人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第一章1.4.2第2課時用空間向量研究夾角問題課件

第2課時用空間向量研究夾角問題第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題整體感知[學(xué)習(xí)目標]

1．會用向量法求線線、線面、面面夾角．(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)2．能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)(教師用書)在必修教材中，我們學(xué)習(xí)過異面直線所成的角、直線與平面相交所成的角以及兩個平面相交所成的二面角．那么，在空間中怎樣描述這些角呢？這些角的大小與直線的方向向量、平面的法向量有何關(guān)系？[討論交流]

問題1．兩條異面直線、直線和平面、兩個平面的夾角的向量計算公式分別是什么？問題2．直線和平面的夾角與直線方向向量、平面法向量的夾角有什么關(guān)系？問題3．兩個平面的夾角和二面角有什么區(qū)別？問題4．用向量解決空間線面夾角問題的一般步驟是什么？[自我感知]

經(jīng)過認真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1兩異面直線所成的角探究問題1如何求兩個向量a，b的夾角？

探究問題2能否借助兩個向量的夾角來求兩異面直線所成的角．[提示]

可以．可轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角問題來解決．

【鏈接·教材例題】例7如圖1.4-19，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值．

[典例講評]

1．(源自北師大版教材)如圖所示，在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′與A′D夾角的余弦值．

反思領(lǐng)悟

求異面直線所成角的步驟(1)確定兩條異面直線的方向向量．(2)確定兩個向量夾角的余弦值的絕對值．(3)得出兩條異面直線所成的角．

√

√

探究2直線與平面所成的角探究問題3直線的方向向量與平面的法向量所成的角是直線與平面所成的角嗎？[提示]

不是．探究問題4設(shè)直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量為v，平面的法向量為n，則θ與〈v，n〉有什么關(guān)系？

[典例講評]

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E為PD中點，且PA＝1.(1)求證：PB∥平面ACE；(2)求直線BE與平面PCD所成角的余弦值．

[學(xué)以致用]

3．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F(xiàn)分別為C1C，BC的中點．求A1B與平面AEF所成角的正弦值．

探究3兩平面的夾角探究問題5兩個平面的夾角與二面角的平面角有什么區(qū)別？

探究問題6設(shè)n1，n2分別是平面α1，α2的一個法向量，平面α1與平面α2的夾角為θ，則θ與〈n1，n2〉的關(guān)系是什么？[提示]

兩平面的夾角是兩平面法向量的夾角或其補角，即θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．

不大于90°

【鏈接·教材例題】例8如圖1.4-22，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P為BC的中點，點Q，R分別在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值．[分析]

因為平面PQR與平面A1B1C1的夾角可以轉(zhuǎn)化為平面PQR與平面A1B1C1的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個平面的法向量的夾角即可．[解]

化為向量問題以C1為原點，C1A1，C1B1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-22所示的空間直角坐標系．設(shè)平面A1B1C1的法向量為n1，平面PQR的法向量為n2，則平面PQR與平面A1B1C1的夾角就是n1與n2的夾角或其補角．進行向量運算因為C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一個法向量為n1＝(0，0，1)．

[解]

(1)證明：如圖，連接DE，AE，因為DC＝DB，且E為BC的中點，所以DE⊥BC．因為∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，所以△ADB≌△ADC(SAS)．可得AC＝AB，故AE⊥BC．因為DE∩AE＝E，DE，AE?平面ADE，所以BC⊥平面ADE.又DA?平面ADE，所以BC⊥DA．

反思領(lǐng)悟利用坐標法求兩個平面夾角的步驟(1)建立空間直角坐標系．(2)分別求出兩個面所在平面的法向量的坐標．(3)求兩個法向量的夾角．(4)確定兩平面夾角的大小．

【教用·備選題】如圖所示，四棱錐P-ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△PAB為等邊三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q為PB的中點．

(1)求證：AQ⊥平面PBC；(2)求平面PBC與平面PCD夾角的余弦值．[解]

(1)證明：因為AB∥CD，∠BCD＝90°，所以AB⊥BC，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB．又AQ?平面PAB，所以BC⊥AQ.因為Q為PB的中點，且△PAB為等邊三角形，所以PB⊥AQ.又PB∩BC＝B，所以AQ⊥平面PBC．(2)法一：取AB的中點O，連接PO，OD，因為△PAB為等邊三角形，所以PO⊥AB．因為平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD．由AB＝2BC＝2CD＝4，AB∥CD，得OB＝CD，且OB∥CD，所以四邊形OBCD為平行四邊形，可得OD∥BC，又∠ABC＝90°，所以O(shè)D⊥AB．

法三：如圖，取AB的中點為O，連接PO，OD，因為△PAB為等邊三角形，所以PO⊥AB．因為平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD．

【鏈接·教材例題】例9圖1.4-23為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2，精確到0.01N)．[分析]

因為降落傘勻速下落，所以降落傘8根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大?。?根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量．

【鏈接·教材例題】例10如圖1.4-25，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(1)求證：PA∥平面EDB；(2)求證：PB⊥平面EFD；(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小．[分析]

本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角．這些問題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側(cè)棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素，進而解決問題．

應(yīng)用遷移23題號411．已知空間兩異面直線所成的角的取值集合為A，直線與平面所成角的取值集合為B，則(

)A．A＝B

B．A?BC．B?A

D．A∩B＝?√

23題號41

√

23題號41

√C

[因為四邊形ABCD為正方形，所以DC⊥DA，因為平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，CD?底面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又因為PD?平面PAD，所以CD⊥PD，同理可得AD⊥PD，23題號41

23題號4123題號41

1．知識鏈：(1)用向量求兩條異面直線所成的角．(2)用向量求直線與平面所成的角．(3)用向量求兩個平面的夾角．2．方法鏈：向量法、化歸轉(zhuǎn)化．3．警示牌：混淆兩個向量的夾角和空間角的關(guān)系，不能正確理解空間角的概念、把握空間角的范圍．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．用向量語言表述兩條異面直線所成的角．

2．用向量語言表述直線和平面所成的角．

3．用向量語言表述平面和平面的夾角．

4．試總結(jié)用坐標法求兩平面的夾角的步驟．[提示]

(1)建立空間直角坐標系，求出相應(yīng)點的坐標；(2)求出兩個平面的法向量；(3)求出兩個法向量的夾角；(4)兩個法向量的夾角或其補角就是兩平面的夾角．課時分層作業(yè)(十一)用空間向量研究夾角問題題號135246879101112131415

√

題號135246879101112131415題號1352468791011121314152．我們稱：兩個相交平面構(gòu)成四個二面角，其中不大于90°的二面角稱為這兩個相交平面的夾角；由正方體的四個頂點所確定的平面統(tǒng)稱為該正方體的“表截面”．則在正方體中，兩個不重合的“表截面”的夾角大小不可能為(

)A．30°

B．45°C．60°

D．90°√題號135246879101112131415A

[若“表截面”為平面ABC1D1與平面ABCD，則它們的夾角為45°，即B正確；若“表截面”為平面ABC1D1與平面BDD1B1，以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，因為四邊形ADD1A1為正方形，所以A1D⊥AD1，因為AB⊥平面ADD1A1，且A1D?平面ADD1A1，所以AB⊥A1D，又AD1∩AB＝A，AD1，AB?平面ABC1D1，

題號135246879101112131415題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號3524687910111213141514．(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則(

)A．直線AB1與CD1所成的角為90°B．直線AD1與CA1所成的角為90°C．直線AD1與平面BB1D1D所成的角為45°D．直線AD1與平面ABCD所成的角為45°√√√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151二、填空題6．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝2AC＝2BC，則直線AB1與直線BC1所成角的余弦值為________．

題號352468791011121314151

題號3524687910111213141517．在空間直角坐標系中，已知A(a2，2a，6)，B(0，0，1)，C(1，1，2)，D(－1，0，3)，E(a2，0，5)，則當(dāng)點A到平面BCD的距離最小時，直線AE與平面BCD所成角的正弦值為________．

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151題號352468791011121314151三、解答題9．(2023·新高考Ⅰ卷)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)證明：B2C2∥A2D2；(2)點P在棱BB1上，當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P.題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151題號352468791011121314151

√

題號352468791011121314151題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號35246879101112