廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)四校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考試題 數(shù)學(xué)（含答案）

1PAGE第14頁清新區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月期末四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)等于它共軛復(fù)數(shù)的倒數(shù)的充要條件是（）A. B. C. D.3.在等比數(shù)列中，，則（）A.4 B. C.8 D.54.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.5.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF2與圓O相交于M，N兩點(diǎn)．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.6.過圓上一點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.7.甲、乙、丙等5名同學(xué)參加政史地三科知識(shí)競(jìng)賽，每人隨機(jī)選擇一科參加競(jìng)賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競(jìng)賽，且這三科競(jìng)賽都有人參加概率為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、多選題（本題共4小題，每小題6分，共24分．每題至少兩項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C.平面 D.與所成角是10.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為2C.若，則的最大值為2D.若，則11.已知圓，圓分別是圓與圓上的點(diǎn)，則（）A若圓與圓無公共點(diǎn)，則B.當(dāng)時(shí)，兩圓公共弦所在直線方程為C.當(dāng)時(shí)，則斜率的最大值為D.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，則不可能等于12.已知函數(shù)，，其中且．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，曲線與曲線有且只有兩條公切線D.若為單調(diào)函數(shù)，則三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）13.第二屆廣東自由貿(mào)易試驗(yàn)區(qū)一聯(lián)動(dòng)發(fā)展區(qū)合作交流活動(dòng)于2023年12月13日—14日在湛江舉行，某區(qū)共有4名代表參加，每名代表是否被抽到發(fā)言相互獨(dú)立，且概率均為，記為該區(qū)代表中被抽到發(fā)言的人數(shù)，則______.14.函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.15.已知向量，，則使成立的一個(gè)充分不必要條件是______________．16.如圖，在四棱柱中，底面ABCD為正方形，，，，且二面角的正切值為．若點(diǎn)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在四棱柱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，則的最小值為______．四、解答題（本題共6小題，共70分）17.在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，求的最小值.18.設(shè)是等比數(shù)列且公比大于0，其前項(xiàng)和為是等差數(shù)列，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的最大整數(shù)的值．19.在四棱錐中，底面是正方形，若，，，（1）求四棱錐的體積；（2）求直線與平面夾角正弦值．20.甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取五場(chǎng)三勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主”，設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）在比賽進(jìn)行4場(chǎng)結(jié)束的條件下，求甲隊(duì)獲勝的概率；（2）賽事主辦方需要預(yù)支球隊(duì)費(fèi)用萬元．假設(shè)主辦方在前3場(chǎng)比賽每場(chǎng)收入100萬元，之后的比賽每場(chǎng)收入200萬元．主辦方該如何確定的值，才能使其獲利（獲利=總收入預(yù)支球隊(duì)費(fèi)用）的期望高于萬元？21.拋物線：，雙曲線：且離心率，過曲線下支上的一點(diǎn)作的切線，其斜率為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與交于不同的兩點(diǎn)，，以PQ為直徑的圓過點(diǎn)，過點(diǎn)N作直線的垂線，垂足為H，則平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)D，使得DH為定值，若存在，求出定值和定點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.22.已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由．清新區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月期末四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】D二、多選題（本題共4小題，每小題6分，共24分．每題至少兩項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.【答案】ABD10.【答案】AD11.【答案】BC12.【答案】BCD三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）13.【答案】##14.【答案】115.【答案】（答案不唯一）16.【答案】四、解答題（本題共6小題，共70分）17.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，進(jìn)而可求解，（2）根據(jù)面積公式以及余弦定理，結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】由正弦定理得：，又，，，；【小問2詳解】，，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，即的最小值為.18.【解析】【分析】（1）利用等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）先拆項(xiàng)分母得，再利用裂項(xiàng)相消法求和，進(jìn)而解不等式求滿足的最大整數(shù)的值.【小問1詳解】設(shè)的公比為，因?yàn)?，所以，即，解得或（舍），所以，設(shè)的公差為，因，所以，所以，解得，所以．故，.【小問2詳解】，即.所以.，化簡得，又，解得.所以滿足的最大整數(shù).19.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，可證平面，則為四棱錐的高，利用錐體體積公式求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量和平面的法向量，線面角的正弦值即為直線的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對(duì)值，求解即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?，又，，所以，在正方形中，，所以，所以，又，所以，即，又，平面，平面，所以平面，所以四棱錐的體積為；【小問2詳解】過作交于，則，結(jié)合（1）中平面，故可建如圖空間直角坐標(biāo)系：則，，，D0,1,0，故，，，設(shè)平面法向量為，則，故，取，則，，所以，設(shè)直線與平面夾角為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為.20.【解析】【分析】（1）先求出比賽4場(chǎng)結(jié)束的概率，然后利用條件概率公式即可解答；（2）先由題意列出比賽收入的分布列，從而求出期望值，進(jìn)而根據(jù)題意確定的值.【小問1詳解】記事件為“比賽進(jìn)行4場(chǎng)結(jié)束”；事件為“甲最終獲勝”，事件表示“第場(chǎng)甲獲勝”，事件為“比賽進(jìn)行4場(chǎng)結(jié)束甲獲勝”；事件為“比賽進(jìn)行4場(chǎng)結(jié)束乙獲勝”．則，因?yàn)楦鲌?chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以，，因?yàn)榛コ?，所以．又因?yàn)?，所以由條件概率計(jì)算公式得.【小問2詳解】設(shè)主辦方本次比賽總收入為萬元，由題意：的可能取值為：．，，，則隨機(jī)變量的分布列為：3005007000.260.370.37所以．設(shè)主辦方本次比賽獲利為萬元，則，所以，由題意：，所以預(yù)支球隊(duì)的費(fèi)用應(yīng)小于261萬元．21.【解析】【分析】（1）寫出切線方程并與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)M坐標(biāo)，再結(jié)合離心率求出雙曲線方程作答.（2）當(dāng)直線PQ不垂直于y軸時(shí)，設(shè)出直線方程并與的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及向量數(shù)量積求出直線PQ過定點(diǎn)E，直線PQ垂直于y軸，驗(yàn)證也過定點(diǎn)E，取線段EN中點(diǎn)即可作答.【小問1詳解】切線方程為，即，由消去y并整理得：，則，解得，即，由離心率得，即，雙曲線，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線PQ不垂直于y軸時(shí)，設(shè)直線方程為，，，由消去x并整理得：，有，，，，，因以為直徑的圓過點(diǎn)，則當(dāng)P，Q與N都不重合時(shí)，有，，當(dāng)P，Q之一與N重合時(shí)，成立，于是得，則有，即，整理得，即，因此，解得或，均滿足，當(dāng)時(shí)，直線：恒過，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線：，即恒過，符合題意，當(dāng)直線PQ垂直于y軸時(shí)，設(shè)直線，由解得，因以為直徑的圓過點(diǎn)，則由對(duì)稱性得，解得，直線過點(diǎn)，于是得直線過定點(diǎn)，取EN中點(diǎn)，因于H，從而，所以存在定點(diǎn)D，使得為定值，點(diǎn).22.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可求出，，即可求出雙曲線的方程；（2）設(shè)，，.設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立得到，根據(jù)韋達(dá)定理求出，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，整理得到，因?yàn)樵撌綖槌?shù)，所以有，求出，代入即可求出常數(shù).【小問1詳解】由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線焦點(diǎn)，.則到漸近線，即的距離為