正態(tài)分布（1）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

7.5正態(tài)分布（1）1.兩點(diǎn)分布X01P1－pp我們稱X服從______分布或0－1分布.兩點(diǎn)復(fù)習(xí)引入2.二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝0,1,2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作

.X～B(n，p)3.超幾何分布:一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝_________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.4.離散型隨機(jī)變量可能取值為_______或可以_________的隨機(jī)變量，我們稱為離散型隨機(jī)變量.有限個(gè)一一列舉探究一：正態(tài)分布現(xiàn)實(shí)中，除了前面已經(jīng)研究過的離散型隨機(jī)變量外，還有大量問題中的隨機(jī)變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.下面我們看一個(gè)具體問題.問題：自動流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差(實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差，則X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量.檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了100袋食鹽，獲得誤差X

(單位:g)的觀測值如下:

-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9(1)如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布?(2)如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布?根據(jù)已學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布，如圖(1)所示.頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率，所有小矩形的面積之和為1.觀察圖形可知:誤差觀測值有正有負(fù)，并大致對稱地分布在X=0的兩側(cè)，而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.0-6-420-2頻率/組距0.050.100.150.20X46(1)根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可用圖(3)中的鐘形曲線(曲線與水平軸之間的區(qū)域的面積為1)來描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.例如，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2,-1]內(nèi)的概率，可用圖中黃色陰影部分的面積表示.隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線，如圖(2)所示.0-6-420-2頻率/組距0.050.100.150.20X46(2)0-6-420-2f(x)0.050.100.150.20X46(3)追問1：由函數(shù)知識可知，圖(3)中的鐘形曲線是一個(gè)函數(shù).那么，這個(gè)函數(shù)是否存在解析式呢?答案是肯定的.在數(shù)學(xué)家的不懈努力下，找到了以下刻畫隨機(jī)誤差分布的解析式:

其中μ∈R，σ>0為參數(shù).0-6-420-2f(x)0.050.100.150.20X46(3)顯然，對任意的x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方，可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ2).特別地，當(dāng)μ=0,σ=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.0-6-420-2f(x)0.050.100.150.20X46(3)f(x)xμaxbOAB若X~N(μ，σ2)，則如圖(4)所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.f(x)xμaxbO追問2：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)?由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點(diǎn):(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱；(2)曲線在x=μ處達(dá)到峰值

；(3)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.探究二：正態(tài)曲線的性質(zhì)：0.4x-32-1-213Oyσ=1μ=-1μ=0μ=1思考：一個(gè)正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個(gè)參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?由于正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱，因此，當(dāng)參數(shù)σ固定時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，所以參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，可以用均值來估計(jì)，故有0.4x-32-1-213Oμ=0y0.8σ=2σ=1σ=0.5當(dāng)μ固定時(shí)，因?yàn)檎龖B(tài)曲線的峰值

與σ成反比，而且對任意的

σ>0，正態(tài)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.因此，當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)σ較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散.所以σ反映了隨機(jī)變量的分布相對于均值μ的離散程度，可以用標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)，故有(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；正態(tài)曲線的性質(zhì)：歸納總結(jié)(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱，且在x=μ處取得最大值；(3)曲線與x軸之間的面積為1；(4)當(dāng)μ一定時(shí)，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.(5)參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的分布相對于均值μ的離散程度.在實(shí)際問題中，參數(shù)μ,σ可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)，故有0.4x-32-1-213Oμ=0y0.8σ=2σ=1σ=0.51.（1）若X～N(2,3)，則E(X)=____，D(X)=____.

（2）X～N(μ,σ2)，若E(X)=3，σ(X)=2，則μ=____，σ=____.

2332練習(xí)2.設(shè)有一正態(tài)總體，它的正態(tài)曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝

，則這個(gè)正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（

）A.10與8 B.10與2C.8與10 D.2與10解析：由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，總體的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.例：李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時(shí)30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時(shí)34min，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.

(1)估計(jì)X，Y的分布中的參數(shù)；解：隨機(jī)變量X的樣本均值為30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6；隨機(jī)變量Y的樣本均值為34，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.用樣本均值估計(jì)參數(shù)μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)σ，可以得到X~N(30,62)，Y~N(34,22).例題分析：對于第(1)問，正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義，可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì).課本P86

(2)根據(jù)(1)中的估計(jì)結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線;解：由(1)得X~N(30,62)，Y~N(34,22)，作出X和Y的分布密度曲線如圖所示.

(3)如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請說明理由.分析：對于第(3)問,這是一個(gè)概率決策問題,首先要明確決策的準(zhǔn)則,在給定的時(shí)間內(nèi)選擇不遲到概率大的交通工具；然后結(jié)合圖形，根據(jù)概率的表示，比較概率的大小，作出判斷．

(3)如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請說明理由.解：應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖可知，所以，如果有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎自行車；如果只有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大，應(yīng)選擇坐公交車.因?yàn)镻(X>38)>P(Y>38)，又因?yàn)镻(X≤34)>P(Y≤34)，所以1-P(X>38)<1-P(Y>38)，即P(X≤38)<P(Y≤38).課本87頁1.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,22)，隨機(jī)變量Y~N(0,32)，畫出分布密度曲線草圖，并指出P(X≤-2)與P(X≤2)的關(guān)系，以及P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關(guān)系.O1-1xyσ=3σ=22-2解：作出分布密度曲線如圖示，由圖可知，練習(xí)隨堂檢測3.如圖所示是當(dāng)σ取三個(gè)不同值σ1，σ2，σ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是（

）A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2＝1<σ3由正態(tài)曲線的性質(zhì)，得當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，反之越“矮胖”.故選D.4.已知η～N(1，4)，若P(η>2a)＝P(η<a－1),則a＝(

)A.－1

B.0

C.1 D.25.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線如圖所示，則總體的均值μ＝______，方差σ2＝_____.202若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ2).特別地，當(dāng)μ=0