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文檔簡介
河北省灤南縣2025屆高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C.13 D.2.的展開式中,含項的系數(shù)為()A. B. C. D.3.設是虛數(shù)單位,復數(shù)()A. B. C. D.4.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個,則選取的個表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.5.已知復數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i6.下列判斷錯誤的是()A.若隨機變量服從正態(tài)分布,則B.已知直線平面,直線平面,則“”是“”的充分不必要條件C.若隨機變量服從二項分布:,則D.是的充分不必要條件7.若集合,則=()A. B. C. D.8.在等腰直角三角形中,,為的中點,將它沿翻折,使點與點間的距離為,此時四面體的外接球的表面積為().A. B. C. D.9.在等差數(shù)列中,若,則()A.8 B.12 C.14 D.1010.已知復數(shù)滿足,則的共軛復數(shù)是()A. B. C. D.11.設全集,集合,則=()A. B. C. D.12.設集合,,若集合中有且僅有2個元素,則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知變量(m>0),且,若恒成立,則m的最大值________.14.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,,則球的表面積為__________.15.設,滿足約束條件,則的最大值為______.16.已知一組數(shù)據(jù)1.6,1.8,2,2.2,2.4,則該組數(shù)據(jù)的方差是_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)的最大值為,其中.(1)求實數(shù)的值;(2)若求證:.18.(12分)已知函數(shù),.(1)當為何值時,軸為曲線的切線;(2)用表示、中的最大值,設函數(shù),當時,討論零點的個數(shù).19.(12分)如圖,已知在三棱錐中,平面,分別為的中點,且.(1)求證:;(2)設平面與交于點,求證:為的中點.20.(12分)在中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且向量與向量共線.(1)求B;(2)若,,且,求BD的長度.21.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,,為的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)若“,”為假命題,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由已知畫出可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值.【詳解】解:表示可行域內的點到坐標原點的距離的平方,畫出不等式組表示的可行域,如圖,由解得即點到坐標原點的距離最大,即.故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結合的數(shù)學思想以及運算求解能力,屬于基礎題.2、B【解析】
在二項展開式的通項公式中,令的冪指數(shù)等于,求出的值,即可求得含項的系數(shù).【詳解】的展開式通項為,令,得,可得含項的系數(shù)為.故選:B.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,二項展開式的通項公式,二項式系數(shù)的性質,屬于基礎題.3、D【解析】
利用復數(shù)的除法運算,化簡復數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,復數(shù),故選D.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的除法運算,其中解答中熟記復數(shù)的除法運算法則是解答的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.4、A【解析】
根據(jù)線面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對數(shù),再求出四個面中任選2個的方法數(shù),從而可計算概率.【詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法,而選取的個表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【點睛】本題考查古典概型概率,解題關鍵是求出基本事件的個數(shù).5、D【解析】
兩邊同乘-i,化簡即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復數(shù)為1+2i,選D.【點睛】的共軛復數(shù)為6、D【解析】
根據(jù)正態(tài)分布、空間中點線面的位置關系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質等知識,依次對四個選項加以分析判斷,進而可求解.【詳解】對于選項,若隨機變量服從正態(tài)分布,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性,有,故選項正確,不符合題意;對于選項,已知直線平面,直線平面,則當時一定有,充分性成立,而當時,不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要條件,故選項正確,不符合題意;對于選項,若隨機變量服從二項分布:,則,故選項正確,不符合題意;對于選項,,僅當時有,當時,不成立,故充分性不成立;若,僅當時有,當時,不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項不正確,符合題意.故選:D【點睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點線面的位置關系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質等知識,考查理解辨析能力與運算求解能力,屬于基礎題.7、C【解析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計算能力,屬于基礎題.8、D【解析】
如圖,將四面體放到直三棱柱中,求四面體的外接球的半徑轉化為求三棱柱外接球的半徑,然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點,這樣根據(jù)幾何關系,求外接球的半徑.【詳解】中,易知,翻折后,,,設外接圓的半徑為,,,如圖:易得平面,將四面體放到直三棱柱中,則球心在上下底面外接圓圓心連線中點,設幾何體外接球的半徑為,,四面體的外接球的表面積為.故選:D【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積,意在考查空間想象能力,和計算能力,屬于中檔題型,求幾何體的外接球的半徑時,一般可以用補形法,因正方體,長方體的外接球半徑容易求,可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體,比如三條側棱兩兩垂直的三棱錐,或是構造直角三角形法,確定球心的位置,構造關于外接球半徑的方程求解.9、C【解析】
將,分別用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【詳解】設等差數(shù)列的首項為,公差為,則由,,得解得,,所以.故選C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解,難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值,可通過構建和的方程組求通項公式.10、B【解析】
根據(jù)復數(shù)的除法運算法則和共軛復數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】由,得,所以.故選:B【點睛】本題考查了復數(shù)的除法的運算法則,考查了復數(shù)的共軛復數(shù)的定義,屬于基礎題.11、A【解析】
先求得全集包含的元素,由此求得集合的補集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎題.12、B【解析】
由題意知且,結合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關系及運算,以及借助數(shù)軸解決有關問題,其中確定中的元素是解題的關鍵,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
在不等式兩邊同時取對數(shù),然后構造函數(shù)f(x)=,求函數(shù)的導數(shù),研究函數(shù)的單調性即可得到結論.【詳解】不等式兩邊同時取對數(shù)得,即x2lnx1<x1lnx2,又即成立,設f(x)=,x∈(0,m),∵x1<x2,f(x1)<f(x2),則函數(shù)f(x)在(0,m)上為增函數(shù),函數(shù)的導數(shù),由f′(x)>0得1﹣lnx>0得lnx<1,得0<x<e,即函數(shù)f(x)的最大增區(qū)間為(0,e),則m的最大值為e故答案為:e【點睛】本題考查函數(shù)單調性與導數(shù)之間的應用,根據(jù)條件利用取對數(shù)得到不等式,從而可構造新函數(shù),是解決本題的關鍵14、【解析】
如圖所示,將三棱錐補成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,計算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,意在考查學生的計算能力和空間想象能力,將三棱錐補成長方體是解題的關鍵.15、29【解析】
由約束條件作出可行域,化目標函數(shù)為以原點為圓心的圓,數(shù)形結合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標,代入目標函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖:聯(lián)立,解得,目標函數(shù)是以原點為圓心,以為半徑的圓,由圖可知,此圓經過點A時,半徑最大,此時也最大,最大值為.所以本題答案為29.【點睛】線性規(guī)劃問題,首先明確可行域對應的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線,其次確定目標函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等,最后結合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍.16、0.08【解析】
先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),然后利用方差的公式可得結果.【詳解】首先求得,.故答案為:0.08.【點睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差,明確方差的計算公式是求解的關鍵,側重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1;(2)證明見解析.【解析】
(1)利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得的最大值,進而求得的值.(2)利用(1)的結論,將轉化為,求得的取值范圍,利用換元法,結合函數(shù)的單調性,證得,由此證得不等式成立.【詳解】(1)當時,取得最大值.(2)證明:由(1)得,,,當且僅當時等號成立,令,則在上單調遞減當時,.【點睛】本小題主要考查含有絕對值的函數(shù)的最值的求法,考查利用基本不等式進行證明,屬于中檔題.18、(1);(2)見解析.【解析】
(1)設切點坐標為,然后根據(jù)可解得實數(shù)的值;(2)令,,然后對實數(shù)進行分類討論,結合和的符號來確定函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】(1),,設曲線與軸相切于點,則,即,解得.所以,當時,軸為曲線的切線;(2)令,,則,,由,得.當時,,此時,函數(shù)為增函數(shù);當時,,此時,函數(shù)為減函數(shù).,.①當,即當時,函數(shù)有一個零點;②當,即當時,函數(shù)有兩個零點;③當,即當時,函數(shù)有三個零點;④當,即當時,函數(shù)有兩個零點;⑤當,即當時,函數(shù)只有一個零點.綜上所述,當或時,函數(shù)只有一個零點;當或時,函數(shù)有兩個零點;當時,函數(shù)有三個零點.【點睛】本題考查了利用導數(shù)的幾何意義研究切線方程和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值,關鍵是分類討論思想的應用,屬難題.19、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1)要做證明,只需證明平面即可;(2)易得∥平面,平面,利用線面平行的性質定理即可得到∥,從而獲得證明【詳解】證明:(1)因為平面,平面,所以.因為,所以.又因為,平面,平面,所以平面.又因為平面,所以.(2)因為平面與交于點,所以平面.因為分別為的中點,所以∥.又因為平面,平面,所以∥平面.又因為平面,平面平面,所以∥,又因為是的中點,所以為的中點.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質定理,考查學生的邏輯推理能力,是一道容易題.20、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)共線得到,利用正弦定理化簡得到答案.(2)根據(jù)余弦定理得到,,再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】(1)∵與共線,∴.即,∴即,∵,∴,∵,∴.(2),,,在中,由余弦定理得:,∴.則或(舍去).∴,∵∴.在中,由余弦定理得:,∴.【點睛】本題考查了向量共線,正弦定理,余弦定理,意在考查學生的綜合應用能力.21、(1)見解析;(2)【解析】
(1)取的中點,連接,根據(jù)中位線的方法證明四邊形是平行四邊形.再證明與從而證明平面,從而得到平面即可.(2)以所在的直線為軸建立空間直角坐標系,再求得平面的法向量與平面的法向量進而求得二面角的余弦值即可.【詳解】(1)證明:如圖,取的中點,連接.又為的中點,則是的中位線.所以且.又且,所以且.所以四邊形是平行四邊形.所以.因為,為的中點,所以.因為,所以.因為平面,所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.(2)易知兩兩互相垂直,所以分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系:因為,所以點.則.設平面的法向量為,由,得,令,得平面的一個法向量為;顯然平面的一個法向量為;設二面
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