9.4.3 菱形及其性質(zhì) 習題練

第9章中心對稱圖形——平行四邊形菱形及其性質(zhì)9.4.31012345D67答案呈現(xiàn)溫馨提示：點擊進入講評C8CB9B1011BC1213[2023·福建]如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，則AC的長為________．1102【點撥】【答案】D如圖，四邊形ABCD是菱形，點E，F(xiàn)分別在BC，DC邊上，添加以下條件不能判定△ABE≌△ADF的是(

)A．BE＝DF

B．∠BAE＝∠DAFC．AE＝AF

D．∠AEB＝∠AFD3【點撥】由四邊形ABCD是菱形可知AB＝AD，∠B＝∠D.添加BE＝DF，可利用SAS證明三角形全等；添加∠BAE＝∠DAF，可利用ASA證明三角形全等；添加AE＝AF，不能證明三角形全等；添加∠AEB＝∠AFD，可利用AAS證明三角形全等．故選C.【答案】C[2022·濟南]已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點，連接DE，DF，∠ADF＝∠CDE.求證：AE＝CF.45如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列結(jié)論中錯誤的是(

)A．AB＝AD

B．AC⊥BDC．AC＝BD

D．∠DAC＝∠BAC【點撥】由菱形的性質(zhì)可得AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，不能得到AC＝BD，故選C.【答案】C6【點撥】【答案】B7【點撥】【答案】B[2022·湘西州改編]如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，OH＝6，若菱形ABCD的面積為96，則CD的長為(

)A．6B．8C．10D．148【點撥】【答案】C9【點撥】如圖，取AD的中點M′，連接M′N，M′P，則有MP＝M′P.所以MP＋PN的最小值為線段M′N的長，即菱形的邊長．【點易錯】解這類問題同學們往往不會利用菱形的軸對稱性．利用對稱找點是解題的關(guān)鍵，將線段和的最小值轉(zhuǎn)化為一條線段的長是解題通法．【答案】B????[2023·嘉興]如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，連接EF.10(1)求證：AE＝AF；(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度數(shù)．【解】∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°.∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.由(1)知△ABE≌△ADF.∴∠BAE＝∠DAF＝30°.∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.又∵AE＝AF，∴△AEF是等邊三角形．∴∠AEF＝60°.[2022·濱州改編]如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，對角線AC，BD相交于點O，點E在對角線BD上，連接AE，作∠AEF＝120°且邊EF與直線DC相交于點F.11(1)求菱形ABCD的面積；(2)求證：AE＝EF.【證明】連接EC.∵四邊形ABCD是菱形，點E在對角線BD上，∠ABC＝60°，∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°.∴EA＝EC，∠DCA＝60°.∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°.∵∠AEF＝120°，∴∠EAC＋∠EFC＝360°－∠AEF－∠ACF＝360°－120°－120°＝120°.∵∠ECA＋∠ECF＝120°，∴∠EFC＝∠ECF.∴EC＝EF.∴AE＝EF.(母題：教材P79練習T2)如圖，四邊形ABCD是邊長為5cm的菱形，其中對角線BD的長為8cm.求：12(1)對角線AC的長；(2)菱形ABCD的面積．如圖，菱形ABCD的一個內(nèi)角∠B＝60°，E為BC的中點，F(xiàn)為CD的中點，連接AE，AF，EF.13(1)△AEF的形狀如何？請證明．【解】△AEF為等邊三角形．證明如下：連接AC，如圖①所示．∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°.∵E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點，∴AE平分∠BAC，AF平分∠DAC，AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠CAE＝∠CAF＝30°，∴∠EAF＝60°.∵菱形ABCD的面積為BC·AE＝CD·AF，BC＝CD，∴AE＝AF，∴△AEF為等邊三角形．(2)若E為BC上的任意一點，F(xiàn)為CD上的任意一點，且∠EAF＝60°，△AEF的形狀如何？請證明．【證明】△