的問題

例1（2020·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為0,2，點B的坐標(biāo)為

31

4,2．若拋物線y(xh)2k（h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D兩點，且CDAB，則k的值

22

為_________．

7

【答案】

2

【分析】根據(jù)題意，可以得到點C的坐標(biāo)和h的值，然后將點C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可得到k的

值，本題得以解決．

【詳解】解：點A的坐標(biāo)為(0,2)，點B的坐標(biāo)為(4,2)，

AB4，

31

拋物線y(xh)2k(h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D兩點，且CDAB2，

22

2c2

設(shè)點C的坐標(biāo)為(c,2)，則點D的坐標(biāo)為(c2,2)，hc1，

2

第1頁共103頁.

3

拋物線2[c(c1)]2k，

2

7

解得，k．

2

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二

次函數(shù)的性質(zhì)解答．

1

例2（2020·山東濱州·中考真題）如圖，拋物線的頂點為A(h，－1)，與y軸交于點B(0,)，點F(2，1)

2

為其對稱軸上的一個定點．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）已知直線l是過點C(0，－3)且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點P(m，n)到直線l的距離

為d，求證：PF＝d；

（3）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點D(4，3)，請在拋物線上找一點Q，使DFQ的周長最小，并求此時DFQ周長

的最小值及點Q的坐標(biāo)．△

121

【答案】（1）yx21；（2）見解析；（3）226，4,

82

【分析】（1）由題意拋物線的頂點A（2，-1），可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2-1，把點B坐標(biāo)

代入求出a即可．

111

（2）由題意P（m，m2m），求出d2，PF2（用m表示）即可解決問題．

822

（3）如圖，過點Q作QH⊥直線l于H，過點D作DN⊥直線l于N．因為DFQ的周長=DF+DQ+FQ，DF

△

是定值=222222，推出DQ+QF的值最小時，DFQ的周長最小，再根據(jù)垂線段最短解決問題即可．

△2

【詳解】解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為yaxhk,

由題意,拋物線的頂點為A2,1,

2

yax21.

1

又拋物線與y軸交于點B0,

2

第2頁共103頁.

12

a021

2

1

a

8

12

拋物線的函數(shù)解析式為yx21

8

（2）證明：∵P（m，n），

1111

∴n(m2)21m2m，

8822

111

∴P（m，m2m），

822

111115

∴dm2m(3)m2m，

822822

∵F（2，1），

2

21211141372525

∴PF(m2)mm1mmmm，

822648824

117525117525

∵d2m4m3m2m，PF2m4m3m2m，

648824648824

∴d2=PF2，

∴PF=d．

（3）如圖，過點Q作QH⊥直線l于H，過點D作DN⊥直線l于N．

∵△DFQ的周長=DF+DQ+FQ，DF是定值=222222，

∴DQ+QF的值最小時，DFQ的周長最小，

∵QF=QH，△

∴DQ+DF=DQ+QH，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D，Q，H共線時，DQ+QH的值最小，此時點H與N重合，點Q在線段DN上，

∴DQ+QH的最小值為6，

1

∴△DFQ的周長的最小值為，此時Q（4，-）．

2262

第3頁共103頁.

【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，兩點間距離公式，垂線段最短等知識，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．

二次函數(shù)中求線段問題：

1.直接求解線段長度表達(dá)式型

2.線段轉(zhuǎn)化型

3.將軍飲馬問題、胡不歸問題、阿氏圓問題等

4.瓜豆原理最值問題，圓中的線段最值

【變式1】（2022·廣東珠?！ぶ楹Ｊ芯胖拗袑W(xué)?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+m+1的圖象交x軸于

點A（a，0）和B（b，0），交y軸于點C，圖象的頂點為D．下列四個命題：

①當(dāng)x＞0時，y＞0；

②若a＝﹣1，則b＝4；

③點C關(guān)于圖象對稱軸的對稱點為E，點M為x軸上的一個動點，當(dāng)m＝2時，△MCE周長的最小值為210；

④圖象上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2，

其中真命題的個數(shù)有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】A

【分析】①錯誤，由圖象可知當(dāng)a＜x＜b時，y＞0；②錯誤，當(dāng)a1時，b3；③錯誤，△MCE的周長

的最小值為2102；④正確，函數(shù)圖象在x＞1時，y隨x增大而減小，則y2＜y1．

【詳解】解：①當(dāng)a＜x＜b時，二次函數(shù)圖象在x軸上方，則y＞0，故①錯誤；

第4頁共103頁.

b2

②1，

2a21

∴當(dāng)a＝﹣1時，b＝3，故②錯誤；

③這是將軍飲馬問題，作E關(guān)于x軸的對稱點E，連接ME、CE，如圖所示：

當(dāng)m＝2時，C（0，3），E（2，3），

E與E關(guān)于x軸對稱，

∴E（2，﹣3），

∴△MCE的周長的最小值就是C、M、E三點共線時取到為CE+CE＝2102，

∴△MCE的周長的最小值為2102，故③錯誤；

設(shè)關(guān)于對稱軸的對稱點，

④x1x1

∴＝﹣，

x12x1

∵x1+x2＞2，

∴x2＞﹣x1+2，

∴＞，

x2x1

∵x1＜1＜x2，

∴＜＜＜，

x11x1x2

∵函數(shù)圖象在x＞1時，y隨x增大而減小，

∴y2＜y1，則④正確；

第5頁共103頁.

故選：A．

【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、最小值問題、增減性問題等知識，解題的關(guān)鍵是靈活掌握二次函數(shù)的

有關(guān)性質(zhì)，第四個結(jié)論的判斷關(guān)鍵是利用對稱點性質(zhì)解決問題，所以中考壓軸題．

【變式2】（2022·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，拋物線y-x2+x6交x軸于A、B兩點(A在B的左側(cè))，交y

軸于點C，點D是線段AC的中點，點P是線段AB上一個動點，△APD沿DP折疊得△APD，則線段AB

的最小值是______．

【答案】510##105

【分析】先根據(jù)拋物線解析式求出點A，B，C坐標(biāo)，從而得出OA2，OB3，OC6，再根據(jù)勾股定

理求出AC的長度，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)得出A在以D為圓心，PA為半徑的圓弧上運動，當(dāng)D，A，B在

同一直線上時，BA最??；過點D作DEAB，垂足為E，由中位線定理得出DE，OE的長，然后由勾股

定理求出BD，從而得出結(jié)論．

【詳解】解：令y0，則x2x60，

解得x12，x23，

A（2，0），B（3，0），

OA2，OB3，

令x0，則y6，

C（6，0），

OC6，

AC2262210，

第6頁共103頁.

D為AC中點，

DADC10，

APD由△APD沿DP折疊所得，

DADA，

A在以D為圓心，DA為半徑的圓弧上運動，

當(dāng)D，A，B在同一直線上時，BA最小，

過點D作DEAB，垂足為E，

AEOE1，DE3，

BE4，

BD32425，

又DADA10，

BA'510，

故答案為：510．

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，翻折變換、勾股定理以及求線段最小值等知識，關(guān)鍵是根據(jù)拋物

線的性質(zhì)求出A，B，C的坐標(biāo)．

2

【變式3】（2022·云南文山·統(tǒng)考三模）已知拋物線yax13ax3與x軸交于A、B兩點（點A在點

B左側(cè)），頂點坐標(biāo)為點D1,m．

第7頁共103頁.

(1)求m的值；

(2)設(shè)點P在拋物線的對稱軸上，連接BP，求DP5BP的最小值．

【答案】(1)4

(2)8

13a

【分析】（1）根據(jù)題意可得1，求出a的值，即可求解；

2a

（2）過B作BKBP，且BK2BP，過K作KSx軸于S，過K作KT∥x軸交DP于T，設(shè)拋物線對稱

軸交x軸于R，先求出B3,0，可得BR2，再證得PBR∽BKS，可得KS2BR4，即K為直線y4

上的動點，從而得到T1,4，進(jìn)而得到DP5BPDPPK，可得到當(dāng)K運動到T時，

DP5BPDPPKDPPTDT，此時DP5BP取最小值，最小值即是DT的長，即可求解．

【詳解】（1）解：∵拋物線yax213ax3頂點坐標(biāo)為點D1,m，

13a

1，

2a

解得a1，

2

∴yx22x3x14，

∴頂點坐標(biāo)為1,4，

∴m的值是4；

（2）解：過B作BKBP，且BK2BP，過K作KSx軸于S，過K作KT∥x軸交DP于T，設(shè)拋物線

對稱軸交x軸于R，如圖：

第8頁共103頁.

由（1）知拋物線y=x22x3對稱軸為直線x1，頂點D1,4，

在y=x22x3中，

令y0，得∶x22x30，

解得：x=1或3，

∴B3,0，

∴BR2，

∵BKBP，

∴PBR90KBSBKS，

∵PRBKSB90，

∴PBR∽BKS，

BPBR

，

BKKS

∵BK2BP，

∴KS2BR4，

即K為直線y4上的動點，

∴T1,4，

∵BKBP,BK2BP，

PK5BP，

DP5BPDPPK，

由垂線段最短可得，當(dāng)K運動到T時，DP5BPDPPKDPPTDT，此時DP5BP取最小值，

第9頁共103頁.

最小值即是DT的長，如圖：

∵D1,4,T1,4，

∴DT8，

DP5BP的最小值為8．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加

輔助線，構(gòu)造相似三角形，轉(zhuǎn)化5BP成PK．

考查類型二與圖形面積有關(guān)的問題

例1（2021·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y2x28x6的圖象交x軸于A,B兩點．若其圖象

上有且只有三點滿足SSSm，則m的值是（）

P1,P2,P3ABP1ABP2ABP3

3

A．1B．C．2D．4

2

【答案】C

【分析】由題意易得點P1,P2,P3的縱坐標(biāo)相等，進(jìn)而可得其中有一個點是拋物線的頂點，然后問題可求解．

【詳解】解：假設(shè)點A在點B的左側(cè)，

∵二次函數(shù)y2x28x6的圖象交x軸于A,B兩點，

2

∴令y0時，則有02x8x6，解得：x11,x23，

∴A1,0,B3,0，

第10頁共103頁.

∴AB312，

∵圖象上有且只有三點滿足SSSm，

P1,P2,P3ABP1ABP2ABP3

∴點P1,P2,P3的縱坐標(biāo)的絕對值相等，如圖所示：

2

∵y2x28x62x22，

∴點P12,2，

1

∴mS222；

ABP12

故選C．

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例2（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點（點A在點B

4

的左側(cè)），頂點D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動點P（m，n）在x軸上方的拋物線上．

3

(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

第11頁共103頁.

(2)過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥l于點N，當(dāng)1＜m＜3時，求PM+PN的最大值；

(3)設(shè)直線AP，BP與拋物線的對稱軸分別相交于點E，F(xiàn)，請?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點E關(guān)于x軸的對

稱點）為頂點的四邊形面積是否隨著P點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，

說明理由．

【答案】(1)y=-x2+2x+3

22

(2)最大值

5

(3)定值16

【分析】（1）利用頂點式可得結(jié)論；

（2）如圖，設(shè)直線l交x軸于點T，連接PT，BD，BD交PM于點J，設(shè)Pm,m22m3，

S四邊形DTBPSPDTSPBT，推出S四邊形DTBP最大時，PMPN的值最大，求出四邊形DTBP的面積的最大值，

可得結(jié)論；

（3）如圖，設(shè)Pm,m22m3，求出直線AP，BP的解析式，可得點E，F(xiàn)的坐標(biāo)，求出FG的長，可

得結(jié)論．

【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點為D（1，4），

2

∴根據(jù)頂點式，拋物線的解析式為yx14x22x3；

（2）解：如圖，設(shè)直線l交x軸于點T，連接PT，BD，

BD交PM于點J，設(shè)Pm,m22m3，

4

點D1,4，在直線l：yxt上，

3

4

∴4t，

3

第12頁共103頁.

8

∴t，

3

48

∴直線DT的解析式為yx，

33

令y0，得到x2，

∴T2,0，

∴OT2，

∵B3,0，

∴BT5，

∵DT32425，

∴DTBT，

∵PMBT，PNDT，

115

∴S四邊形S△S△DTPNBTPMPMPN，

DTBPPDTPBT222

∴S四邊形DTBP最大時，PMPN的值最大，

∵D1,4，B3,0，

∴直線BD的解析式為y2x6，

∴Jm,2m6，

∴PJm24m3，

112

∵S四邊形DTBPSDTBSBDP54m4m32

22

m24m7

2

m211，

∵二次項系數(shù)1＜0，

∴m2時，S四邊形DTBP最大，最大值為11，

222

∴PMPN的最大值11；

55

（3）解：四邊形AFBG的面積不變．

理由：如圖，設(shè)Pm,m22m3，

第13頁共103頁.

∵A1,0，B3,0，

∴直線AP的解析式為ym3xm3，

∴E1,2m6，

∵E，G關(guān)于x軸對稱，

∴G1,2m6，

∴直線PB的解析式為ym1x3m1，

∴F1,2m2，

∴GF2m22m68，

11

∴四邊形AFBG的面積ABFG4816，

22

∴四邊形AFBG的面積是定值．

【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題．

解決二次函數(shù)動點面積問題，常用的方法有三種

方法一：鉛垂高法。

如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，鉛垂高穿過的線段兩端點的橫坐標(biāo)之差叫

△ABC的水平寬(a)，中間的這條平行于y軸或垂直于x軸的直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的鉛垂高

(h).此時三角形面積的計算方法：即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半（s=1/2ah）

第14頁共103頁.

方法二，平行法。平行法最關(guān)鍵的知識點，是平行線之間高的問題，一般這種情況都是平移高到與坐標(biāo)軸

交點處，最后用相似求值。

方法三，矩形覆蓋法。這是最容易想到的方法，但也是計算最麻煩的方法。利用面積的大減小去解決，一

般不太建議使用這種方法，龐大的計算量很容易出錯。

【變式1】（2022·河北·校聯(lián)考一模）如圖，在ABC中，ACB90，BC邊在x軸上，A(1,4),B(7,0)．點

P是AB邊上一點，過點P分別作PEAC于點E，PDBC于點D，當(dāng)四邊形CDPE的面積最大時，點P

的坐標(biāo)為（）

35

A．4,B．2,C．(2,3)D．(3,2)

22

【答案】D

1717

【分析】先求出直線AB的解析式為yx，然后設(shè)點P的坐標(biāo)為m,m，可得

2222

1717

PEm1,PDm，從而得到四邊形CDPE的面積為PEPDm1m，再根據(jù)二次函數(shù)

2222

的性質(zhì)，即可求解．

【詳解】解：設(shè)直線AB的解析式為

ykxbk0，

把點A(1,4),B(7,0)代入得：

第15頁共103頁.

1

k

kb42

，解得：，

7kb07

b

2

17

∴直線AB的解析式為yx，

22

17

設(shè)點P的坐標(biāo)為m,m，

22

∵ACB90，

∴點C（-1，0），

∵PEAC于點E，PDBC于點D，

17

∴PEm1,PDm，

22

17

∴四邊形CDPE的面積為PEPDm1m

22

17

m23m

22

12

m38，

2

∴當(dāng)m=3時，四邊形CDPE的面積最大，此時點P（3，2）．

故選：D

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二

次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式2】（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，拋物線yx24x1與y軸交于點P，其頂點是A，點P的坐標(biāo)

是3,2，將該拋物線沿PP方向平移，使點P平移到點P，則平移過程中該拋物線上P、A兩點間的部

分所掃過的面積是______．

第16頁共103頁.

【答案】18

2

【分析】將x0代入求P點坐標(biāo)，由yx24x1x25，可知A點坐標(biāo)，如圖，連接PA，AA，

AP，過A作BC∥x軸，交y軸于B，過P作DEx軸，交y軸于D，過A作ECBC于C，交DE于E，

則四邊形BCED是矩形，B0,5，C5,5，D0,2，E5,2，由題意知四邊形APPA的面積即為平移過

程中該拋物線上P、A兩點間的部分所掃過的面積，根據(jù)S四邊形APPAS矩形BCEDSABPSPDPSACASAEP，

計算求解即可．

【詳解】解：當(dāng)x0時，y1

∴P0,1

2

∵yx24x1x25

∴A2,5

∵P3,2，拋物線沿PP方向平移

∴A平移后的點坐標(biāo)為A5,2

如圖，連接PA，AA，AP，過A作BC∥x軸，交y軸于B，過P作DEx軸，交y軸于D，過A作ECBC

于C，交DE于E

∴四邊形BCED是矩形，B0,5，C5,5，D0,2，E5,2

由題意知四邊形APPA的面積即為平移過程中該拋物線上P、A兩點間的部分所掃過的面積

∴S四邊形APPAS矩形BCEDSABPSPDPSACASAEP

1111

=7542333342

2222

第17頁共103頁.

18

故答案為：18．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與面積綜合等知識．解題的關(guān)鍵在

于確定P、A兩點間的部分．

【變式3】（2022·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┤鐖D，拋物線y＝x2bxc經(jīng)過點A1，0，點B2,3，

與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)0x4時，y的取值范圍是________；

(3)拋物線上是否存在點P，使PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，點P的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由．

【答案】(1)y=x22x3

(2)4y5

(3)存在，點P的坐標(biāo)為15,1或15,1

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；

（2）當(dāng)x0，求出y值，當(dāng)x4求出y值，再結(jié)合二次函數(shù)最小值，即可得出當(dāng)0x4時，y的取值范圍；

（3）設(shè)拋物線上的點P坐標(biāo)為m,m22m3，結(jié)合方程思想和三角形面積公式列方程求解．

【詳解】（1）解：∵拋物線yx2bxc經(jīng)過點A1，0，點B2,3，

第18頁共103頁.

1bc0

∴，

42bc3

b2

解得：，

c3

∴拋物線的解析式：y=x22x3；

2

（2）解：∵yx22x3x14，

又∵10，

∴拋物線開口向上，當(dāng)x1時，y有最小值4，

當(dāng)x0時，y=3，

當(dāng)x4時，y5，

∴當(dāng)0x4時，4y5，

故答案為：4y5；

（3）解：存在，理由如下：

2

∵yx22x3x14，

∴D點坐標(biāo)為1,4，

令x0，則yx22x33，

∴C點坐標(biāo)為0,3，

又∵B點坐標(biāo)為2,3，

∴BC∥x軸，

1

∴SV211，

BCD2

設(shè)拋物線上的點P坐標(biāo)為m,m22m3，

1

∴S2m22m33m22m，

PBC2

當(dāng)m22m41時，

解得m15，

當(dāng)m15時，m22m31，

第19頁共103頁.

當(dāng)m15時，m22m31，

綜上，P點坐標(biāo)為15,1或15,1．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，理解二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)

特征，利用方程思想解題是關(guān)鍵．

考查類型三角度問題

22

例1（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線ymxm3x(6m9)與x軸交于點A、B，

與y軸交于點C，已知B(3,0)．

（1）求m的值和直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P為拋物線上一點，若S△PBCS△ABC，請直接寫出點P的坐標(biāo)；

（3）Q為拋物線上一點，若ACQ45，求點Q的坐標(biāo)．

31771731771775

【答案】（1）m1，yx3；（2）P2,1，P,，P,；（3）Q,

222224

【分析】（1）求出A，B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法計算即可；

（2）做點A關(guān)于BC的平行線AP1，聯(lián)立直線AP1與拋物線的表達(dá)式可求出P1的坐標(biāo)，設(shè)出直線AP1與y軸

的交點為G，將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長度，可得到直線P3P2，聯(lián)立方程組即可求出P；

（3）取點Q，連接CQ，過點A作ADCQ于點D，過點D作DFx軸于點F，過點C作CEDF于點E，

1

得直線CD對應(yīng)的表達(dá)式為yx3，即可求出結(jié)果；

2

【詳解】（1）將B3,0代入ymx2m23x6m9，

化簡得m2m0，則m0（舍）或m1，

∴m1，

第20頁共103頁.

得：y=x2+4x3，則C0,3．

設(shè)直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為ykxb，

03kb

將B3,0、C0,3代入可得，解得k1，

3b

則直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為yx3．

（2）如圖，過點A作AP1∥BC，設(shè)直線AP1與y軸的交點為G，將直線BC向下平移GC個單位，得到直

線P3P2，

由（1）得直線BC的解析式為yx3，A(1,0)，

∴直線AG的表達(dá)式為yx1，

yx1

聯(lián)立2，

yx4x3

x1x2

解得：（舍），或，

y0y1

∴P12,1，

由直線AG的表達(dá)式可得G1,0，

∴GC2，CH2，

∴直線P3P2的表達(dá)式為yx5，

yx5

聯(lián)立2，

yx4x3

第21頁共103頁.

317317

xx

1222

解得：，，

717717

yy

12

317717317717

∴，，

P3,P2,

2222

317717317717

∴P2,1，P,，P,．

2222

（3）如圖，取點Q，連接CQ，過點A作ADCQ于點D，

過點D作DFx軸于點F，過點C作CEDF于點E，

∵ACQ45，

∴AD=CD，

又∵ADC90，

∴ADFCDE90，

∵CDEDCE90，

∴DCEADF，

又∵EAFD90，

∴CDE≌DAF，則AFDE，CEDF．

設(shè)DEAFa，

∵OA1，OFCE，

∴CEDFa1．

由OC3，則DF3a，即a13a，解之得，a1．

所以D2,2，又C0,3，

1

可得直線CD對應(yīng)的表達(dá)式為yx3，

2

第22頁共103頁.

1

設(shè)Qm,m3，代入y=x2+4x3，

2

117

得m3m24m3，mm24m，m2m0，

222

775

又m0，則m．所以Q,．

224

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵．

例2（2020·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點A1,0，B3,0，

與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點P，使PABABC，若存在請直接寫出點P的坐標(biāo)．若不存在，請說明理由．

2

【答案】（1）yx2x3；（2）存在，P1(2,3)，P2(4,5)

【分析】（1）把點AB的坐標(biāo)代入yx2bxc即可求解；

（2）分點P在x軸下方和下方兩種情況討論，求解即可．

【詳解】（1）∵二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點A(-1，0)，B(3，0)，

1bc0

∴，

93bc0

b2

解得：，

c3

∴拋物線的解析式為：yx22x3；

（2）存在，理由如下：

當(dāng)點P在x軸下方時，

如圖，設(shè)AP與y軸相交于E，

第23頁共103頁.

令x0，則y3，

∴點C的坐標(biāo)為(0，3)，

∵A(-1，0)，B(3，0)，

∴OB=OC=3，OA=1，

∴∠ABC=45，

∵∠PAB=∠ABC=45，

∴△OAE是等腰直角三角形，

∴OA=OE=1，

∴點E的坐標(biāo)為(0，-1)，

設(shè)直線AE的解析式為ykx1，

把A(-1，0)代入得：k1，

∴直線AE的解析式為yx1，

yx1

解方程組2，

yx2x3

x11x24

得：(舍去)或，

y10y25

∴點P的坐標(biāo)為(4，5)；

當(dāng)點P在x軸上方時，

如圖，設(shè)AP與y軸相交于D，

第24頁共103頁.

同理，求得點D的坐標(biāo)為(0，1)，

同理，求得直線AD的解析式為yx1，

yx1

解方程組2，

yx2x3

x11x22

得：(舍去)或，

y10y23

∴點P的坐標(biāo)為(2，3)；

綜上，點P的坐標(biāo)為(2，3)或(4，5)

【點睛】本題是二次函數(shù)與幾何的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解方

程組，分類討論是解本題的關(guān)鍵．

角度問題涵蓋的題型

1.角度相等問題

2.角度的和差倍分關(guān)系

3.特殊角問題

4.非特殊角問題

方法點評：由特殊角聯(lián)想到直接構(gòu)造等腰直角三角形，通過全等三角形，得到點的坐標(biāo)，從而得到直線解

析式，聯(lián)立得到交點坐標(biāo).這個方法對于特殊角30度、60度90度都是適用的，是一種通用方法.

128

【變式1】（2022秋·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線yxx3與x軸交于點A和點B兩點，

33

與y軸交于點C，D點為拋物線上第三象限內(nèi)一動點，當(dāng)ACD2ABC180時，點D的坐標(biāo)為（）

第25頁共103頁.

16

A．(8,3)B．(7,)C．(6,7)D．(5,8)

3

【答案】B

18

【分析】根據(jù)二次函數(shù)yx2x3與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別求出OA、OB、OC的長度；然后通過勾

33

股定理逆定理判斷出ACB90，得出2BAC2ABC180；由ACD2ABC180得出

ACD2BAC；作點C關(guān)于x軸的對稱點E，連接AE；即可構(gòu)造出EACACD，從而得出AE∥DC；

根據(jù)平行線的斜率相同以及點C的坐標(biāo)求出直線DC的表達(dá)式；最后聯(lián)立方程組求解即可；

18

【詳解】解：令y0，則x2x30

33

解得：x19，x21

∴A(9,0)，B(1,0)

∴OA9，OB1，AB10

當(dāng)x0時，y=3

∴C(0,3)

∴OC3

在△ACB中

BC2AC2(OB2OC2)(OC2OA2)100AB2

∴ACB90

∴BACABC90

∴2BAC2ABC180

∵ACD2ABC180

第26頁共103頁.

∴ACD2BAC

如圖，作點C關(guān)于x軸的對稱點E，連接AE；

則E(0,3)，BACBAE

∴EAC2BACACD

∴AE∥DC

OE1

∴kk

DCAEOA3

1

設(shè)直線DC的表達(dá)式為：yxb

3

將C(0,3)代入得：b3

1

∴直線DC的表達(dá)式為：yx3

3

1

yx3x7

3x0

解方程組得：或16

128y3y

yxx33

33

∵點D在第三象限

16

∴點D的坐標(biāo)為(7,)

3

故選：B．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理逆定理、直角三角形兩銳角互余等

知識點；綜合運用上述知識求出直線DC的函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．

1

【變式2】（2020·江蘇無錫·無錫市南長實驗中學(xué)校考二模）如圖，一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象交x軸于點

2

第27頁共103頁.

1

A，交y軸于點B，二次函數(shù)y＝－x2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B兩點，與x軸交于另一點C．若點M在拋物

2

線的對稱軸上，且∠AMB＝∠ACB，則所有滿足條件的點M的坐標(biāo)為__________．

5，15，21

【答案】或

2222

【分析】討論：當(dāng)點M在直線AB上方時，根據(jù)圓周角定理可判斷點M在△ABC的外接圓上，如圖所示，

5

，-t

由于拋物線的對稱軸垂直平分AC，則△ABC的外接圓O1的圓心在對稱軸上，設(shè)圓心O1的坐標(biāo)為，

2

2

5255

2，-2

根據(jù)半徑相等得到+-t24+t，解方程求出t得到圓心O1的坐標(biāo)為，然后確定

222

5

O的半徑為，從而得到此時M點的坐標(biāo)；當(dāng)點M在直線AB下方時，作O關(guān)于AB的對稱點O，如

1212

3，

圖所示，通過證明O1ABOAB可判斷O2在x軸上，則點O2的坐標(biāo)為0，然后計算DM即可得到此

2

時M點坐標(biāo)．

【詳解】（1）當(dāng)點M在直線AB上方時，則點M在△ABC的外接圓上，

第28頁共103頁.

5

，-t

∵△ABC的外接圓O1的圓心在對稱軸上，設(shè)圓心O1的坐標(biāo)為，

2

則O1BO1A，

2

5252

∴+-t24+t，

22

解得t2，

5

，-2

∴圓心O1的坐標(biāo)為，

2

2

55

∴OA422，

1

22

5

即O的半徑為，

12

51

此時M點的坐標(biāo)為，．

22

當(dāng)點M在直線AB下方時，作O1關(guān)于AB的對稱點O2，如圖所示，

第29頁共103頁.

5

∵AOOB，

112

∴O1ABO1AB，

∵O1B∥x軸，

∴O1BAOAB，

∴O1ABOAB，O2在x軸上，

3，

∴點O2的坐標(biāo)為0，

2

∴O2D1，

2

5221

∴DM1，

22

521

此時點的坐標(biāo)為，-．

M22

5，15，21

綜上所述，點M的坐標(biāo)為或