9.4.5 正方形及其性質(zhì) 習(xí)題練

第9章中心對稱圖形——平行四邊形正方形及其性質(zhì)9.4.5B12345A67答案呈現(xiàn)溫馨提示：點擊進入講評D8CC9A10111213?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且AC⊥BD，請?zhí)砑右粋€條件：____________________，使得?ABCD為正方形．1AC＝BD(答案不唯一)【點撥】根據(jù)題意可知?ABCD為菱形，要使菱形ABCD為正方形，添加的條件為AB⊥AD，AC＝BD等．2【點撥】【答案】B如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，若∠BAE＝α，則∠FEC一定等于(

)A．2αB．90°－2αC．45°－αD．90°－α3【點撥】在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴可將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時G在CB的延長線上，如圖所示．【答案】A∴△FAE≌△GAE(SAS)．∴∠AEF＝∠AEG.∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°－α.∴∠AEF＝∠AEB＝90°－α.∴∠FEC＝180°－∠AEF－∠AEB＝180°－(90°－α)－(90°－α)＝2α.4【點撥】連接AF，易得AB＝BC＝BE，∠ABC＝90°，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)，求得∠BFE＝45°，再證明△ABF≌△EBF，求得∠AFC＝90°，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求出OF的長度．【答案】D5[2023·常德]如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的一點，且EF∥AD，連接AF，DE.若∠FAC＝15°，則∠AED的度數(shù)為(

)A．80°B．90°C．105°D．115°【點撥】∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，∴OA＝OD，∠OAD＝∠ODA＝45°，EF∥BC.∵EF∥AD，∴∠OEF＝∠OAD＝45°，∠OFE＝∠ODA＝45°.∴∠OEF＝∠OFE＝45°.∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF.∵OA＝OD，∴AE＝DF.又∵EF＝FE，∴△AEF≌△DFE(SAS)．∴∠FDE＝∠CAF＝15°.∴∠ADE＝∠ODA－∠FDE＝45°－15°＝30°.∴∠AED＝180°－∠OAD－∠ADE＝180°－45°－30°＝105°.【答案】C[2022·重慶]如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O.E，F(xiàn)分別為AC，BD上的點，且OE＝OF，連接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，則∠CBE的度數(shù)為(

)A．50°B．55°C．65°D．70°6【點撥】由正方形的性質(zhì)可得AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，易得∠OCB＝45°，∠AFO＝70°，利用全等三角形的判定和性質(zhì)得∠BEO＝∠AFO＝70°.從而可求出∠CBE的度數(shù)．【答案】C7【點撥】設(shè)B1C1與CD交于點E，連接AE.利用作差法求出AE一側(cè)的陰影部分的面積，再利用對稱性即可得解．[2023·紹興]如圖，在矩形ABCD中，O為對角線BD的中點，∠ABD＝60°，動點E在線段OB上，動點F在線段OD上，點E，F(xiàn)同時從點O出發(fā)，分別向終點B，D運動，且始終保持OE＝OF.點E關(guān)于AD，AB的對稱點分別為E1，E2；點F關(guān)于BC，CD的對稱點分別為F1，F(xiàn)2，8在整個過程中，四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是(

)A．菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形B．菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形D．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形【點撥】如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ADC＝∠BAD＝∠ABC＝90°.∴∠BDC＝∠ABD＝60°.∴∠ADB＝∠CBD＝90°－60°＝30°.∵OE＝OF，OB＝OD，∴DF＝EB，DE＝BF.由已知可得DF＝DF2，DE＝DE1，BF＝BF1，BE＝BE2，∠F2DC＝∠CDF＝60°，∴∠E1DA＝∠EDA＝30°.∴∠E1DB＝60°，易得E1F2＝E2F1，同理可得∠F1BD＝60°，∴DE1∥BF1.∴四邊形E1E2F1F2是平行四邊形．如圖②，當(dāng)E，F(xiàn)，O三點重合時，易知DE1＝DF2＝AE1＝AE2，即E1E2＝E1F2.∴平行四邊形E1E2F1F2是菱形．如圖③，當(dāng)E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點時，連接AE，AO，設(shè)DB＝4，則DF2＝DF＝1，DE1＝DE＝3，BO＝2，BE＝1，易得AB＝2，如圖④，當(dāng)F，E分別與D，B重合時，△BE1D，△BDF1都是等邊三角形，則平行四邊形

E1E2F1F2是菱形．∴在整個過程中，四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形，故選A.【答案】A[2023·山東實驗中學(xué)月考]如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點，BE＝1，F(xiàn)為AB上的一點，AF＝2，P為AC上一個動點，則PF＋PE的最小值為________．9【點撥】【點易錯】本題容易錯在不會利用正方形的軸對稱性，將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段．由于E，F(xiàn)是固定的點，因此可以作點E或點F關(guān)于AC所在直線的對稱點，利用勾股定理求解．????[2022·隨州]如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且四邊形BEDF為正方形．10(1)求證：AE＝CF；【證明】∵四邊形BEDF為正方形，∴EB＝DF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC.∴AE＝CF.(2)若平行四邊形ABCD的面積為20，AB＝5，求CF的長．【解】∵四邊形BEDF為正方形，∴DE＝EB，DE⊥AB.∵平行四邊形ABCD的面積為20，AB＝5，∴DE＝EB＝4.∴AE＝AB－EB＝5－4＝1.由(1)知AE＝CF，∴CF＝1.[2023·紹興]如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點(與點B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足，連接EF，AG，并延長AG交EF于點H.11(1)求證：∠DAG＝∠EGH；【證明】在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，∴AD∥GE.∴∠DAG＝∠EGH.(2)判斷AH與EF是否垂直，并說明理由．【解】AH⊥EF.理由：連接GC與EF交于點O，如圖．

在正方形ABCD中，AD＝CD.∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠ADG＝∠CDG＝45°.又∵DG＝DG，∴△ADG≌△CDG(SAS)．∴∠DAG＝∠DCG.如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線BD上的兩點，且BE＝DF.12(1)求證：△ABE≌△CDF；【證明】∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．【解】如圖，連接AC，交BD于點O.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC⊥BD，AB＝AD，AC＝BD，AO＝CO，DO＝BO.如圖①，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與點C，D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE.(1)猜想圖①中線段BG，線段DE的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，并說明理由；13【解】BG＝DE，BG⊥DE.理由：如圖①，延長BG交DE于點H.因為四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，所以BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE.所以△BCG≌△DCE.所以BG＝DE，∠1＝∠2.因為∠1＋∠CGB＝90°，∠CGB＝∠DGH，所以∠2＋∠DGH＝90°.所以∠DHG＝90°.所以BH⊥DE，即BG⊥DE.(2)將圖①中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖②，③的情形．請你通過觀察、測量等方法判斷(1)中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖②證明你的判斷．【解】BG＝DE，BG⊥DE仍然成立．證明：如圖②，設(shè)BG與DE相交于點