人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第一章1.3.1空間直角坐標系課件

1.3.1空間直角坐標系第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運算的坐標表示整體感知[學習目標]

1．了解空間直角坐標系．(數(shù)學抽象)2．能在空間直角坐標系中寫出所給定點、向量的坐標．(數(shù)學運算)(教師用書)在直線上建立數(shù)軸后，就可以用一個數(shù)刻畫點在直線上的位置；平面向量中，我們借助平面向量基本定理以及兩個互相垂直的單位向量，引進了平面向量的坐標．空間向量是否可以引進類似的坐標？[討論交流]

問題1．如何類比平面直角坐標系，理解空間直角坐標系？問題2．在空間直角坐標系中，點和向量的坐標是如何定義的？問題3．在空間直角坐標系中，坐標軸上的點的坐標有何特征？問題4．在空間直角坐標系中，點和向量的坐標的求解步驟是什么？[自我感知]

經(jīng)過認真的預習，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1空間直角坐標系及點的坐標探究問題1利用單位正交基底的概念，我們?nèi)绾卫斫馄矫嬷苯亲鴺讼担款愃频?，如何建立空間直角坐標系？[提示]

在平面內(nèi)選定一點O和一個單位正交基底{i，j}，以O為原點，分別以i，j的方向為正方向、以它們的長度為單位長度建立兩條數(shù)軸：x軸、y軸，這樣就建立了一個平面直角坐標系．類似地，在空間中選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}來建立空間直角坐標系．[新知生成]1．空間直角坐標系(1)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：_____________，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系．x軸、y軸、z軸(2)有關概念坐標軸__軸、__軸、__軸原點點__坐標向量__，__，__坐標平面Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它們把空間分成__個部分xyzOijk八(3)建系的常用規(guī)則①畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.②在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向___的正方向，食指指向___的正方向，如果中指指向___的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．x軸y軸z軸

xi＋yj＋zk(x，y，z)橫坐標縱坐標豎坐標3．空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標的特點點的位置x軸上y軸上z軸上坐標的形式(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)

點的位置Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)坐標的形式(x，y，0)(0，y，z)(x，0，z)【教用·微提醒】

(1)基向量滿足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.(2)建立的坐標系一般為右手直角坐標系．[典例講評]

1．在棱長均為2a的正四棱錐P-ABCD中，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系．(1)寫出正四棱錐P-ABCD各頂點的坐標；(2)寫出棱PB的中點M的坐標．

[母題探究]本例條件不變，寫出棱PD中點的坐標，寫出AB中點的坐標．

反思領悟

1．若已給出坐標系，不用再建系，若未給出坐標系，建立空間直角坐標系時應遵循以下原則：(1)讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內(nèi)．(2)充分利用幾何圖形的對稱性．2．求某點的坐標時，一般先找這一點在某一坐標平面上的射影，確定其兩個坐標，再找出它在另一坐標軸上的射影(或者通過它到這個坐標平面的距離加上正負號)進而確定第三個坐標．[學以致用]

1．在空間直角坐標系Oxyz中，已知點M是點N(3，4，5)在坐標平面Oxy內(nèi)的射影，則點M的坐標是(

)A．(3，0，5)

B．(0，4，5)C．(3，4，0)

D．(0，0，5)√C

[根據(jù)題意，點N(3，4，5)在坐標平面Oxy內(nèi)的射影為(3，4，0)，結(jié)合空間中點的坐標運算可得點M的坐標是(3，4，0)．故選C．]2．畫一個正方體ABCD-A1B1C1D1，以A為坐標原點，棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，取正方體的棱長為單位長度．

(1)求各頂點的坐標；(2)求棱CC1的中點M的坐標；(3)求四邊形AA1B1B的對角線的交點N的坐標．

√√

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

點P(x，y，z)關于坐標軸、坐標平面對稱的點P′的坐標與點P的坐標有什么關系？[提示]

關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反，如點(x，y，z)關于y軸的對稱點為(－x，y，－z)，關于Ozx平面的對稱點為(x，－y，z)．[學以致用]

3．點A(3，4，5)關于坐標平面Oyz對稱的點B的坐標為(

)A．(3，4，－5)

B．(－3，4，5)C．(－3，4，－5)

D．(－3，－4，－5)√B

[關于坐標平面Oyz對稱的點，橫坐標變換為其相反數(shù)，縱坐標、豎坐標不變．即點A(3，4，5)關于坐標平面Oyz對稱的點B的坐標為(－3，4，5)．故選B．]4．(多選)在空間直角坐標系中，點P的坐標為(－4，1，2)，則下列說法正確的是(

)A．點P關于原點對稱的點是(4，－1，－2)B．點P關于x軸對稱的點是(4，1，2)C．點P關于Ozx平面對稱的點是(－4，－1，2)D．點P關于點(1，1，1)對稱的點是(－9，1，3)√√AC

[在空間直角坐標系中，點P(－4，1，2)，對于A，點P關于原點對稱的點的坐標是P1(4，－1，－2)，A正確；對于B，點P關于x軸對稱的點的坐標是P2(－4，－1，－2)，B錯誤；對于C，點P關于Ozx平面對稱的點的坐標是P3(－4，－1，2)，C正確；對于D，點P關于點(1，1，1)對稱的點的坐標是P4(2－(－4)，2－1，2－2)＝(6，1，0)，D錯誤．故選AC．]【教用·備選題】1．已知點A(－2，3，4)，則點A關于原點的對稱點的坐標為(

)A．(2，3，4)

B．(－2，－3，4)C．(－2，3，－4)

D．(2，－3，－4)√D

[在空間直角坐標系Oxyz中，點A(－2，3，4)關于原點的對稱點坐標為(2，－3，－4)．故選D．]2．在空間直角坐標系中，點(3，1，－2)關于Ozx平面的對稱點的坐標為(

)A．(－3，1，2)

B．(－3，－1，2)C．(－2，1，3)

D．(3，－1，－2)√D

[點(3，1，－2)關于Ozx平面的對稱點的坐標為(3，－1，－2)．故選D．]3．在空間直角坐標系中，O為原點，已知點P(1，2，－1)，A(0，1，2)，則(

)A．點P關于點A的對稱點為(2，3，－4)B．點P關于x軸的對稱點為(1，－2，－1)C．點P關于y軸的對稱點為(－1，2，1)D．點P關于Oxy平面的對稱點為(1，－2，1)√C

[由中點坐標公式可知，點P(1，2，－1)關于A(0，1，2)的對稱點的坐標是(－1，0，5)，所以A不正確；點P關于x軸的對稱點為(1，－2，1)，所以B不正確；點P關于y軸的對稱點為(－1，2，1)，所以C正確；點P關于Oxy平面的對稱點為(1，2，1)，所以D不正確．故選C．]

[提示]

(x，y，z)

(x，y，z)

(x，y，z)

反思領悟

用坐標表示空間向量的步驟

應用遷移23題號411．在空間直角坐標系中，點(1，－2，3)關于y軸對稱點的坐標是(

)A．(－1，2，3)

B．(－1，－2，－3)C．(－1，2，－3)

D．(1，－2，－3)√B

[在空間直角坐標系中，點(1，－2，3)關于y軸對稱的點坐標為(－1，－2，－3)．故選B．]23題號41

√

23題號413．如圖所示，在空間直角坐標系Oxyz中，已知長方體OABC-O′A′B′C′，OA＝3，OC＝4，OO′＝2，則點O′的坐標為_________，點A′的坐標為__________，點B′的坐標為__________．(0，0，2)

(3，0，2)

(3，4，2)

23題號41(0，0，2)

(3，0，2)

(3，4，2)

[點O′在z軸上，且OO′＝2，則它的豎坐標為2，又它的橫坐標和縱坐標都為0，所以點O′的坐標為(0，0，2)．點A′在Ozx平面內(nèi)，則它的縱坐標為0．點A′在x軸、z軸上的射影依次為點A、點O′，又OA＝3，OO′＝2，所以點A′的橫坐標和豎坐標依次為3，2，即點A′的坐標為(3，0，2)．點B′在x軸、y軸和z軸上的射影依次為點A、點C和點O′，所以點B′的坐標為(3，4，2)．]23題號41

(1，0，0)

(1，0，1)

1．知識鏈：(1)空間直角坐標系的概念．(2)空間點的坐標．(3)空間向量的坐標．2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合、類比聯(lián)想．3．警示牌：混淆空間點的坐標和向量坐標的概念．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．在空間幾何圖形中如何建立空間直角坐標系？[提示]

(1)觀察圖形，尋找兩兩垂直的三條直線，必要時作輔助線．(2)讓盡量多的點落在坐標軸或坐標平面內(nèi)．(3)充分利用幾何圖形的對稱性．2．如何確定空間一點P的坐標？[提示]

先將P投射(沿與z軸平行的方向)到Oxy平面上的一點P1，由P1P的長度及與z軸正方向的異同確定豎坐標z，再在Oxy平面上同平面直角坐標系中一樣的方法確定P1的橫坐標x，縱坐標y，最后得出點P的坐標(x，y，z)．3．如何求空間向量的坐標？[提示]

在空間直角坐標系中，把向量用單位正交基底{i，j，k}表示，從而求出空間向量的坐標．課時分層作業(yè)(五)空間直角坐標系題號135246879101112131415

√

題號1352468791011121314152．已知點N與點M(1，－2，3)關于x軸對稱，則點N的坐標為(

)A．(1，2，－3)

B．(－1，－2，3)C．(－1，－2，－3)

D．(1，－2，－3)√A

[依題意，點M(1，－2，3)關于x軸的對稱點N(1，2，－3)．故選A．]題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號3524687910111213141514．已知A(1，2，－1)，B為A關于平面Oxy的對稱點，C為B關于y軸的對稱點，則C的坐標為(

)A．(－2，0，－2)

B．(2，0，2)C．(－1，2，－1)

D．(0，－2，－2)√C

[∵A(1，2，－1)，B為A關于平面Oxy的對稱點，C為B關于y軸的對稱點，∴B(1，2，1)，C(－1，2，－1)，故選C．]題號3524687910111213141515．(多選)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直線DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則(

)

A．點B1的坐標為(4，5，3)B．點C1關于點B對稱的點為(5，8，－3)C．點A關于直線BD1對稱的點為(0，5，3)D．點C關于平面ABB1A1對稱的點為(8，5，0)√√√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151二、填空題6．已知{i，j，k}是空間的一個單位正交基底，向量b＝－5i＋2k用坐標形式可表示為______________．(－5，0，2)

[因為{i，j，k}是空間的一個單位正交基底，則有b＝－5i＋2k＝(－5，0，2)．所以向量b＝－5i＋2k用坐標形式表示為(－5，0，2)．](－5，0，2)

題號352468791011121314151

(0，4，－3)(－4，0，－3)

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151三、解答題9．如圖所示，AF，DE分別是⊙O，⊙O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8．BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE∥AD，試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出點A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標．題號352468791011121314151[解]

因為AD與兩圓所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE與兩圓所在的平面也都垂直．題號352468791011121314151

題號35246879101112131415110．在空間直角坐標系Oxyz中，若點M(a，b＋3，2c＋1)關于y軸的一個對稱點M′的坐標為(－4，－2，15)，則a＋b＋c的值(

)A．10

B．－17

C．－9

D．2√

題號35246879101112131415111．設點M為不在坐標平面上的點．若點M關于坐標平面Ozx的對稱點記為M1，M1關于坐標原點的對稱點為M2，則M關于以下哪條坐標軸對稱可以得到M2(

)A．x軸

B．y軸C．z軸

D．以上都不對√B

[設M(x，y，z)，點M關于坐標平面Ozx的對稱點記為M1，故M1(x，－y，z)，M1關于坐標原點的對稱點為M2，則M2(－x，y，－z)，M關于y軸對稱得到M2，故ACD錯誤，B正確．故選B．]題號352468791011121314151