空間向量幾何

空間向量解立體幾何概念梳理：空間角1．異面直線所成的角點(diǎn)A，B直線a,C，D直線b。構(gòu)成向量。所對應(yīng)的銳角或直角即為直線a(AB)與b(CD)所成的角。OAOAP與平面的法向量所成的角所對應(yīng)的銳角的余角或直角即為直線AP與平面所成的角，所以與的角的余弦值的絕對值為直線AP與平面所成的角的正弦值。3．二面角的求法OAP二面角，平面的法向量，平面的法向量。，則二面角的平面角為或π。所以，，若將法向量的起點(diǎn)放在兩個(gè)半平面上(不要選擇起點(diǎn)在棱上)，當(dāng)兩個(gè)法向量的方向都向二面角內(nèi)或外時(shí)，則為二面角的平面角的補(bǔ)角；當(dāng)兩個(gè)法向量的方向一個(gè)向二面角內(nèi)，另一個(gè)向外時(shí)，則為二面角的平面角。OAP空間距離1．點(diǎn)到面的距離點(diǎn)P到面的距離可以看成在平面的法向量的方向上的射影的長度。異面直線間的距離EbaF異面直線a,b之間的距離可以看成在a,b的公垂向量的方向上的射影的長度。EbaF3．線面距離直線a與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)A到平面的距離就是直線a與平面之間的距離。其求法與點(diǎn)到面的距離求法相同。平面與平面間的距離平面與平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到平面的距離就是平面與平面間的距離。其求法與點(diǎn)到面的距離求法相同。例題講解要點(diǎn)考向1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系考向鏈接：1．空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)重要內(nèi)容，一方面考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個(gè)方面考查“向量法”的應(yīng)用。2．空間中線面的平行與垂直的證明有兩個(gè)思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量來論證。例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，∥，，，，，為的中點(diǎn)。AEFBCDHGAEFBCDHGXYZ(2)求證：平面；(3)求二面角的大小?！痉椒记伞?、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行；2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個(gè)合適的三角形中進(jìn)行求解。4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題進(jìn)行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用。要點(diǎn)考向2：利用空間向量求線線角、線面角考向鏈接：1．利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公式為:（1）異面直線所成角設(shè)分別為異面直線的方向向量，則（2）線面角設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則2．運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟為：（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。（2）求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）寫出向量坐標(biāo)。（4）結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算。（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。例2：（2010·遼寧高考理科·Ｔ19）已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.【方法技巧】（1）空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。（2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決。（3）線面角的范圍是0°～90°，因此直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦是非負(fù)的，要取絕對值。要點(diǎn)考向3：利用空間向量求二面角考情聚焦：1．二面角是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，是年年必考的知識點(diǎn)。2．常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題。考向鏈接：求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。其計(jì)算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補(bǔ)或相等，例3：（2010·天津高考理科·Ｔ19）如圖，在長方體中，、分別是棱,上的點(diǎn)，,求異面直線與所成角的余弦值；證明平面求二面角的正弦值。練習(xí)題：如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，CE∥AB。（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝EQ\R(,2)，∠CDA＝45°，求四棱錐P－ABCD的體積要點(diǎn)考向4：傳統(tǒng)方法解立體幾何例4（2010，天津理）如圖，在五面體中，四邊形是正方形，，，，，．（Ⅰ）求異面直線與所成的角的余弦值；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）求二面角的正切值．高考真題1.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.（1）求證：平面PAC；（2）若，求PB與AC所成角的余弦值；（3）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長.2如圖5，在椎體中，是邊長為1的棱形，且,,分別是的中點(diǎn)，（1）證明：;（2）求二面角的余弦值.3如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，⊥平面，垂足落在線段上．（Ⅰ）證明：⊥；（Ⅱ）已知，，，．求二面角的大?。臻g向量與立體幾何（二）1、(2011全國新課標(biāo)理)如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面。（=1\*ROMANI）證明：（=2\*ROMANII）若，求二面角的余弦值。2、如圖，分別為的邊上的點(diǎn)，且不與的頂點(diǎn)重合。已知的長為，的長為，的長是關(guān)于的方程的兩個(gè)根。（=1\*ROMANI）證明：四點(diǎn)共圓；（=2\*ROMANII）若，且，求所在圓的半徑。3、（2011全國（舊）理）如圖，四棱錐中，,，側(cè)面為等邊三角形，，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求與平面所成角的大?。?、（2011全國（舊）理）6、已知直二面角，點(diǎn)，，為垂足，，，為垂足．若，，則到平面的距離等于（）A．B．C．D．15、（2011全國（舊）理）11．已知平面截一球面得圓，過圓心且與成二面角的平面截該球面得圓．若該球面的半徑為4，圓的面積為，則圓的面積為（）A．B．C．D．6、（2011全國（舊）理）16．已知點(diǎn)、分別在正方體的棱、上，且，，則面與面所成的二面角的正切值等于．7、（重慶理19）如題（19）圖，在四面體中，平面平面，，，．（Ⅰ）若，，求四面體的體積；（Ⅱ）若二面角為，求異面直線與所成角的余弦值．8、（浙江理20）如圖，在三棱錐中，，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）證明：AP⊥BC；（Ⅱ）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由。9、（湖北理18）如圖，已知正三棱柱的各棱長都是4，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)重合．（Ⅰ）當(dāng)=1時(shí)，求證：⊥；（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為，求的最小值．10（重慶理19）如題（19）圖，在直三棱柱中，，，；點(diǎn)分別在，上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為（Ⅰ）求異面直線與的距離；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值答案：（Ⅰ）（Ⅱ）11．(天津理19)如圖，在四棱錐中，底面，，，是的中點(diǎn)（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明平面；（Ⅲ）求二面角的大小答案：（Ⅲ）12．（四川理19）如圖，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°（Ⅰ）求證：平面⊥平面;（Ⅱ）求二面角的大小;（Ⅲ）求三棱錐的體積13．（全國Ⅱ理19）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面分別為的中點(diǎn)（1）證明平面；（2）設(shè)，求二面角的大小答案：(2)14．（全國Ⅰ理19）四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，，，（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小答案：(Ⅱ)空間向量方法解立體幾何【空間向量基本定理】例1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且M分成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實(shí)數(shù)x、y、z的值。分析;結(jié)合圖形，從向量出發(fā)，利用向量運(yùn)算法則不斷進(jìn)行分解，直到全部向量都用、、表示出來，即可求出x、y、z的值。如圖所示，取PC的中點(diǎn)E，連接NE，則。點(diǎn)評：選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的一項(xiàng)基本功，要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量。再對照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現(xiàn)形式?？臻g向量基本定理恰好說明，用空間三個(gè)不共面的向量組可以表示出空間任意一個(gè)向量，而且a,b,c的系數(shù)是惟一的。【利用空間向量證明平行、垂直問題】例2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F。（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。點(diǎn)評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．（2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量．（3）證明面面平行的方法：①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；②證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量．（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．（5）證明線面垂直的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；②證明直線與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直．（6）證明面面垂直的方法：①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．【用空間向量求空間角】例3.正方形ABCD—中，E、F分別是，的中點(diǎn)，求：（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。點(diǎn)評：（1）兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角求得，即。（2）直線與平面所成的角主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角?！居每臻g向量求距離】例4.長方體ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點(diǎn)，求：（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個(gè)新的熱點(diǎn)。現(xiàn)列出幾類問題的解決方法。（1）平面的法向量的求法：設(shè)，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解。（2）線面角的求法：設(shè)是平面的一個(gè)法向量，是平面的斜線l的一個(gè)方向向量，則直線與平面所成角為（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)平面的法向量，則就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。（4）異面直線間距離的求法：是兩條異面直線，n是的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是上的任意兩點(diǎn)，則。（5）點(diǎn)面距離的求法：設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點(diǎn)B到平面的距離為。（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用（5）中方法求解。練習(xí)：1.若等邊的邊長為，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則_________2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0，2），B(1，-3，1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________。3.（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABC