人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第二章2.2.3直線的一般式方程課件

2.2.3直線的一般式方程第二章直線和圓的方程2.2直線的方程整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的一般式．(邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象)2．會(huì)進(jìn)行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)(教師用書)前面學(xué)習(xí)了直線方程的四種形式，但它們各自有自己的適用條件，也就是說上述方程形式不是對(duì)任何直線都適用．那么是否存在一種方程形式，對(duì)任何直線都適用？[討論交流]

問題1．直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程分別有什么特點(diǎn)？它們的方程能否化簡為統(tǒng)一的形式？問題2．Ax＋By＋C＝0表示直線的條件是什么？問題3．如何把直線的一般式化為斜截式？[自我感知]

經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1直線的一般式方程探究問題1

y＝x＋2是二元一次方程嗎？方程5x＋2y－7＝0表示一條直線嗎？

探究問題2直線與二元一次方程有何關(guān)系？[提示]

直線的方程都可以化為二元一次方程；二元一次方程都表示直線．

Ax＋By＋C＝0【教用·微提醒】

(1)方程是關(guān)于x，y的二元一次方程．(2)方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列．(3)x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)．(4)雖然直線方程的一般式有三個(gè)參數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程．(5)解題時(shí)，如無特殊說明，應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式．

反思領(lǐng)悟

(1)由直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程去分母、移項(xiàng)就可以轉(zhuǎn)化為直線的一般式方程(化為一般式方程后原方程的限制條件就消失了)．(2)反過來，也可以由直線的一般式方程化為斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的適用條件．[學(xué)以致用]

1．已知△ABC中，A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)，則AB邊上的高所在的直線方程是(

)A．2x＋y－7＝0

B．2x－y－1＝0C．x＋2y－8＝0

D．x－2y＋4＝0√

2．把直線l的一般式方程x－2y＋6＝0化為斜截式，求出直線l的斜率以及它在x軸與y軸上的截距，并畫出圖形．

探究2利用一般式研究直線的平行與垂直探究問題3已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．若B1，B2≠0，則由l1∥l2，l1⊥l2可得什么結(jié)論？

【教用·微提醒】

(1)A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)表示截距不同，排除重合的情況．(2)A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之積為－1的垂直，又包含一個(gè)斜率為0，一個(gè)不存在的垂直．[新知生成]已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0)．(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0．(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．

√√√

反思領(lǐng)悟

1．判定平行、垂直的兩種方法(1)化成斜截式方程看斜率和截距的關(guān)系，但要注意k＝0和k不存在的情況．(2)化成一般式方程，用充要條件判斷．2．與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0．[學(xué)以致用]

3．已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：(1)過點(diǎn)(－1，3)，且與l平行；(2)過點(diǎn)(－1，3)，且與l垂直．

[母題探究]本例條件不變，求證：不論m為何值，直線l總經(jīng)過第二象限．

反思領(lǐng)悟

含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時(shí)為0．(2)令x＝0可得在y軸上的截距，且x的系數(shù)不為0．令y＝0可得在x軸上的截距，且y的系數(shù)不為0．若確定直線斜率存在，則可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程要注意驗(yàn)根．[學(xué)以致用]

4．直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【鏈接·教材例題】例6把直線l的一般式方程x－2y＋6＝0化為斜截式，求出直線l的斜率以及它在x軸與y軸上的截距，并畫出圖形．[分析]

求直線l在x軸上的截距，即求直線l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，只要在直線l的方程中令y＝0即可得x的值．

應(yīng)用遷移23題號(hào)41

√

23題號(hào)412．直線x＋3y＋m＝0和直線3x－y＋n＝0的位置關(guān)系是(

)A．平行

B．垂直C．不平行也不垂直

D．與m，n的取值有關(guān)√B

[因?yàn)閮芍本€斜率之積等于－1，所以兩直線垂直．]23題號(hào)413．已知直線l過點(diǎn)(0，3)，且與直線x－y－1＝0平行，則l的方程是(

)A．x＋y－2＝0

B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0

D．x－y＋3＝0√D

[設(shè)直線l的方程為x－y＋c＝0(c≠－1)，由點(diǎn)(0，3)在直線x－y＋c＝0上，得0－3＋c＝0，解得c＝3，因此直線l的方程為x－y＋3＝0．]23題號(hào)41

6

回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．試寫出直線的一般式方程．[提示]

Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)．2．在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)中，A，B，C為何值時(shí)，方程表示的直線(1)平行于x軸？(2)與x軸重合？(3)平行于y軸？(4)與y軸重合？

3．如何根據(jù)直線的一般式方程求直線的斜率和直線在x軸、y軸上的截距？

課時(shí)分層作業(yè)(十六)直線的一般式方程題號(hào)135246879101112131415

√

題號(hào)1352468791011121314152．兩條直線l1：ax＋(1＋a)y＝3，l2：(a＋1)x＋(3－2a)y＝2互相垂直，則a的值是(

)A．0

B．－1C．－1或3

D．0或－1√C

[因?yàn)橹本€ax＋(1＋a)y＝3與(a＋1)x＋(3－2a)y＝2互相垂直，所以a(a＋1)＋(1＋a)(3－2a)＝0，解得a＝－1或

a＝3．故選C．]題號(hào)3524687910111213141513．過點(diǎn)(1，0)且與直線x－2y－2＝0垂直的直線方程是(

)A．x－2y＋1＝0

B．x－2y－1＝0C．x＋2y－1＝0

D．2x＋y－2＝0√

題號(hào)3524687910111213141514．已知直線l1：2x＋2y－5＝0，l2：4x＋ny＋1＝0，l3：mx＋6y－5＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，則m＋n的值為(

)A．－10

B．10C．－2

D．2√

題號(hào)3524687910111213141515．(多選)已知直線l1：mx＋y＋m－1＝0，直線l2：4x＋my＋3m－4＝0，下列命題中正確的是(

)A．若l1⊥l2，則m＝0B．當(dāng)m＝0時(shí)，n＝(1，0)是直線l1的一個(gè)方向向量C．若l1∥l2，則m＝2或m＝－2D．若直線l2在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)m＝4√√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151二、填空題6．若直線(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的傾斜角是45°，則實(shí)數(shù)m＝________．

3題號(hào)352468791011121314151

x－3y＋24＝0

題號(hào)3524687910111213141518．直線2x－y－2＝0繞它與y軸的交點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°所得的直線方程是___________________．

x＋2y＋4＝0

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)35246879101112131415110．(多選)已知直線l1：mx－y－3＝0，直線l2：4x－my＋6＝0，則下列命題正確的有(

)A．直線l1恒過點(diǎn)(0，－3)B．存在m使得直線l2的傾斜角為90°C．若l1∥l2，則m＝2或m＝－2D．存在實(shí)數(shù)m使得l1⊥l2√√√

題號(hào)352468791011121314151題號(hào)352468791011121314151

√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)35246879101112131415112．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直線l：ax＋(a2－3)y－9＝0與△ABC的歐拉線平行，則實(shí)數(shù)a的值為(

)A．－2

B．－1